книги / Математика. Функции нескольких переменных
.pdfЗадачи
Задача 1
Найти полное приращение и полный дифференциал функции z x2 xy y2 , если x изменяется от 3 до 3,1, а y изменяется от 2
до 2,2.
Решение
Полное приращение функции z f x, y определяется по формуле (5.1).
z f x x, y y f x, y .
По условию:
x 3 , y 2 , x x 3,1, y y 2,2.
Тогда:
z 3,1;2,2 3,1 2 3,1 2,2 2,2 29,61 6,82 4,84 21,27;
z 3;2 9 3 2 4 19 ;
z 3;2 21,27 19 2,27.
Полный дифференциал функции z f x, y находим по фор-
муле (5.5):
dz |
f x, y |
x |
f x, y |
y . |
|
x |
y |
||||
|
|
|
Для данной задачи x 0,1, y 0,2 .
Найдем |
z |
и z : |
|
|
|
x |
y |
z |
2x y , |
z x 2 y . |
|
x |
|
|
y |
Учитывая, что x 3 , y 2 , получим:
31
z |
6 2 8 , |
z |
3 4 7 . |
x |
|
y |
|
Тогда dz 8 0,1 7 0, 2 0,8 1, 4 2, 2 .
Этот пример наглядно показывает, что z dz .
Задача 2
Найти приближенное значение полного приращения функции
|
|
|
M x, y, z из положе- |
u |
x2 y2 z2 при перемещении точки |
||
ния M1 10;10;5 в положение M2 9;11;6 . |
|
Решение
Учитывая, что u du, найдем значение полного дифференциала функции u по формуле (5.12):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
u x u |
|
y u |
z . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||
u |
|
1 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
; |
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 x2 y2 z2 |
|
|
|
|
x2 y2 z2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
u |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 x2 y2 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 z2 |
|||||||||||||||||||||
u |
|
1 |
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
. |
||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 x2 y2 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 z2 |
|||||||||||||||||||||
Вычислим частные производные в точке M1 10;10;5 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M |
1 |
100 |
100 25 |
15 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M |
1 |
100 |
100 25 |
15 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
M |
1 |
100 |
100 25 |
15 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 x1 9 10 1;
32
y y2 y1 11 10 1;z z2 z1 6 5 1.
Тогда
du 23 1 23 1 13 1 32 32 13 13 0,33.
Следовательно, u 0,33.
Задача 3
Вычислить приближенно 1,01 3 1,98 3 .
Решение
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Будем полагать, что 1,01 3 1,98 3 |
есть частное значение |
||||||||
функции z f x, y |
|
|
в точке M 1,01;1,98 . |
|
|||||
|
x3 y3 |
|
|||||||
На основании формулы (5.18) |
|
|
|
||||||
f x x, y y |
f x, y |
f x, y |
x |
f x, y |
y , |
||||
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
имеем
x x 1,01 , y y 1,98 .
Тогда
x 1 , y 2 .
Значения x и y выбираются так, чтобы они были вблизи точки с координатами x x, y y и при выбранных значениях x и y можно элементарно вычислить значение функции.
z 1; 2 13 23 3.
x 1,01 1 0,01, y 1,98 2 0,02.
Найдем |
z |
и |
z |
в точке 1; 2 : |
|
x |
|
y |
|
33
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 x3 |
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x3 y3 |
|||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
3 12 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1;2 |
2 |
13 23 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
3y2 |
|
|
|
|
|
|
3y2 |
||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 x3 |
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x3 y3 |
|||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
3 22 |
|
|
|
|
|
12 |
2 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
13 |
23 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1;2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
1,01 3 1,98 3 3 12 0,01 2 0,02 2,97.
34
§6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Основные формулы и рисунки |
|
|
Определения и замечания |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
z f x, y |
|
|
|
(6.1) |
|
|
|
Если z f x, y |
есть |
диф- |
|||||||||
|
x x t , y y t , |
(6.2) |
ференцируемая |
функция |
двух |
|||||||||||||||
|
z f x t , y t |
(6.3) |
переменных x |
и |
y, |
которые |
в |
|||||||||||||
|
свою очередь, являются диффе- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ренцируемыми функциями неза- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
висимой переменной t (6.2), то |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сложная функция (6.3) есть диф- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ференцируемая |
функция одной |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменной t. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
dz |
z |
|
dx |
|
z |
|
dy |
(6.4) |
|
dz |
– полная производная функ- |
||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dt |
x |
|
dt |
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции z по t. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , |
y |
– частные производные, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
как |
функция |
z f x, y |
– |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция двух переменных, а |
|
dx |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
– обычные производные, т.к. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x и y – функции одной перемен- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной t. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В формуле (6.4) два слагае- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мых, |
так |
как |
функция |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z f x, y – функция двух пере- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менных. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
Основные формулы и рисунки |
|
|
|
Определения и замечания |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если z f x1, x2 ,..., xn |
– диффе- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ренцируемая |
функция |
перемен- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных x1, x2 ,..., xn |
(6.5), |
которые в |
|||||
|
z f x1, x2 ,..., xn , |
|
|
|
|
(6.5), |
свою очередь |
являются диффе- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ренцируемыми функциями неза- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x1 x1 t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
висимой переменной t (6.6), то |
||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 x2 t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
сложная функция (6.7) есть диф- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ференцируемая |
функция |
одной |
||||||||||||||||
………... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.6) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменной t. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
xn |
xn t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z f x |
|
|
t , x t ,..., x |
t |
(6.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
z |
|
|
|
dx1 |
|
|
z |
|
dx2 |
|
... |
|
|
dz |
|
– полная производная функ- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dt |
|
|
x |
|
|
|
|
dt |
|
|
x |
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(6.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
|
|
dxn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции z по t. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (6.4) и (6.8) явля- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ются обобщением правила диф- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ференцирования |
сложной |
функ- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции одной переменной. |
|
||||||
5. |
|
|
z f x, y , |
y y x |
|
(6.9) |
Если z f x, y |
есть дифферен- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z f x, y |
x |
|
|
|
|
|
(6.10) |
цируемая функция двух |
пере- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менных, причем x – независимая |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменная, |
а |
y y x |
есть |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцируемая функция по x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.9), то сложная функция (6.10) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть дифференцируемая функция |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одной переменной x. |
|
|
|||||
6. |
|
|
dz |
|
z |
z |
|
dy |
|
|
|
|
(6.11) |
|
dz |
– полная производная функ- |
||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
x |
y |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции z по x. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
Основные формулы и рисунки |
|
|
Определения и замечания |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
правой части |
равенства |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.11) мы находим частную про- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изводную |
|
z |
, так как z – функ- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция двух переменных x и y. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
левой |
части производная |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
есть |
|
производная |
сложной |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
одной |
переменной |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
z f x, y , |
|
|
|
|
|
|
Если |
|
z f x, y |
есть |
диф- |
||||||||
|
|
x x u,v , |
|
|
(6.12) |
ференцируемая |
функция |
двух |
|||||||||||||
|
y y u,v , |
|
|
|
переменных |
x и |
y, которые, |
в |
|||||||||||||
|
|
|
|
свою очередь, являются диффе- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z f x u,v , y u,v |
(6.13) |
ренцируемыми функциями по u и |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v (6.12), то сложная функция |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.13) |
есть |
дифференцируемая |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция двух переменных u и v. |
|
||||||||||
|
|
z |
z |
|
x |
z |
y |
|
|
|
|
Следует запомнить: |
|
|
|||||||
8. |
|
|
x |
|
|
|
y |
u |
(6.14) |
частная |
|
производная |
сложной |
||||||||
|
u |
u |
|
||||||||||||||||||
|
|
z |
z |
x |
z |
y |
|
функции (6.13) равна сумме про- |
|||||||||||||
|
|
|
изведений частных производных |
||||||||||||||||||
|
|
v x v y v |
(6.15) |
||||||||||||||||||
|
|
по |
промежуточным аргументам |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x и y) на частные производные |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этих аргументов (x и y) по соот- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветствующей независимой пере- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менной (u или v) (6.14, 6.15). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило |
дифференцирова- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния сложной функции (6.13) ос- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тается справедливым для функ- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции с любым количеством про- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
межуточных аргументов, кото- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рые |
зависят |
от |
любого |
числа |
37
Основные формулы и рисунки |
|
Определения и замечания |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимых переменных. |
|||
|
z f x , x ,..., x |
, |
|
|
|
|
|
(6.16) |
z |
– |
функция |
аргументов |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
x1, x2 ,..., xn (6.16), |
которые явля- |
||||||||
|
x1 x1 u1,u2 ,...,un , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ются функциями |
независимых |
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 x2 u1,u2 ,...,un , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(6.17) |
переменных u ,u ,...,u (6.17). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
n |
…………………… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
xn xn u1,u2 ,...,un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
x1 |
|
|
z |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
... |
|
z |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z |
|
|
x2 |
|
|
... |
z |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
u |
2 |
|
|
x |
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
………………………….…(6.18) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
z |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
u |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
|
|
x2 |
|
|
... |
z |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
u |
n |
|
|
x |
|
u |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Задача 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Пусть u f y, z,t |
дифференцируемая функция переменных |
||||||||||||||||||||||||||
y,z,t, |
причем |
|
|
|
y y x , |
z z x , |
t t x |
есть дифференцируемые |
функции по x. Записать вид сложной функции u и найти соответствующую полную производную.
Решение
Сложная функция при указанных условиях имеет вид u f y x , z x ,t x – функция одной переменной x.
Тогда полную производную этой функции находим по формуле
38
du u dy u dz u dt . dx y dx z dx t dx
Задача 2
Найти производную сложной функции u arctg zt , где z e3x ,
t cos x .
Решение
Здесь u – сложная функция одной независимой переменной x. Учитывая формулу (6.4), получим:
du u dz u dt . dx z dx t dx
Найдем частные производные u и u :
z t
u |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
; |
|
|
|
||||||
z |
|
z 2 |
|
t |
t |
2 |
z2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t |
|
z |
2 |
|
t |
2 |
|
|
t |
2 |
z |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем производные |
|
dz |
и |
dt |
|
: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dx |
||||
|
dz |
3e3x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dt |
sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
du |
|
|
|
t |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
z |
|
|
|
sin x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
t |
2 |
z |
2 |
|
|
t |
2 |
z |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
3te3x |
z sin x . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
t2 z2 |
|
|
|
|
|
39
Учитывая, что функции z и t зависят от x, получим:
|
du |
1 |
|
3cos x e3x e3x |
sin x |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
cos2 x e6 x |
||||||
|
|
|
|
e3x |
3cos x sin x . |
|
||
cos2 |
x e6 x |
|
||||||
Задача 3 |
|
|
|
|||||
Найти |
производную сложной |
функции z cos2 t x , где |
x 1 t2 .
Решение
Учитывая, что z – сложная функция одной независимой переменной t, применим формулу (6.11):
|
dz |
|
z |
|
dx |
|
z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dt |
|
|
x |
|
|
|
dt |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем частные производные |
z и |
|
z |
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
t |
|
|
|
z |
|
2cost x sin t x t x ln t sin 2t x t x ln t ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2cost x sin t x x t x 1 |
|
sin 2t x x t x 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
|
|
dx |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
t |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dz |
|
sin 2t x t x ln t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
sin |
|
2t x x t x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ln t |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sin 2t x t x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
sin 2t 1 t |
2 |
|
1 t |
2 |
t ln t |
|
|
|
1 t |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40