книги / Математика. Функции нескольких переменных

Задача 4

		x2		y		3
Найти производную сложной функции	t ctg e						z		,
				x

где x sin 2z, y e3z .

Решение

Функция t – функция трех переменных x, y, z причем x и y зависят от z. Тогда сложная функция t есть функция одной переменной z.

Найдем полную производную dzdt :

dt

t

dx

t

dy

t

.

x

y

dz

dz

dz

z

Учитывая, что

t

1

x2

y

2xe

;

x

2

2

x2

y

3

x

sin

e

z

x

t

1

1

;

y

2

x2

y

3

x

sin

e

z

x

t

1

1

2

z

3

;

z

y

2

x2

3

3

sin

e

z

x

dx

2cos 2z

и

dy

3e3z , получим:

dz

dz

41

dt

1

x2

y

1

3z

1

2xe

2cos 2z

3e

2

dz

2

x2

y

3

x

x

33 z2

sin

e

z

x

1

2

e

3z

3

sin2 esin

2 z

z

sin 2z

2

e3z

1

1

2sin 2z esin

2 z

2cos 2z

3e3z

.

sin

2

2z

sin 2z

33 z2

Задача 5

Найти

производную

сложной функции y 5uv ,

где

u

x

,

z2

v ex z .

Решение

Здесь y – сложная функция двух независимых переменных x и z. Учитывая формулы (6.14) и (6.15), получим:

yx

yz

yx

y u y v ,u x v x

y u y v .u z v z

5uv ln 5 v z12 5uv ln 5 u ex z

uv			v			x z
5	ln 5				u e
				2
		z

x

ex z

x

ex z

ex z

x

5z2

ln 5 ex z

1 x ;

2

5z

ln 5

ex z

z

2

z

2

z

2

y

uv

2x

z

5

ln 5 v

z

3

uv

x z

uv

2vx

x z

5

ln 5 u e

5

ln 5

u e

z

3

x

ex z

x

ex z

2ex z x

x

5z2

x ex z

2

5z

ln 5

ex z

ln 5 2 z .

z

3

z

2

z

3

42

§7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

1.

F x, y 0

(7.1)

Функция y от x называется

неявной, если она определяет-

ся уравнением (7.1) (или урав-

нением, сводящимся к этому

виду) не разрешенным относи-

тельно y.

dy

Fx x, y

Следует запомнить:

2.

y

если непрерывная функция y от x

x

dx

F

x, y

F x, y 0,

y

задана

уравнением

или

(7.2)

F x, y ,

F x, y

, F x, y

F

где

x

y

dy

x

– непрерывные функции в неко-

dx

F

торой области D, содержащей

y

точку

M0 x0 , y0 ,

координаты

которой удовлетворяют уравне-

нию (7.1), при этом F x, y 0 ,

y

то

dy

определяется по формуле

dx

(7.2).

3.

F x, y, z 0

(7.3)

Уравнение (7.3) определяет

z

как

некоторую

функцию

z x, y

независимых пере-

менных x и y.

43

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

4.

z

Fx

,

Следует запомнить:

если непрерывная функция z от

x

Fz

x

и

y

задана

уравнением

z

Fy

F x, y, z 0 ,

где

F x, y, z , Fx

y

Fz

,

Fy ,

Fz ,

– непрерывные функ-

или

F

ции в некоторой области D, со-

z

x

держащей точку

M0 x0 , y0 , z0 ,

x

F

координаты которой удовлетво-

z

ряют уравнению (7.3), при этом

F

Fz

0 , то

z

и

z

определя-

z

y

x

y

(7.4)

y

F

ются по формулам (7.4).

z

Замечание

x

Fy

Если

в точке M0

произ-

y

F

водная Fz 0 , а,

скажем Fx 0 ,

x

(7.5)

x

Fz

то уравнение

F

x, y, z

0 мо-

z

F

жет определять x как функцию y

x

и z. В этом случае определим

x

и

x по формулам (7.5).

y

z

Задачи

Задача 1

Найти

dy

, где функция

y y x

задана

уравнением

dx

exy 3y2 4x3 1 0 .

Решение

Уравнение

exy 3y2 4x3 1 0

определяет y

как

неявную

функцию от x.

44

Для нахождения dy рассмотрим 2 способа. dx

Способ 1

Дифференцируя по x обе части равенства и учитывая, что y есть функция от x, получим:

exy y xy 6y y 12x2 0 ; y exy xy exy 6yy 12x2 0 ;

y	12x2	yexy
			.
	xexy 6 y

Способ 2

Обозначим левую часть данного уравнения через F x, y :

F x, y exy 3y2 4x3 1.

Найдем частные производные F yexy 12x2							,	F xexy 6 y .
						x		y
Учитывая формулу (7.2), получим:
	dy			yexy 12x2
	dx			xexy 6 y
или
	dy		12x2 yexy
					,
	dx		xexy 6 y

что полностью совпадает с предыдущим результатом.

Задача 2
Найти	z	и	z	, если 3x4 2yz2 4xy3 5xyz x 2 0 .
	x		y

Решение

Обозначим левую часть данного уравнения через F x, y, z .

F x, y, z 3x4 2yz2 4xy3 5xyz x 2 .

45

Найдем F

, F

, F .

x

y

z

F

12x3 4 y3 5yz 1;

x

F

2z2 12xy2 5xz ;

y

F

4 yz 5xy .

z

Применив формулы (7.4), получим:

z

12x3 4 y3

5yz 1

x

4 yz 5xy

или

z

12x3

4 y3 5yz 1

.

x

4 yz 5xy

z

2z2

12xy2 5xz

y

4 yz 5xy

или

z

2z2

12xy

2 5xz

.

y

4 yz 5xy

Задача 3

Найти

z

и

z в точке M

1,1,1 , если

x2

2z3

3y

2x

0.

x

0

y2

x4

y

z

y

Решение

Обозначим левую часть данного уравнения через F x, y, z :

F x, y, z		x2			2z3		3y		2x	.
					y2
			z				x4		y
Найдем	F		,	F ,		F		в точке M0 1,1,1 .
	x			y		z

46

F

2x

12 y

2

x

2 12 2 12 ;

z

x

5

y

M

0

M

0

F

4z3

3

2x

y

4 3 2 9 ;

y

3

x

4

y

2

M0

M

0

F

x2

6z2

z

1 6 7.

z

2

y

2

M0

M

0

Тогда

F

z

x

12

12

;

x

F

7

7

z

F

z

y

9

9

.

y

F

7

7

z

47

§8. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

Основные формулы и рисунки		Определения и замечания
1.		Предположим, что в каждой точке
		P некоторой пространственной об-
		ласти D задано значение скаляр-
		ной физической величины u.
u u P	(8.1)	u – скалярная функция точки.
			Следует запомнить:
		если в области D задана скалярная
		функция точки u P , то в области
		D задано скалярное поле.
2. u u x, y, z	(8.2)		Поскольку положение точки в
		системе координат		Oxyz задается
		тремя координатами, то скалярное
		поле	можно рассматривать как
		функцию трех переменных (8.2).
3.			Следует запомнить:
		множество точек области D, в ко-
		торых функция u x, y, z принима-
		ет одно и то же значение C, обра-
		зует некоторую поверхность, кото-
u x, y, z C	(8.3)	рая	называется	поверхностью
		уровня (8.3).
			Замечание 1
			Придавая C различные значе-
		ния, получим семейство поверхно-
		стей уровня.
			Замечание 2
			Скалярные поля изображают-
		ся геометрически с помощью по-
		верхностей уровня.

48

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

4.

Если скалярное поле плоское,

то функция u зависит от двух пе-

u u x, y

(8.4)

ременных:

u u x; y .

5. u x, y C

(8.5)

Уравнение линии уровня

Следует запомнить:

плоские скалярные поля, изобра-

жаются геометрически с помощью

линий уровня.

6.

Пусть в области D задано ска-

лярное поле, т. е. в области D зада-

на скалярная

функция

точки

u u x, y, z .

Рассмотрим

точку

P x, y, z

и луч l, выходящий из

этой точки.

P x x, y y, z z

– дру-

1

Рис. 8.1

гая точка этого луча (рис. 8.1).

u u P u P

(8.6)

l u

–

приращение

функции

l

1

u x, y, z

l u u x x, y y, z z

в

направлении

l

[(8.6);

(8.7)

u x, y, z

(8.7)].

l

(8.8)

Длина вектора PP .

PP

1

1

u

lim

l u

,

(8.9)

Производной

функции

l

l

l 0

u u x, y, z

в

данном направле-

нии l называется предел отношения

приращения функции в данном на-

правлении

к

длине

вектора

l ,

когда последняя

стре-

PP

1

мится к нулю.

49

Основные формулы и рисунки	Определения и замечания
	Замечание 1
	u	– обозначении производ-
	l
	ной в данном направлении.

				Замечание 2
				u	–		производная			частная,
				l
				так как из точки P исходит множе-
				ство направлений, а выбирают од-
				но из них.
7.	u	0	(8.10)	Функция u в точке						P x, y, z
	l			по направлению l возрастает.
	u	0	(8.11)	Функция u в точке						P x, y, z
	l			по направлению l убывает.
				Следует запомнить:
				производная				по направлению			u
											l
				характеризует скорость изменения
				функции u в этом направлении.
				Замечание
				Абсолютная					величина про-
				изводной		u		по	направлению l
						l
				определяет величину скорости, а
				знак производной – характеризует
				изменение функции u (возраста-
				ние или убывание).
8.				Пусть			u u x, y, z			– диффе-
				ренцируемая скалярная						функция
				точки.
				, ,			– углы, которые обра-
				зует направление					l с координат-
				ными осями (рис. 8.2).

50