книги / Математика. Функции нескольких переменных

Наибольшая скорость возрастания функции в точке M0 равна модулю градиента.

u				;
		grad u
l

											u			2				u 2						u 2
			grad u																						;
											x							y						x
					2 2					2			2		2			2			2				u		2
grad u																								т.е.,	l					.
					3					3					3						3						3

Найдем частные производные в точке M1 :

u

2x

6

,

x

M1

x2

y2 z2

M

13

1

u

2 y

0,

y

M

x2 y2 z2

M

1

1

u

2z

4

.

z

x2

y2 z2

M1

M

13

1

Тогда

grad u M1 136 i 134 k .

В этом направлении функция u возрастает с наибольшей скоростью, а по направлению противоположному grad u M1 , функция убывает с наибольшей скоростью.

grad u M1 136 i 134 k .

61

§9. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

1.

Касательной

плоско-

стью к поверхности в точ-

ке P называется плоскость, в

которой лежат все касатель-

ные прямые к линиям на по-

верхности, проходящим через

данную точку P (рис. 9.1).

Прямая, перпендикуляр-

ная к касательной плоскости

Рис. 9.1

в точке P, называется норма-

лью к поверхности в этой

точке.

P – точка касания.

2.

Пусть

функция

u x; y; z

–

дифференцируема.

Пространственное скалярное

поле изображается с помо-

щью

поверхностей

уровня

u x; y; z C .

Одна

из

по-

верхностей уровня имеет вид

u x; y; z 0 (рис. 9.2).

Рис. 9.2

u

x x0

u

y y0

Уравнение касательной плос-

x

P0

y

P

(9.1)

кости.

0

u

z z0 0

z

P

0

62

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

Замечание

Уравнение

плоскости по

точке

P0 x0 ; y0 ; z0

и

нор-

мальному

вектору

A, B,C имеет вид

N

A x x0 B y y0

C z z0 0.

u P0

grad

u

u

u

j

i

k

x

P

y

P

z

P

0

0

0

перпендикулярен касательной

плоскости, проходящей через

точку P0 x0 ; y0 ; z0 .

Тогда

(9.1)

уравнение

касательной плоскости.

Канонические уравнения

прямой

в

пространстве

x x0

y y0

z z0

,

где

x x0

y y0

z z0

l

m

n

(9.2)

l;m;n –

направляющий

s

u

u

u

x

P

y

z

P

вектор прямой.

0

P0

0

Вектор

grad u P0

явля-

ется направляющим вектором

нормали. Тогда (9.2) уравне-

ние нормали.

63

Задачи

Задача 1

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:

а)

x2 2y2 3z2 6 в точке P

1; 1; 1 ;

0

б)

z x2 y2

3xy 4x 2y 4. в точке M0

1;0;1 ;

в)

x2 4x z 0 в точке M0 2;1; 12 .

Решение

а) Обозначим

через

u x; y; z

левую

часть уравнения

x2 2y2

3z2

6 0 и найдем частные производные в точке

P

:

0

u

u 4 y

4 ;

u

2x

2 ;

6z

6 .

x

P0

y

P

z

P0

0

Применяя формулы (9.1) и (9.2), получим:

2 x 1 4 y 1 6 z 1 0,

x1 2y 2 3z 3 0,

x2y 3z 6 0 – уравнение касательной плоскости.

x1 y 1 z 1 или

2 4 6

x 1 y 1 z 1 – уравнение нормали.

1 2 3

б) В данном случае поверхность можно задать уравнением u x; y; z z x2 y2 3xy + 4x 2y + 4 = 0.

Найдем частные производные в точке M0 :

u			2x 3y 4	2 4 6 ,
x
		M	0	M0

u			2 y 3x 2	3 2 1,
y
		M	0
				M0

64

u		1 .
z
		M
	0

Подставим эти значения в уравнение касательной плоско-

сти (9.1):

6 x 1 1 y 0 1 z 1 0

или

6x y z 5 0.

Уравнение нормали принимает вид

x 1

y

z 1

.

6

1

1

в) u x; y; z x2 4x z

Обозначим через u x; y; z

левую часть

уравнения

x2 4x z 0

и

найдем частные

производные

в точке

M0 2;1; 12 :

u

2x 4

4 4 8 ,

x

M

0

M0

u

0

,

y

M

0

u

1 .

z

M

0

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид:

8 x 2 0 y 1 1 z 12 0

или

8x z 4 0 – касательная плоскость проходит параллельно оси OY .

65

Уравнение нормали:

	x 2		y 1			z 12		.
	8
		0					1
Задача 2
На поверхности							S : 5x2 y2 z2 4 0, найти точки, в кото-

рых касательная плоскость параллельна плоскости 10x 2y z 0 .

Решение

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной

уравнением u x; y; z 0

в точке P0 x0 ; y0 ; z0 имеет вид:

u

x x

u

y y

u

z z

0

0 .

x

0

y

0

z

P

P

P

0

0

0

Найдем частные производные в точке P0 :

u

10x

10x0 ,

x

P

P0

0

u

2 y

2 y0 ,

y

P

0

P0

u

2z

2z0 .

z

P

P0

0

Уравнение касательной плоскости:

10x0 x x0 2y0 y y0 2z0 z z0 0 .

Из условия параллельности касательной плоскости и данной плоскости, следует, что

u				u			u
x		P		y	P		z		P	,
0				0			0
10				2			1

66

или

	10x0							2 y0							2z0		,
10									2
																1
т. е. x0 y0 2z0 .
Учитывая,																что			уравнение							поверхности имеет вид
5x2 y2 z2										4 0, получим
5 4z2							4z2 z2										4 0 ,
			0										0			0
25z2 4 ,
			0
	z						2			.
		0
							5
			4						4				2			и				4	;	4	;	2		– две искомые точки на дан-
	M1						;					;					M	2
									5											5		5		5
			5										5

ной поверхности, в которых касательные плоскости параллельны данной плоскости.

67

§10. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные формулы и рисунки	Определения и замечания
1.	Функция		z f x,		y	имеет в
	точке	P0 x0 , y0 области D ми-
	нимум, если существует такая
	окрестность точки				P0 , что для
	всех точек P x, y				этой окрест-
	ности, отличных от P0 , выпол-
	няется неравенство f P0 f P
	или f x0 , y0			f x, y		(рис. 10.1).
Рис. 10.1
2.	Функция		z f x, y			имеет в
	точке P0 x0 , y0 области D мак-
	симум, если существует такая
	окрестность точки				P0 , что для
	всех точек		P x, y		этой окрест-
	ности, отличных от				P0 , выполня-
	ется	неравенство			f P0 f P
	или f x0 , y0			f x, y		(рис. 10.2).
Рис. 10.2	Следует запомнить:
	максимум и минимум функции
	называются			экстремумами
	функции.
	Точка	P0 ,	в	которой функция
	имеет	экстремум,			называется
	точкой экстремума.

68

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

3. Если P

x , y

– точка экстре-

Необходимый

признак суще-

0

0

0

мума функции z f x, y , то

ствования экстремума

z

0 ,

z

0

(10.1)

Если в точке P0 x0 , y0

диффе-

x

P

y

P

ренцируемая

функция

0

0

z f x, y имеет экстремум, то

ее частные производные в этой

точке равны нулю (10.1).

Замечание 1

Функция

z f x, y

мо-

жет иметь экстремум также в

тех точках, где хотя бы одна из

частных производных не суще-

ствует.

Тот факт, что в точке экс-

тремума непрерывной функции

одна из

частных

производных

может не существовать, поясняет

пример

функции

z

x2 y2 ,

график

которой

изображен

на

рис. 10.3.

Рис. 10.3

В точке

О 0;0

функция имеет

минимум, но в этой точке част-

ные производные

z

x

x

x2 y2

и z

y

не существуют.

y

x2 y2

69

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

Следует запомнить:

точки, в которых частные про-

изводные

z x, y

и

z x, y

x

y

функции z f x, y обращают-

ся в ноль или не существуют,

называются

критическими

точками этой функции.

Замечание 2

Если

P0 x0 , y0

–

точка экстре-

мума

функции

z f x, y ,

то

она является критической. Об-

ратное утверждение неверно.

4.

Достаточное условие сущест-

вования экстремума функции

z f x, y

Пусть

в

некоторой

области

функция

z f x, y

имеет

не-

прерывные

частные

производ-

ные до третьего порядка вклю-

чительно и точка

P0 x0 , y0

из

этой области – критическая.

2 z

A

Введем

обозначения

(10.2)

и

x

2

(10.3).

P0 x0 , y0

2 z

C

(10.2)

y2

P0 x0 , y0

2 z

B

x y

P0 x0 , y0

AC B2

(10.3)

70