книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

Для расчета интерференционной картины воспользуемся готовой формулой для оптической разности хода волн, отраженных от обеих поверхностей пластинки (приведена в любом учебнике по волновой оптике):

∆ = 2b n2 −sin2 θ +λ/ 2,

где θ – угол падения лучей на поверхность пластинки. Так как пластинка тонкая, то отраженные волны когерентны между собой и тогда условие появления темных полос будет выглядеть как

2b n2 −sin2 θ +λ/ 2 =(m +1/ 2)λ (m = 0,1, 2...) .

В нашем случае темные полосы – это кольца, так как условие минимума выполняется для всех точек экрана, на которые падает свет с одинаковым значением угла θ (полосы равного наклона). Как видно из рис. 2.15, радиусы этих колец при малых θ

	r = 2kθ.		(1)
Запишем теперь условие минимума для двух разных колец, об-
разующихся под малыми углами θi и θk		(им соответствуют радиусы
ri и rk ):
2b n2 −θ2 =iλ, 2b n2 −θ2			= kλ.
i		k
Отсюда нетрудно найти
λ =	b(θi2 −θ2k )	,
	n(i −k )

или с учетом (1)

λ= b(ri2 −rk2 ) . 4nl2 (i −k)

81

2.1.8. Интерференция на клине. Свет с длиной волны

λ = 0,55 км от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина. В отраженном свете наблюдают

	систему интерференционных полос,
	расстояние между соседними макси-
	мумами которых на поверхности кли-
	на	∆x = 0, 21 мм	(рис. 2.16). Найти
	угол между гранями клина и степень
	монохроматичности (λ/ ∆λ), если ис-
	чезновение интерференционных по-
	лос	наблюдается	на расстоянии

Рис. 2.16	l ≈1,5	см от вершины клина.

Так как точечный источник значительно удален от клина, то на него падает практически плоский световой фронт. В данной ситуации интерференционные полосы будут прямыми, параллельными ребру клина, так как условие максимума выполняется для всех точек клина с одинаковой толщиной (полосы равной толщины). Запишем это условие для двух светлых полос с номерами k и k +1, полагая угол падения равным нулю:

2bn +λ/ 2 = kλ , 2(b +∆b) +λ/ 2 =(k +1)λ.

Вычитая эти равенства, находим

2∆bn = λ.

Кроме того, из рис. 2.16 следует ∆b = α∆x. Тогда угол между гранями клина

α = ∆∆bx = 2nλ∆x = 3 угл. мин.

Степень монохроматичности λ/ ∆λ (см. введение к данному подразделу) равна предельному порядку m интерференции, начиная с которой полосы исчезают. Значение m по условию равно l / ∆x. Значит, степень монохроматичности определяется как

82

∆λλ = m = ∆lx ≈ 71

(чем больше данное значение, тем более монохроматичен свет). 2.1.9. Кольца Ньютона. Рассмотрим вначале «классический»

вариант колец Ньютона. Это кольцевые полосы равной толщины, наблюдаемые при отражении света от поверхностей зазора между стек-

лянной пластинкой и соприкасаю-
щейся с ней плосковыпуклой линзой
(рис. 2.17). Волна, отраженная от
верхней плоской поверхности линзы
для обычных источников (не лазе-
ров), некогерентна с волнами, отра-
женными от поверхностей тонкого
зазора, и участия в образовании ин-
терференционной картины не при-
нимает. Поэтому следует учитывать
только волны, отраженные от по-
верхностей воздушного зазора. В этом	Рис. 2.17
случае при нормальном падении све-

та в отраженных лучах будут наблюдаться светлые и темные кольца с центром в точке соприкосновения линзы с пластинкой.

Условия усиления или ослабления света определяются оптической разностью хода лучей 1 и 2, которая, в свою очередь, зависит от толщины зазора h (см. рис. 2.17). Из геометрических соображений следует

	R2 −r2			r2				r2
h = R −		≈ R − R 1	−				=		,	(1)
				2R	2			2R

где r – радиус какого-либо кольца (при этом мы явно воспользовались тем, что r << R). Если мы говорим о темном кольце, то для его

образования должно быть выполнено условие

2h +	λ		1		λ	(k = 0,1, 2...),	(2)
	2	= k +	2

83

где дополнительное слагаемое λ/ 2 в левой части обусловлено «потерей» полуволны при отражении от пластинки. Из (1) и (2) находим радиус k-го темного кольца

rk = kλR (k = 0,1,2...).

Аналогичный расчет дает для радиуса k-го светлого кольца в отраженном свете значение

rk =		1		λR.
	k −	2

Нетрудно сообразить, что в проходящем свете темные и светлые кольца поменяются местами.

Если зазор между линзой и пластинкой заполнить прозрачной жидкостью с показателем преломления n, меньшим показателя преломления стекла, то, очевидно, выражение (2) изменится на

2hn +	λ		1		λ	(k = 0,1, 2...) ,
	2	= k +	2

и тогда радиусы темных колец уменьшатся и станут

rk = kλnR .

Посмотрим, что будет происходить с кольцами Ньютона при удалении линзы от пластинки. Каждое кольцо можно определить как линию, вдоль которой разность хода между интерферирующими лучами постоянна. Тогда легко видеть, что при удалении линзы от пластинки «кольца постоянной разности хода» будут сжиматься к центру картины. При этом центр картины будет попеременно то темным, то светлым.

Найдем теперь ширину колец Ньютона ∆r в зависимости от их радиуса r в области, где ∆r << r:

84

∆r = rk −rk−1 = kλR − (k −1)λR =									−
							kλR 1
Так как номера колец достаточно большие, то
	k −1		= 1− 1 ≈1−				1	.
	k
					k		2k
Таким образом,
∆r ≈			kλR	=	r λR	=	λR .
			2k
					2r2		2r

k −1 k .

Рассмотрим теперь «модификации» схемы формирования колец Ньютона.

1. На вершине сферической поверх-

ности	плосковыпуклой линзы		имеется
сошлифованный плоский участок радиу-
сом r0 ,	много меньшим радиуса линзы R
(рис. 2.18). Теперь толщина воздушного
зазора
h = R − R2 −r2 −(R − R2 −r02 ).
С учетом условий r0 , r << R это выраже-
ние приобретает вид						Рис. 2.18
	h ≈	r2		−	r2
					0	.
		2R
					2R

Тогда для радиусов, например, светлых колец имеем

rk = r02 + k − 12 λR.

2. Кольца Ньютона получаются между двумя плосковыпуклыми линзами, прижатыми друг к другу своими выпуклыми поверхностями (рис. 2.19). Радиусы кривизны линз R1 и R2. Наблюдение ведется

85

в отраженном свете. Данную ситуацию можно представить как наложение двух картин, отображенных на рис. 2.17 с разными радиусами кривизны. Таким образом, для толщины зазора имеем

h =

r2

+

r2

,

(3)

2R

2R

1

2

и тогда радиус k-го темного кольца

1

1

−1

rk =

kλ

+

.

R1

Рис. 2.19

R2

3. Пусть

теперь

плосковыпуклая

линза с радиусом кривизны R1

положена

на вогнутую

сферическую поверхность

с радиусом кривизны

R2

(рис. 2.20). Ин-

терференция наблюдается в отраженном свете.

В этом случае, очевидно, данная ситуация сходна с вышерассмотренной, только теперь радиус кривизны вогнутой поверхности следует считать отрицатель-

Рис. 2.20 ным. Тогда для толщины зазора в соответствии с формулой (3) имеем

	h =	r2	−	r2	,
		2R		2R
		1		2

а для радиуса k-го темного кольца получаем

			1		1	−1
	rk =	kλ		−		.
			R1		R2

86

4. Очень тонкая двояковыпуклая линза с радиусами кривизны R1 и R2 и диаметром d плавает на поверхности жидкости с показателем преломления, большим показателя преломления линзы n (рис. 2.21, а). Какая картина будет видна в отраженном свете?

а	б

Рис. 2.21

Так как по условию линза тонкая, то в формировании интерференционной картины принимают участие лучи, отраженные от обеих поверхностей линзы. Для того чтобы не загромождать рисунок, отобразим только ту часть, которая касается одной поверхности линзы с радиусом кривизны R1 (рис. 2.21, б). Тогда для толщины той части

линзы h1, которая участвует в формировании оптической разности хода, находим

h1 = b −h′ = R − R2 −(d / 2)2 −(R − R2 −r2 )≈

≈ d 2 − r2 . 8R1 2R1

Соответственно для аналогичной толщины h2 второй части линзы имеем

87

h ≈	d 2	−	r2	.
2	8R2		2R2

Запишем теперь условие формирования k-го светлого кольца: 2n(h1 +h2 ) = kλ.

Подставляя сюда значения h1 и h2 ,								находим радиус k-го светло-
го кольца:
	d	2		kλ		1		1		−1
rk =			−				+
									,
	4			n
						R1		R2

т.е. будет видна картина, похожая на кольца Ньютона.

2.2. Дифракция света

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления связаны с перераспределением светового потока в пространстве в результате суперпозиции волн. В то же время по историческим причинам перераспределение светового потока в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом когерентных источников, принято называть интерференцией. Если же когерентные источники расположены непрерывно, то это перераспределение называют дифракцией.

Различают два вида дифракции. Если источник света и точка наблюдения расположены от препятствия, на котором происходит дифракция, настолько далеко, что лучи образуют параллельные пучки, то это дифракция в параллельных лучах, или дифракция Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля. Характер дифракции зависит от безразмерного параметра

88

Рис. 2.22

p = h2 , lλ

где h – некоторый характерный размер отверстия или щели, на котором происходит дифракция; l – расстояние от препятствия до экрана; λ – длина волны. Если этот параметр много меньше единицы, то мы имеем дело с дифракцией Фраунгофера, если он порядка единицы, то это дифракция Френеля. Если же этот параметр много больше единицы, то оказывается применимым приближение геометрической оптики.

Вообще говоря, для описания дифракционных явлений не требуется вводить никаких новых принципов. Данная задача сводится к нахождению решения уравнений Максвелла при определенных граничных условиях. Однако такой подход представляет большие математические трудности.

Поэтому во многих случаях, имеющих большой практический интерес, оказывается вполне достаточным приближенный метод решения задачи о распределении светового потока, основанный на принци-

пе Гюйгенса–Френеля. Согласно этому принципу каждый элемент dS волновой

поверхности S (рис. 2.22) служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS и уменьшается с расстоянием r от источника до точки наблюдения по закону 1/ r. Таким образом, колебание в любой точке P, вызванное элементом dS, можно записать в виде

dE = ar0 K (ϕ)cos(ωt −kr )dS.

Здесь множитель a0 определяется амплитудой светового колебания в месте нахождения элемента dS; k – волновое число, k = 2π/ λ; ω – частота колебания. Коэффициент K (ϕ) зависит от угла ϕ между

89

Рис. 2.23

нормалью к элементу dS и направлением от элемента dS на точку P. При ϕ = 0 этот коэффициент максимален, при ϕ = π/ 2 обращается в нуль. Многие практически важные дифракционные задачи можно решить, не уточняя конкретного вида зависимости K (ϕ).

Результирующее колебание в точке наблюдения P представляет

собой суперпозицию колебаний dE от всех элементов dS,		располо-
женных на поверхности S:
E = ∫ a0	K (ϕ)cos(ωt −kr )dS.	(1)
S r

Это выражение и дает математическую формулировку принципа Гюйгенса–Френеля. В то же время вычисления по формуле (1) в общем случае представляют собой весьма трудную задачу. Однако в случаях, обладающих определенной симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть сведено к алгебраическому или графическому сложению (последнее особенно наглядно).

Рассмотрим для иллюстрации задачу о распределении интенсивности плоской световой волны при

дифракции Фраунгофера от узкой щели шириной b (рис. 2.23). Поместим за щелью собирающую линзу, а в ее фокальной плоскости – экран. Разобьем мысленно открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели бесконечно узкие одинаковые по ширине зоны-полоски площадью dS (если эти зоны-полоски

имеют конечную ширину и такую, что разность расстояний от их краев до точки P равна λ/2, то они называются зонами Френеля). Вторичные волны, посылаемые этими зонами в направлении,

90