книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения

			X (t) = A(t) X (t).				(6.13)
Действительно, так как функция					x jk (t)	удовлетворяет j -му уравнению
системы (6.12), имеем		dx jk		= ∑ a js (t)xsk (t) .			(6.14)
					n
		dt			s=1
Следовательно, вспоминая правило перемножения матриц, получаем
dx		jk			n
X (x) =			= ∑ajs (t)xsk (t) ≡ A(t) X (t),
	dt			s=1
что и требовалось доказать.
Заметим, что при нашем доказательстве не понадобилась
неособенность матрицы	X (t ) .			Поэтому		любая матрица X (t ) ,	столбцы

которой представляют собой решения линейной однородной системы (6.12), удовлетворяет матричному уравнению (6.13).

Обратно, если (n × n) матрица X (t) =[xjk (t)] удовлетворяет матричному уравнению (6.13), то столбцы ее

x ( k ) = colon[ x1k (t ),…, xnk (t )] ( k = 1,… , n )

представляют решения линейной однородной системы (6.12). Если при этом d e t X (t ) ≠ 0 , то матрица X (t ) является фундаментальной.

Действительно, очевидно, имеем

( k )

x (t ) = X (t )ek ,

где ek = colon[0,…,1,…,0]. Умножая справа на ek уравнение (6.13), получим

(k)

d

d x

(k)

[ X (t)ek ] = A(t)[ X (t)ek ], т.е.

= A(t)x

( k = 1,… , n ).

dt

dt

Если X (t )

– фундаментальная матрица системы (6.12), то, как известно,

каждое решение этой системы может быть записано в виде

(t) = X (t)

,

x

c

(6.15)

где c = colon[c1,…,cn ] – некоторая постоянная матрица-столбец.

Пусть решение x = x(t) удовлетворяет начальному условию x(t0 ) = x0 . Полагая в тождестве (6.15) t =t0, будем иметь

x(t0 ) = X (t0 )c ;

отсюда

= X

−1(t )

(t ) . Следовательно,

c

x

0

0

(t) = X (t) X −1(t0 )

(t0 ).

x

x

Вводя матрицу Коши C(t, t0 ) = X (t)X −1(t0 ), получим

(t) = C(t,t0 )

(t0 ).

x

x

(6.16)

131

В частности, если фундаментальная матрица X (t ) нормирована при t =t0, т.е. X(t0) = E, где E – единичная матрица, то формула (6.16) принимает вид

x

(t) = X (t)

x

(t0 ) .

(6.17)

Заметим, что матрица Коши не зависит от выбора фундаментальной матрицы

X (t ) . Действительно,

если X(t) есть

другая фундаментальная матрица

системы (6.2), то имеем X (t) = X (t)C ,

где C – постоянная

неособенная

матрица. Отсюда X −1(t) = C−1X −1(t) и, следовательно,

C(t,t ) = X (t)X −1(t ) = X (t)CC−1X −1(t ) = C(t, t ).

0

0

0

0

Любое решение

=

(t) неоднородной системы (6.10)

может быть

y

y

записано в виде

(t) =

(t) + X (t)

,

y

y

c

– постоянный (n × 1)-

где

(t) – некоторое фиксированное решение ее и

y

c

вектор. Если

(t) таково, что

(t0 ) =

, то, очевидно,

y

y

0

= X −1(t

c

) y(t

0

)

0

и, следовательно,

y(t) = y(t) + C(t,t0 ) y(t0 ) .

С другой стороны, общее решение неоднородной системы (6.10) можно найти методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа).

Будем искать указанное решение в виде

где X (t )

(6.12)

y

= X (t)

u

,

(6.18)

– фундаментальная матрица соответствующей однородной системы

dx = A(t)x dt

и u = u(t) – новая неизвестная вектор-функция. Подставляя выражение (6.18) в уравнение (6.10), получим

X (t ) d u + X (t )u = A(t ) X (t )u + f (t ), dt

или, поскольку

X (t) = A(t)X (t),

будем иметь X (t ) d u = f (t ). dt

t

Следовательно, u(t) = c + ∫ X −1 (t1 ) f (t1 )dt1.

t0

Поэтому на основании формулы (6.18) находим

132

						t
				(t) = X (t)		+ ∫C (t,t1 )		(t1 )dt1,
			y		c		f		(6.19)
						t0
где	C(t, t ) = X (t)X	−1(t )	– матрица Коши. Для определения произвольного
	1	1

постоянного вектора c в формуле (6.19) положим t =t0. Тогда будем иметь

c = X −1 (t0 ) y(t0 )

и, следовательно,

t

y(t) = C(t,t0 ) y(t0 ) + ∫C(t,t1 ) f (t1 )dt1.

t0

Это равенство называют формулой Коши.

В частности, если фундаментальная матрица X (t ) t =t0, т.е. X(t0) =E, то из формулы (6.20) получим

(6.20)

нормирована при

t

y(t) = X (t) y(t0 ) + ∫C(t,t1 ) f (t1 )dt1.

t0

Из формулы (6.20) вытекает, что неоднородная система (6.10) имеет частное решение

t

y(t) = ∫C(t,t1 ) f (t1 )dt1,

t0

удовлетворяющее условию y(t0 ) = 0 .

Заметим, что если матрица A (t ) = A постоянна и X(t0) =E, то

X (t) X −1(t1) и X(t −t1 +t0)

представляют собой фундаментальные матрицы однородной системы (6.12), совпадающие при t =t1. Поэтому

X (t)X

−1(t ) ≡ X (t− t + t ) .

1

1

0

Следовательно,

полагая

t0 = 0 ,

получаем, что

дифференциальная

система

dy

= Ay

+

f

(t),

(6.21)

dt

где A = const, имеет общее решение

t

(t) = X (t)

(0) + ∫ X (t − t1)

(t1)dt1 .

f

(6.22)

y

y

0

В частности, при

(0) =

получим,

что

неоднородная система (6.21)

y

0

обладает частным решением

t

y(t) = ∫ X (t − t1) f (t1)dt1 .

0

133

Воспользуемся полученными формулами для изучения устойчивости линейных дифференциальных систем.

Рассмотрим линейную дифференциальную систему (6.10) и соответствующую ей однородную систему (6.12).

Определение 6. Линейную систему (6.10) будем называть устойчивой

(или вполне неустойчивой), если все ее решения						y	=	y	(t) соответственно
устойчивы (или неустойчивы) по Ляпунову при t →					+∞ .
Замечание.	Как	мы	увидим	ниже,			решения			линейных

дифференциальных систем либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы. Подобная терминология не применима к нелинейным дифференциальным системам, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие – неустойчивыми.

Теорема 1. Для устойчивости линейной системы (6.10) при любом

свободном члене f (t) необходимо и достаточно, чтобы было устойчивым

тривиальное решение x0 ≡ 0 соответствующей однородной системы (6.12).

Доказательство.

1. Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть η = η (t) (t0 ≤ t<∞ ) есть некоторое устойчивое решение неоднородной системы (10). Это значит, что для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого

решения

=

(t) системы (6.10) при (t0 ≤ t<∞

) справедливо неравенство

y

y

(t) −

(t)

< ε ,

y

η

(6.23)

если только

(t0 ) −

< δ .

y

η

(t0 )

(6.24)

Но, как известно,

(t) =

(t) −

(t)

x

y

η

(6.25)

является решением линейной однородной системы (6.12), причем любое ее решение x(t) может быть представлено в виде (6.25).

Таким образом, неравенства (6.23) и (6.24) эквивалентны следующим:

< ε

при t0 ≤

t<∞ , если только

< δ .

x(t)

x

(t0 )

Отсюда

следует,

что

тривиальное решение

x0 ≡

соответствующей

0

однородной системы (6.12) устойчиво по Ляпунову при t

→ +∞ .

Замечание 1.

Из

доказательства

следует, что устойчивость

тривиального

решения

x0 ≡

однородной

системы

(6.12) вытекает из

0

устойчивости хотя бы одного решения линейной системы (6.10) при какомнибудь свободном члене f (t) (может быть, f (t) ≡ 0 ).

134

2. Докажем теперь достаточность условия теоремы. Пусть тривиальное

решение

x0 ≡

системы (6.12) устойчиво

по

Ляпунову при

0 однородной

t →

+∞ . Тогда, если

=

(t)

(t0 ≤ t<∞

) – произвольное решение однородной

x

x

системы такое, что

(t0 )

x

< δ (ε , t0 ),

(t)

< ε при t0 ≤ t<∞ .

то

x

Следовательно, если

(t)

некоторое решение

неоднородной

η

–

линейной системы (6.10) и

(t)

– произвольное решение этой системы, то из

y

неравенства

(t0 ) −

< δ

y

η

(t0 )

будет вытекать неравенство

(t) −

(t)

при t0 ≤ t<∞ .

y

η

< ε

А это значит, что решение

(t)

устойчиво при t →

+∞ .

η

Следствие 1. Линейная дифференциальная система устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решение этой системы, и вполне неустойчива, если неустойчиво некоторое решение ее.

Это утверждение непосредственно вытекает из теоремы 1 и замечания 1 к ней.

Следствие 2. Линейная неоднородная дифференциальная система устойчива тогда и только тогда, когда устойчива соответствующая однородная дифференциальная система.

Замечание 2. Таким образом, поведение решений линейной неоднородной системы (6.10) с любым свободным членом f (t ) в смысле устойчивости такое же, как поведение решений соответствующей однородной системы

(6.12).

Действительно для неоднородной системы (6.10) поле интегральных кривых

y(t) = y(t) + X (t)c ,

где y(t) – частное решение системы (6.10) и X (t ) – фундаментальная

матрица решений однородной системы (6.12), топологически эквивалентно (с сохранением близости) полю интегральных кривых

x(t) = X (t)c

соответствующей однородной системы (6.12); разница только та, что в первом случае «ось» y = y(t) , вообще говоря, криволинейна (рис. 6.4), а во

втором случае ось x ≡ 0 прямолинейна (рис. 6.5).

135

Рис. 6.4
									Рис. 6.5

Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением устойчивости лишь однородных линейных дифференциальных систем.

Определение 7. Линейную дифференциальную систему (6.10) назовем

равномерно устойчивой, если все решения y(t) этой системы равномерно

устойчивы при t →	+∞ относительно начального момента t	(a+∞; ) .
Теорема 2. Линейная дифференциальная система (6.10) равномерно
устойчива тогда	и только тогда, когда тривиальное	решение	x0 ≡
					0
соответствующей	однородной системы (6.12) равномерно	устойчиво при
t → +∞ .
Доказательство проводится с помощью рассуждений, аналогичных тем,

которые были применены при доказательстве теоремы 1.

Определение 8. Линейную дифференциальную систему (6.10) назовем

						этой	системы
асимптотически	устойчивой, если все решения y(t)
асимптотически устойчивы при t →			+∞ .
Теорема	3.	Линейная	дифференциальная			система	(6.10)

асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда тривиальное решение

	x0 ≡			соответствующей	однородной системы (6.12) асимптотически
			0
устойчиво при t → +∞ .
				Доказательство этой	теоремы непосредственно вытекает из того

обстоятельства, что разность двух решений линейной неоднородной системы есть решение соответствующей однородной системы (формула (6.25)).

Следствие. Для асимптотической устойчивости линейной неоднородной дифференциальной системы (6.10) при любом свободном

члене f (t) необходимо и достаточно, чтобы была асимптотически устойчивой соответствующая однородная система (6.12).

136

6.3. Устойчивость линейных однородных дифференциальных систем

Рассмотрим однородную систему
	d x			= A(t )		.	(6.26)
					x
	dt

Покажем, что устойчивость системы (6.26) эквивалентна ограниченности всех ее решений.

Теорема 4. Линейная однородная дифференциальная система (6.26) устойчива по Ляпунову тогда, и только тогда, когда каждое решение x = x(t) (t0 ≤ t<∞ ) этой системы ограничено на полуоси t0 ≤ t<∞ .

Доказательство.

1. Докажем сначала, что ограниченность решений линейной однородной системы достаточна для ее устойчивости.

Пусть любое решение системы (6.26) ограничено на [t0 ,∞ ) . Рассмотрим нормированную фундаментальную матрицу

X (t ) = x	jk	(t ) ,
где X(t0) =E. Поскольку матрица X (t )		состоит из ограниченных функций
x jk (t) , она ограничена, т.е.

X (t) ≤ M при t0 ≤ t<∞ ,

где M– некоторая положительная постоянная, зависящая, вообще говоря, от t0 .

Как известно (6.17), каждое решение x = x(t) системы (6.26) может быть представлено в виде произведения

x(t) = X (t)x(t0 ) .

Отсюда получаем

x(t) ≤ X (t) x(t0 ) ≤ M x(t0 )< ε ,

если только

			(t )		<	ε	= δ .
		x
	0					M
Следовательно, тривиальное решение								x0 ≡
										0, а значит, в силу теоремы 1

и любое решение системы (6.26) устойчиво по Ляпунову при t →			+∞ .
Таким образом, система (6.26) устойчива.
2. Докажем теперь, что ограниченность решений линейной однородной
системы необходима для ее устойчивости.
Пусть система (6.26) допускает неограниченное на [t0 ,∞ )			решение		(t) ,
				z
где, очевидно,		(t0 ) ≠ 0 . Фиксируя два положительных числа	ε > 0 и δ > 0,
	z
рассмотрим решение

137

(t ) =

z

(t )

δ

.

x

2

z(t

0

)

Очевидно, что

(t )

=

δ

< δ ,

x

0

2

причем в силу неограниченности z(t) для некоторого момента t1 > t0 имеем

			=		z(t1 )					δ	> ε .
x(t )
1					z(t			)	2
							0

Таким образом, тривиальное решение x0 ≡ 0 системы (6.26) неустойчиво по Ляпунову при t → +∞ , а следовательно, на основании теоремы 1 система (6.26) также вполне неустойчива.

Заметим, что здесь неустойчивость системы обнаруживается в усиленной форме, так как положительное число ε произвольно.

Следствие. Если неоднородная линейная дифференциальная система устойчива, то все ее решения или ограничены, или не ограничены при t → +∞ .

Пример 1. Скалярное уравнение

dy =1+t − y dt

допускает неограниченное решение y0 =t . Поскольку y(t) = t + y(0)e−t ,

то решение y0 , очевидно, устойчиво и даже асимптотически.

Замечание. Для нелинейной дифференциальной системы из ограниченности ее решений, вообще говоря, не следует устойчивость их.

Пример 2. Рассмотрим скалярное уравнение

dx = sin2 x . dt

Интегрируя, будем иметь (рис. 6.6)

x = Arcctg(ctgx	− t) при x0 ≠	kπ	(6.27)
0
x = kπ при x0 = kπ	k = (0, ±1, ± 2,...).		(6.28)
Все решения (6.27) и (6.28), очевидно, ограничены на ( − ∞ +, ∞			) .
Однако решение x0 =0 неустойчиво при t →		+∞ , так как при любом

x0 (0,π ), имеем

lim x = π .

t →+∞

138

π

Рис. 6.6

Теорема 5. Линейная однородная дифференциальная система (6.26) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения

x

=

x

(t) стремятся к нулю при t →

+∞

, т.е.

(t) =

.

lim

x

0

(6.29)

Доказательство.

t→

+∞

1. Пусть система (6.26) асимптотически устойчива при t → +∞ . Тогда

все ее решения, в том числе тривиальное

0 ≡

x

0, асимптотически устойчивы

при t → +∞ . Следовательно

(определение

4), для любого решения

(t)

ξ

системы (6.26) имеем

lim

(t) =

,

(6.30)

ξ

0

t →+∞

(t0 )

< ∆ , где t0

(a+∞,

) произвольно.

если только

ξ

Рассмотрим произвольное решение

(t), определяемое начальным усло-

x

вием

(t0 ) =

0 ≠ 0 . Положим

x

x

x

(t0 )

,

x(t) = ξ (t)

1

∆

где

2

(t)

∆

(t)=

x

.

ξ

2

x(t

0

)

Поскольку решение

(t) , очевидно, удовлетворяет условию

ξ

(t )

=

∆

< ∆ ,

ξ

0

2

139

то для него справедливо соотношение (6.30). Следовательно,

lim x(t) = 0 .

t→ +∞

Таким образом, необходимость условия теоремы доказана.

2. Пусть условие (6.29) выполнено. Тогда для каждого решения x(t) (t0 ≤ t<∞ ) будем иметь

			x	(t)	<1 при T < t < ∞ .
								[t0 ,T ] непрерывная вектор-функция
	Поскольку на конечном отрезке
								ограничено на полупрямой [t0 ,∞ ) и,
x(t) ограничена, то любое решение x(t)

следовательно, на основании теоремы 4 система (6.26) устойчива, причем ее тривиальное решение асимптотически устойчиво. Отсюда в силу теоремы 3 вытекает асимптотическая устойчивость системы (6.26).

Следствие. Асимптотически устойчивая линейная дифференциальная система асимптотически устойчива в целом (по определению 5).

Замечание. Для нелинейной дифференциальной системы стремление к нулю всех решений, вообще говоря, не является достаточным условием для асимптотической устойчивости тривиального решения ее.

Пример 3. Рассмотрим систему

dx		=		x		− t		2	xy	2	,
dt				t		y					(t ≥ 1),
dy			= −
							,
dt						t

допускающую тривиальное решение x = 0, y = 0 . Интегрируя, получим

x = c te−c22t					,
	1
		c2
y =			,
		t
или, полагая t0 =1, будем иметь
x(t) = x(t )te− y2 (t0 )(t−1)						,
	0
	y(t 0 )
y(t) =				.
	t
Очевидно, что					при t →+∞ .
x (t ) → 0 и y (t ) → 0
Однако для любого δ > 0 при x(t ) = δ 2 , y(t ) =δ						будем иметь
0	0

x(1+ δ12 ) > e−1 .

140