книги / Надежность электрических машин

151

вида f (x,µ1,µ2 , ..., µω ) при условии, что вид функции f(х) задан.

При этом параметры должны быть выбраны так, чтобы математическая модель закона распределения наилучшим образом отвечала имеющимся данным (см. гл. III).

Определение на основании статистических данных закона распределения случайной величины – важная и часто встречающаяся задача математической статистики. При этом необходимо подчеркнуть, что не существует способа непосредственного получения, по статистическим данным, математического выражения закона распределения.

Известные методы позволяют лишь подтвердить (или отвергнуть) соответствие данного статистического материала выдвинутой гипотезе о законе распределения. Итак, процедура нахождения математической модели закона состоит из двух этапов:

–выдвижения гипотез,

–проверки соответствия выдвинутых гипотез имеющимся статистическим данным.

Гипотезы о законе распределения могут выдвигаться на основе анализа физической природы и свойств рассматриваемой случайной величины. Источником этих гипотез может служить также предварительный анализ имеющейся статистики, в частности рассмотрение кривых статистической плотности распределения, так как гистограммы наиболее рельефно и наглядно отображают свойства распределения.

Проверка соответствия гипотезы статистическим данным сводится к установлению степени близости гипотетического (теоретического) и статистического (эмпирического) распределений. Решающую роль при этом играет выбор количественной меры U близости двух распределений.

С целью проверки гипотез о законе распределения применяются специально разработанные критерии – критерии согласия. Наиболее распространённые из них – критерий Пирсона

(критерий χ2 ) и критерий Колмогорова. При использовании

критерия Пирсона в качестве меры близости гипотетического и статистического распределений используется величина

152

U = ∑ (hэмп −hтеор)2 ,

hтеор

где hэмп – статистическое (эмпирическое) значение частоты; hтеор – гипотетическое (теоретическое) значение частоты.

При использовании критерия Колмогорова исходные данные представляются в виде упорядоченной статистической совокупности. Мерой близости сопоставляемых распределений является

величина максимального расхождения		гипотетической F(х)
и статистической F (x)	интегральных функций:
U =	m max[F(x ) − F (x )].
	i	i

Так как одно из двух распределений является статистическим, то и мера близости U является случайной величиной. Она подчиняется определённому закону распределения, который позволяет оценить вероятность появления различных её значений. На этом основана процедура проверки гипотез, состоящая из следующих этапов:

1.Вычисляется реализация U случайной величины.

2.На основе закона распределения U вычисляется вероятность

того, что величина U примет значение, равное или большее U , т. е.

P{U ≥U } =1− F (U ) = G(U ).

3.Если значение G(U ) достаточно велико, то полагают, что имеющиеся статистические данные не противоречат гипотезе.

4.Если значение G(U ) мало, то выдвинутая гипотеза со-

мнительна (гипотеза не принимается).

Задача получения значения G(U ) , разграничивающего принятие и непринятие гипотезы, не имеет строгого математического решения. Обычно полагают, если G(U ) ≤ 0,1, то справед-

ливость гипотезы следует подвергать сомнению.

Рассмотрим более подробно практическое использование критериев Пирсона и Колмогорова.

153

9.2. Практическое использование критериев Пирсона и Колмогорова

Одним из важнейших способов получения информации о надёжности технических изделий является сбор и статистическая обработка данных об износе и отказах, произошедших

впроцессе эксплуатации. При этом решаются следующие задачи:

1.Определение вида функции плотности распределения или интегральной функции распределения.

2.Вычисление параметров полученного распределения.

3.Установление с помощью критериев согласия степени совпадения эмпирического (экспериментального) распределения с предполагаемымгипотетическим(теоретическим) распределением.

Наиболее распространёнными теоретическими распределениями являются экспоненциальное, нормальное, логарифмическинормальное, распределение Вейбулла и гамма-распределение. Поэтому при определении вида распределения рекомендуется аппроксимировать экспериментальные характеристики этими законами в указанной выше последовательности.

Для подбора вида теоретического распределения, совпадающего в наибольшей степени с эмпирическим, чаще всего применяется метод максимума правдоподобия или метод наименьших квадратов, причём последний применяется для определения параметров распределения при полных выборках.

Для оценки степени совпадения эмпирической и теоретической кривых распределения применяются, как уже упоминалось, критерии согласия:

–критерий χ² (критерий Пирсона),

–критерий Колмогорова.

Оценка закона распределения случайной величины по критерию Пирсона (аналитический метод). Процесс аналити-

ческой оценки закона распределения разбивается на два этапа:

–построение гистограмм и кумулятивных кривых;

–проверка допустимости принятого закона распределения отказов по критериям согласия.

154

На первом этапе для построения гистограмм и кумулятивных кривых удобно использовать табл. 17.

Таблица 1 7

Исходные данные для построения гистограмм и кумулятивных кривых

Интервал

Абсолют-

Относитель-

Накоплен-

Вероятность

Интенсив-

ная часто-

ная часто-

безотказной

ность отка-

та

ная частота

та

работы

зов

1

2

3

4

5

6

∆ti

n(∆ti)

n(∆ti )

n(∆ti )

1 −

n(∆ti )

n(∆ti )

N0∆ti

N0

N0

nср∆ti

Для её заполнения вся область предполагаемого (гипотетического) распределения разбивается на k интервалов (k = 10 … 20), которые не обязательно должны быть равными. Границы интервалов ∆tі записываются в первый столбец табл. 17, во второй столбец – число отказов n(∆tі) на данном интервале, в третий столбец – значения относительных частот n(∆tі) / N0∆ti , где N0 – общее чис-

ло испытываемых или наблюдаемых образцов. Относительная частота одновременно является частотой отказов а(t). По данным этого столбца строится гистограмма, которая аппроксимируется штриховой кривой (см. рис. 18). Высота каждого прямоугольника соответствует относительной частоте в интервале ∆tі. Аналогичные гистограммы могут быть также построены и для вероятности безотказной работы Р(t) = 1 – n(∆tі) / N0 (пятый столбец) и для интенсивно-

сти отказов λ = n (∆tі) / (nср∆ti ) (шестой столбец), где nср – среднее число исправно работающих изделий научастке ∆tі.

Гистограмма, составленная из прямоугольников, аппроксимируется кривой, по виду которой предварительно устанавливается закон распределения отказов путём визуального сравнения с теоретическими кривыми.

155

График накопленных частот и соответствующая ему кумулятивная кривая строятся по данным четвёртого столбца табл. 17 (см. рис. 19).

Рис. 19. График накопленных частот (прямоугольники) и кумулятивная кривая (штриховая)

Высота последней ординаты соответствует объёму накоплений всего статистического ряда (100 %). График накопленных частот аппроксимируется кумулятивной кривой, которая плавнее в сравнении с аналогичной кривой для гистограмм (см. штриховые кривые на рис. 18 и 19).

Второй этап – это проверка совпадения эмпирической кривой распределения и выбранной теоретической по критерию χ². Критерий χ² рассчитывается по формуле

k	(hэмп −hтеор )2	(95)
χ2 = ∑	,
i=1	hтеор

где k – число интервалов; hэмп – эмпирическое значение частоты отказов; hтеор – гипотетическое (теоретическое) значение частоты отказов.

Критерий χ² чаще записывается в ином виде:

k	(hэмп −hтеор′ )2
χ2 = ∑		,	(96)
	′
i=1	hтеор

156

где hтеор′ – теоретическая частота, определяемая через произведение общего числа испытываемых или наблюдаемых изделий (N0 ) и интервальной вероятности ( pi ) , hтеор′ = N0 pi .

При этом значение интервальной вероятности вычисляют по формуле

	1		1	Ф						−Ф					,
pi =		(Ф(x1 < X < x2 )) =				xi′′− X					xi′− X					(97)
	2		2
					σ					σ

где xi′ и xi′′ – соответственно нижняя и верхняя границы времен-

ных интервалов; X – математическое ожидание или среднее значение случайного признака; σ – среднеквадратичное отклонение статистического ряда.

Значение функции Ф вычисляют по табл. П.8 прил. 1. Для

удобства промежуточные результаты расчёта представляют
в табличной форме (см. пример ниже).
Вычисленное по данным выборки значение критерия χ² срав-
нивается с критическим значением χα2	,ν в табл. П.9 прил. 1 для со-

ответствующей доверительной вероятности P(t), или коэффициента доверия α , и числа степеней свободы ν = k −µ −1, где k – число

интервалов, µ – количество параметров предполагаемого закона распределения (в табл. П.10 прил. 1 приведена более подробная

информация для определения критического значения χ2	при
1−α,ν

уровне значимости 1−α (см. подразд. 9.3) и числе степеней свободы ν). Если рассчитанное значение χ² меньше табличного, то гипотеза об идентичности эмпирического и теоретического законов принимается, в противном случае гипотеза отвергается и проверяется иной закон. Рассмотрим пример расчёта критерия χ².

Пример 9.1. Исходные данные представлены в табл. 18. Предполагается нормальный закон распределения случайной величины. Объём выборки n = 42, количество интервалов k = 5,

математическое ожидание X = 0,089837 , среднеквадратичное отклонение дисперсии σ = 0,00169.

157

						Таблица 1 8
	Исходные данные для определения критерия χ²
Ин-	Границы		Эмпири-	Интервальная	Теорети-		(hi − hi′)	2
тер-	интервала		ческая	вероятность	ческая	χi2 =
					частота		hi′
вал	′	′′	частота	pi
	xi	и xi	hi		hi′ = npi
1		2	3	4	5	6
k1	– ∞ … 0,0880		5	0,14005	5,8821	0,13228275
k2	0,0880 … 0,0890		9	0,172	7,224	0,43662458
k3	0,0890 … 0,0906		14	0,3616	15,1872	0,092804717
k4	0,0906 … 0,0920		10	0,22605	9,4941	0,026957248
k5	0,0920 … + ∞		4	0,1003	4,2126	0,010729421
			∑hi = 42	∑ pi =1,0000	∑hi′ = 42	∑χi2 = 0,7959633

Требуется подтвердить расчётом критерия χ² гипотезу о нормальном распределении представленной случайной величины.

Решение.

Производим подсчёт абсолютных частот в каждом интервале (третий столбец табл. 18).

Рассчитываем интервальную вероятность по формуле (97) (четвёртый столбец). Например, для первого интервала

			1			0,0880 − 0,089837			−∞ − 0,089837
	р1	=			Ф			− Ф			=
			2			0,00169			0,00169

= 12 (Ф(−1,086) − Ф(−∞)) = 12 (−0,7199 +1) = 0,14005 ;

для второго интервала

		р2		=	1		0,0890 − 0,089837			−		0,0880 − 0,089837		=
							Ф				Ф
					2			0,00169				0,00169
	=	1	(Ф(−0,4952) − Ф(−1,086))						=	1	(−0,3759 + 0,7199) = 0,172 .
		2								2

158

Расчёт теоретической частоты не требует разъяснений (пятый столбец).

Расчёт критерия χi2 производим по формуле (96) (шестой

столбец).

Следует отметить, что нахождение разности между эмпирическими и теоретическими частотами в формуле для определе-

ния критерия χi2 , т.е. (hi − hi′) , является основным моментом в определении χ². Интервальная вероятность pi указывает долю площади под гауссовой кривой распределения по гипотезе H0 (основной гипотезе) между верхними и нижними границами k-го интервала (рис. 20).

Рис. 20. Геометрическое представление интервальной вероятности pi

После суммирования значений в шестом столбце получают χ² = 0,7959633. Число степеней свободы ν = k – 1, где k – количество интервалов. Число ν уменьшается ещё на 2, так как по выборке оценивались два параметра нормального распределения µ0 = х и σ. Поэтому число степеней свободы ν = k – 3. В данном примере число интервалов k =5, поэтому ν = 5 – 3 = 2. С помощью табл. П.9 прил. 1 при числе степеней свободы ν = 2 и доверительной вероятности P = 0,95 находим значение χ² = 6.

159

Поскольку рассчитанное значение χ² = 0,7959633 < 6, основная гипотеза принимается. Результат не противоречит допущению, что выборка соответствует нормальному распределению генеральной совокупности. В табл. П.10 прил. 1 для числа степеней свободы ν = 2 и уровня значимости 1−α = 0,05 имеется то же

значение χ2 = 6 .

Для закрепления практического использования критерия χ² при испытаниях ЭМ в прил. 3 представлено задание на проведение статистических исследований.

Графический метод оценки закона распределения (кри-

терий Колмогорова). Наиболее распространёнными законами распределения времени безотказной работы являются: экспоненциальный, логарифмический, нормальный, логарифмическинормальный, Вейбулла. Именно этим законам подчиняются отказы основных узлов ЭМ.

Рассмотрим этот метод на примере экспериментальных данных. Экспериментальные данные записываются в табличной форме (табл. 19).

Таблица 1 9

Исходные экспериментальные данные для оценки предполагаемого экспоненциального закона распределения результатов испытаний по критерию согласия Колмогорова

Время отказа	Число отка-	Накопленное	Частота отка-	Частота отсут-
ti	завших изде-	число отказов Нi	зов Hi/Σni	ствия отказов
	лий ni			1–Hi/Σni
2	2	2	0,08	0,92
3	2	4	0,16	0,84
…	…	…	…	…
86	1	26	0,93	0,07
98	1	27	0,96	0,04
120	1	28	1,00	0,00
	∑ni = 28

160

В первый столбец вносят время отказа испытываемых изделий ti; во второй – число изделий ni, отказавших за данный период; в третий – накопленное к данному моменту число отказов Нi; в четвертый – частоту отказов Hi/Σni, где Σni – общее число отказов; в пятый столбец – результат расчёта вероятности отказов по формуле (1 – Hi/Σni).

Затем значения ti и (1 – Hi/Σni) наносятся на вероятностную бумагу со специальной координатной сеткой:

–если проверяется экспоненциальный закон, то используется бумага, где по оси абсцисс нанесена равномерная шкала для t,

апо оси ординат – логарифмическая шкала;

–если проверяется нормальный закон, то используется бумага, где по оси абсцисс нанесена равномерная шкала, по оси ординат – шкала, соответствующая нормальному закону;

–если проверяется логарифмически-нормальный закон, ис-

пользуется бумага, где по оси абсцисс нанесена логарифмическая шкала, а по оси ординат – шкала, соответствующая нормальному закону;

–если проверяется закон Вейбулла, используется специальная бумага.

Для рассматриваемого примера воспользуемся бумагой с логарифмической шкалой по оси ординат.

Проверку рекомендуется проводить в таком порядке. После

нанесения точек, соответствующих Hi/Σni или (1 – Hi/Σni), на бумагу проводится проверка, которая состоит в определении возможности линейной интерполяции экспериментальных данных, определении наибольшего отклонения D и проверке по критерию согласия Колмогорова. Прямую линию проводят так, чтобы отклонения точек от прямой были минимальными по обе стороны (рис. 21).

Наибольшее отклонение D определяется сравнением величин отклонения по оси ординат точек, построенных по экспери-

ментальным данным, от прямой при различных ti и выбором максимального значения (следует помнить о неравномерности шкалы ординат).