книги / Теоретические основы теплотехники. Теория теплообмена

тах ядерного реактора и т.д. Процессы, связанные со сменой агрегатного состояния, сопровождаются как подводом, так и отводом теплоты.

Рассмотрим процессы стационарной теплопроводности в телах простейшей формы при объемном тепловыделении, когда внутренние источники теплоты мощностью qV в размерности Вт/м3 равномерно распределены по объему тела и постоянны во времени.

1.7.1. Плоская стенка с внутренними источниками теплоты и граничными условиями первого рода

Пусть в неограниченной плоской стенке толщиной 2 действуют внутренние источники теплоты qV (рис. 1.16). Поверхности стенки имеют одинаковые температуры tw (граничные условия первого рода). Материал стенки изотропный с коэффициентом тепло-

		проводности λ = const. Зада-
		ча	является		одномерной,
		тепловые		потоки		распро-
		страняются вдоль оси х в
		направлении обеих поверх-
		ностей.		Требуется		найти
		температурное поле в стенке
		t(x) и распределение тепло-
		вых потоков q(x).
			При одинаковых темпе-
		ратурах поверхностей стен-
		ки	поле	температур будет
	Рис. 1.16. Плоская стенка	симметричным			относитель-
		но плоскости симметрии x =
	с внутренними источниками
	теплоты и граничными	= 0, поэтому в качестве рас-

условиями первого рода

50

четнойобластиможнорассматриватьтолькооднуполовинустенки, например правую. На границе x = 0 температура достигает макси-

мального значения tmax, а производная ddxt 0 . Поскольку значение

tmax неизвестно, в качестве граничного условия при x = 0 используется равенство нулю производной температуры (т.е. граничное условие второго рода с нулевым тепловым потоком). Таким образом, математическая формулировка задачи будет иметь вид

d 2t		q		0;
			V
d x2
x 0 :			d t		0;	(1.104)
			d x

x : t tw .

После интегрирования дифференциального уравнения получим

	d t	qV x C ;						(1.105)
	d x				1
t x			q x	2			.	(1.106)
			V	C x C		2
			2		1

Константы интегрирования С1 и С2 определяем из граничных условий. При х = 0 из выражения (1.105) находим С1 = 0; при х = δ из выражения (1.106) находим

C2 tw q2V 2 .

Подставляя найденные константы интегрирования в (1.106), находим частное решение задачи:

	t x tw	qV	2 x2 .	(1.107)
		2

51

Функция температурного поля в расчетной области представляет собой квадратичную параболу с максимальным значением температуры при х = 0:

	tmax tw	q 2	.	(1.108)
		V
		2

Плотность теплового потока определяется по закону Фурье:

q x	d t			qV x		q x .	(1.109)
	d x					V

На поверхностях стенки плотность тепловых потоков будет равна:

q qV .

(1.110)

1.7.2. Сплошной цилиндр с внутренними источниками теплоты и граничными условиями первого рода

Рассмотрим сплошной цилиндр, диаметр которого мал по сравнению с длиной. Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему тела и не зависят от времени. Поверхность цилиндра радиусом r0 имеет постоянную температуру tw . Материал цилиндра изотропный с коэффициентом теплопроводности λ = const. Как и в предыдущем случае, задача является одномерной и симметричной, а температура будет изменяться только по радиусу. Требуется найти температурное поле в цилиндре t(r), распределение плотности тепловых потоков q(r) и погонный тепловой поток ql с поверхности цилиндра в окружающую среду.

Граничные условия задаются на оси симметрии цилиндра r 0 и на поверхности r r0 . Математическая формулировка задачи будет иметь вид

52

d

2

t

1 dt

qV

1 d

d t

qV

0;

r

d r

2

r d r

r d r

d r

r 0:

dt

0;

d r

r r0: t tw .

Интегрируя дифференциальное уравнение, получим r ddrt 2qV r2 С1 ;

t r 4qV r2 С1 ln r C2 .

(1.111)

(1.112)

Определяя константы интегрирования из граничных условий,

находим С1 = 0;	C2	tw	q r2
			V 0 .
			4
Тогда частное решение задачи будет выглядеть так:
		t r tw		qV	r02 r2 .	(1.113)
				4

Как и в предыдущем случае, распределение температуры представляет собой квадратичную параболу с максимальным значением температуры на оси симметрии:

tmax

tw

q

r2

V

0 .

4

Плотность теплового потока

q r

d t

q r

q

(1.114)

V

V

r ,

d r

2

2

а на поверхности цилиндра

q

qV

r .

(1.115)

2

0

Погонный тепловой поток с наружной поверхности r = r0

q	2 r	qV r	r2q .	(1.116)
l	0	2 0	0 V

53

1.7.3. Плоская стенка с внутренними источниками теплоты и граничными условиями третьего рода

Пусть неограниченная плоская стенка толщиной 2 омывается с обеих сторон теплоносителем с температурой tf (рис. 1.17). Внутренние источники теплоты qV равномерно распределены по объему тела и постоянны во

	времени. Интенсивность теп-
	лообмена с окружающей сре-
	дой задана коэффициентами
	теплоотдачи α = const. Мате-
	риал стенки изотропный с ко-
	эффициентом	теплопровод-
	ности λ = const.
	Задача, как и в предыду-
	щих случаях, является одно-
	мерной, тепловые потоки рас-
	пространяются вдоль оси х в
Рис. 1.17. Плоская стенка	направлении обеих поверхно-
с внутренними источниками	стей. Требуется найти темпе-
теплоты и граничными	ратурное поле в стенке t(x) и
условиями третьего рода	распределение	тепловых по-

токов q(x). Кроме этого, температура поверхностей стенки tw здесь неизвестна и подлежит определению.

Математическая формулировка задачи будет иметь вид

		d 2t			q			0;
					V
		d x2
	x 0:				dt			0;	(1.117)
					d x
	x : q			dt			tw t f .
				d x

54

Общее решение (1.106) дифференциального уравнения содержит постоянные интегрирования С1 и С2, подлежащие определению. Константа С1 = 0 в соответствии с (1.105), а постоянную С2 и температуру поверхности tw, используя второе граничное условие и с учетом выражения (1.110), найдем из решения системы уравнений

qV tw t f ;

tw qV 2 C2 .

2

Решая систему, получим

C		t					q			q 2	;
							V			V
	2			f						2
t	w	t	f			qV		.

Тогда частное решение задачи будет иметь вид

	t x t f qV		qV	2 x2 ,
			2

(1.118)

(1.119)

(1.120)

а функция плотности теплового потока и максимальная температура tmax будут рассчитываться следующим образом:

q x qV x;
tmax t f	qV	qV	2	.	(1.121)
		2

55

1.7.4. Сплошной цилиндр с внутренними источниками теплоты и граничными условиями третьего рода

Рассмотрим длинный сплошной цилиндр (			), внутренние
источники теплоты в котором равномерно	распределены по объ-

ему тела и не зависят от времени. Заданы коэффициент теплоотдачи α и температура окружающей среды tf. Материал цилиндра изотропный с коэффициентом теплопроводности λ = const. Требуется найти температурное поле в цилиндре t(r), распределение плотности тепловых потоков q(r) и погонный тепловой поток ql с поверхности цилиндра в окружающую среду.

Математическая формулировка задачи будет иметь вид

d

2

t

1

dt

qV

1 d

dt

qV

0;

r

d r

2

r d r

r d r

d r

r 0:

d t

0;

(1.122)

d r

r r0: q

dt

tw t f .

d r

После первого ивторого интегрированиядифференциального

уравнения получим

qV

r

d t

r2

С ;

(1.123)

d r

2

1

t r

qV

r2 С ln r C

2

.

(1.124)

4

1

Из выражений (1.123) и (1.122) при r 0 следует, что С1 = 0,

а при r r0 с учетом (1.116)

q qV r0

tw t f ,

2

tw t f	qV r0 .
	2

56

Подставляя последнее выражение в (1.124), находим константу С2,

C2 t f	q r		q r2
	V 0		V 0 .
	2		4

Частноерешение задачиполучим, подставляя С1 иС2 в (1.124):

	t r t f qV r0		qV	r02 r2 .	(1.125)
			4
	2

Температура tmax на оси цилиндра ( r 0 )

t		t		qV r0		qV	r2 .		(1.126)
	max		f	2		4 0
Полныйтепловойпотоксповерхностицилиндрадлинойl рас-
считывается так:
Q q F qV r 2 r l q								r2l ,	(1.127)
			2 0		0		V	0
а погонный поток
		q		q r2 .					(1.128)
			l	V	0

57

2. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

Под конвекцией понимают процесс переноса массы вещества приперемещениив пространствемакрообъемовподвижнойсреды (например, жидкости, газа). Переносмассыпрактическивсегдасопровождаетсяпереносом энергии. Приконвекциитеплотымакрообъемы, содержащиебольшоеколичествомолекул, аккумулируют за счет своей теплоемкости теплоту в более нагретой части пространства и переносят ее в менее нагретую часть. Здесь «горячий» объем, соприкасаясь с окружающими его «холодными» объемами, передает им теплоту за счет теплопроводности.

Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и тепло-

проводностью называется конвективным теплообменом.

Физическая причина возникновения конвекции – наличие неоднородного поля давлений в текучей среде. В зависимости от того, каким образом создается разность давлений, различают кон-

векцию вынужденную и свободную (естественную). При вынуж-

денной конвекции разность давлений создается искусственно (вентиляторы, насосы). В условиях свободной конвекции движение среды обусловлено разностью плотностей в среде, вызванной, вчастности, неоднородностью температурного поляилиполяконцентраций (концентрационная конвекция). Свободная конвекция возможна только в поле массовых сил (гравитационном, поле электромагнитных сил, силакустическогодавленияит.д.). Например, в областях с неоднородным полем температур при наличии гравитации свободная конвекция возникает за счет архимедовой подъемной силы (термогравитационная конвекция).

В общем случае вместе с вынужденным движением может развиваться и свободное. Такая конвекция называется смешанной.

58

При больших скоростях вынужденного движения влияние свободной конвекции обычно становится пренебрежимо малым.

Процесс конвективного теплообмена, как и теплопроводности, можетбытьстационарныминестационарным. Встационарномпроцессе поля температур и скоростей перемещения среды не изменяются во времени, внестационарном– изменяются во времени.

Одной из основных задач конвективного теплообмена является исследование теплоотдачи – теплообмена между потоками теплоносителя (жидкости или газа) и поверхностью омываемого твердого тела (стенки).

При расчетах теплоотдачи используют закон Ньютона–Рих- мана. Он может быть записан в разных размерностях:

	W dF d tw t f , Дж ;
	dQ	W		dF tw t f				, Вт ;	(2.1)
		d
	q	dQ				Вт
		dF	tw t f ,				м	2 ,
					α
где W – количество		теплоты;				–	коэффициент теплоотдачи
[Вт/(м2	К)];		–
				температурный напор – разность между
температурой стенки		∆ и температурой теплоносителя							; – пло-

щадь поверхности теплообмена [м2]; τ – время теплообмена [с]. Закон устанавливает связь между количеством теплоты, под-

водимым к телу либо отводимым от него, и температурным напором. Связь между этими величинами осуществляется с помощью коэффициента теплоотдачи α. Он учитывает конкретные условия процесса теплоотдачи, влияющие на его интенсивность. Из уравнения Ньютона–Рихмана имеем

	Q		q	.	(2.2)
	F t
			t

Из этого выражения следует физический смысл α: коэффициенттеплоотдачихарактеризуетинтенсивностьтеплообменамежду поверхностью тела и теплоносителем и численно равен плотности теплового потока при единичном температурном напоре.

59