книги / Механика сплошной среды. Законы сохранения

		ˆ			0 ,	ˆ	(6.15)
		Dk	k			k 0
		k			k
следующая из (6.1), (6.13), (6.14) с учетом произвольности ,							k 1,..., N ,
						k
выполняется только при	D D			... D .		Для бинарной смеси	k A, B
		1	2		N

связи (6.13) и (6.15) оставляют независимыми один диффузионный поток и один коэффициент диффузии, называемый коэффициентом взаимной диффузии (табл. 6.1, первая строка). Полная система уравнений диффузии не замкнута и требует определения характеристической скорости. В сплошных средах, испытывающих деформации и взаимную диффузию компонент, (6.10) можно отождествлять с конвективной скоростью, если для исследуемой системы существует метод экспериментального определения коэффициентов диффузии в системе .

Уравнения	(6.10),	(6.13),		записанные для различных описаний
p, m, v	с учетом	v p v m v v , оказываются совместными. Для
		k	k	k

характеристических систем отсчета семейства существуют невырожденные связи диффузионных потоков

ˆ 2

2

ˆ 1

2 ˆ 1

xˆk

2

i

ji

jk

jk

xˆk

,

(6.16)

xˆ 1

xˆ

1

i

k

i

которые

выводятся

из

выражений

ˆ 2

2 ˆ 1

1

и

jk

xˆk jk

/ xˆk

v

1

v

2

2

2 ˆ 1

1

, полученных с использованием (6.2), (6.5), (6.12)

xˆk

i

ji

/ xˆi

i

и (6.13). Из (6.16)

следует равенство коэффициентов диффузии

D 1

D 2 .

k

k

Связь (6.16) имеет место только в характеристических системах семейства . Таблица 6.1 Характеристические скорости и уравнения диффузии для бинарной смеси

Ограничение

Балансовые уравнения

Закон

Коэффициенты

на потоки

диффузии

диффузии

d A

ˆ

ˆ

xˆ

dt

jA

D

J

J

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

DA

DB

ˆ

ˆ

A

B

j

j

0

ˆ

ˆ

jA

xˆ

D

A

D D D

v

xˆ

A

B

d x

xˆ

v

0

B A

A B

dt

xˆA

ˆ

ˆ

J A

D

j

t

B DA

A DB

j

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

J

J

0

J

xˆ

(

―

v

A

B

A

B

x

D

A

B

xˆ

ˆ

0

A

A

D , D

t

независимы)

ˆ

ˆ

v

J A J B

xˆ

d k

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

D

D

, D

D

ˆ

dt

jA

xˆ

DA A

A

A

B

B

x

―

либо

ˆ

ˆ

d xˆ

ˆ

ˆ

ˆ

j

j

A

B

ˆ

ˆ

ˆ

jB x DB B

xˆ v

j

DA DA , DB DB

xˆ

dt

121

Назовём семейством совокупность характеристических систем отсчета, связанных со скоростями

v			ˆ	/ xˆ		,	(6.17)
			jk
			k

где индекс p, m, v содержит в себе принадлежность к семейству систем отсчета и способ описания состава вещества. Это равенство,

примененное к (6.6) и (6.4), ведет к сбалансированности плотностей потоков и уравнению баланса

	ˆ			xˆ
	Jk	0	,		0	(6.18)
				t
	k
	и означает сохранение суммарной				величины	xˆ в локальном

пространственном объеме, то есть ее стационарность. Это не мешает локальному составу вещества в точке пространства изменяться с течением времени. Связанность плотностей потоков компонент оставляет

независимыми		диффузионные	потоки			ˆ	в	системе	отсчета данного
						jk
семейства	и	коэффициенты	D		законов			диффузии	(в	отсутствии
			k
перекрестных членов)
		ˆ	xˆ		ˆ		,			(6.19)
		jk			Dk k
что следует из совместности уравнений (6.5),								(6.17) и (6.18)1. Физическая
природа	несбалансированности		диффузионных потоков						ˆ	состоит в
									jk

существовании потока вакансий («вакансионного ветра») или других физических полей, обеспечивающих взаимную диффузию [27]. В рамках феноменологического подхода влияние вакансионного ветра отражается в

выражениях для коэффициентов				диффузии				D	через	коэффициенты
								k
самодиффузии. Например, для бинарной смеси								k A, B		законы (6.19) с
учетом (6.5) и (6.17) записываются через плотности потоков
ˆ	xˆ		ˆ	, D						(6.20)
Jk			D k			B DA A DB
с помощью одного коэффициента взаимной диффузии D .										Полная система

уравнений баланса вещества приведена во второй строке табл. 6.1. Система отсчета , связанная с инертными частицами (маркерами), используется для экспериментального определения коэффициентов диффузии в металлических сплавах. Коэффициенты взаимной диффузии могут быть определены из решения обратной задачи при известных экспериментально определённых профилях распределения компонентов. В системе для бинарной смеси коэффициент диффузии D равен коэффициенту взаимной диффузии D (см. табл. 6.1, строка 1).

122

ˆ jk

Покажем, что уравнения (6.18)1					при различных 1 2 , i						p, m, v
являются несовместными и			v 1	v 2 . Если предположить противное, то есть
			k	k
vk1 vk 2	vk , тогда из (18)1 с учётом (2) следует система двух уравнений
	xˆ 1 v xˆ 1 v ... xˆ 1 v 0				, xˆ 2 v xˆ 2 v			... xˆ 2 v		0
	1 1	2 2	N N		1 1	2	2		N N
которая	является	совместной		при	условии		xˆ	2 xˆ 1	xˆ 1 xˆ 2	,	означающем
								N k	N k
m1 m2 ... mN и V1		V2 ... VN ,		то есть неразличимость компонент. Поэтому

(6.18)1, в отличие от (6.10), накладывает дополнительное кинематическое ограничение на диффузионный массоперенос. Формальный переход из

системы отчёта в систему

получается

из ограничения

v 0 ,

означающего сбалансированность плотностей потоков компонентов (18)1.

Рассмотрим систему отсчёта , связанную с локальным материальным

объёмом деформируемого твердого тела, движущимся со скоростью

v

ˆ

ˆ

.

k

Jk / xˆ

k

jk / xˆ

Полагая в этой системе

коэффициенты

диффузии D D

либо

k

k

D D , можно получить две базовые модели диффузии в деформируемом

k

k

твердом теле. Тем самым принимается гипотеза о движении локального материального элемента вместе с характеристической системой отчёта либо с , позволяющая разделить движение на диффузионную и

конвективную составляющие. Во втором случае потоки являются несбалансированными. В соответствующей системе уравнений, данных в третьей строке табл. 6.1, скорость перемещения, переменные состояния, диффузионные потоки веществ и коэффициенты диффузии маркированы индексом p, m, v , который содержит в себе принадлежность к

семейству систем отсчета и способ описания состава вещества. Система уравнений диффузии не замкнута и требует добавления уравнений механики.

		Если даны сбалансированные k ,	k	k 0	и несбалансированные	k	,
	k	0 плотности потоков и законы диффузии для несбалансированных
	k

потоков без перекрестных членов k xˆ Dk ˆ k , то закон диффузии (для двухкомпонентной смеси) для сбалансированных потоков имеет вид

k x D ˆ k , D B DA A DB .

Это следует из соотношения

			k	xˆ v ,		(6.21)
	k			k
где v ― разность скоростей рассматриваемых					систем, откуда с учётом
сбалансированности k	сначала вытекает v k k					/ xˆ , а затем с учётом
			123

		,			, из которых
(6.21) выводятся соотношения A B A	A B		B A B	B A

следует искомый результат. Применение данного утверждения к системам и даёт

D B DA A DB , Dk Dk .

ˆ	и	ˆ
Выше это же утверждение в применении к плотностям потоков Jk		jk

приводило к (6.20).

Покажем связь коэффициентов диффузии законов, записанных для разных переменных состава. Рассмотрим характеристическую систему отсчёта, в которой определены несбалансированные диффузионные потоки

j 1 , скорости компонентов vk

и скорости v 1 v 2 , и осуществим переход от

k

переменных состава

1

к

2 . Для бинарной смеси закон диффузии (6.19) с

2

2

1

2

ˆ

1

1

1

xˆ

2

2

ˆ

2

принимает вид

учётом xˆA

xˆB xˆ

k

xˆA xˆB

k

ˆ

xˆ

xˆ 1 xˆ 1 xˆ 2

ˆ

.

Dk

jk

1

2

xˆ 2 xˆ 2 xˆ 1

k

2

1

A

B

A

B

Далее диффузионные потоки записываются в переменных

xˆ 2

и xˆ 2

A

B

xˆA2

1

2

1

2

1

B1

2

ˆ

v

xˆ D

ˆ

xˆ

1

j

A

xˆ

A

A

v

A

2

A

,

A

B

xˆB2

1

2

1

2

1

A1

2

ˆ

v

xˆ D

ˆ

xˆ

1

j

xˆ

v

2

,

B

B

B

B

B

B

A

откуда следует

2 D 2

1 D 1

,

2

D 2 1 D 1 .

(6.22)

B

A

B

A

A

B

A

B

Формулы (6.22) позволяют осуществлять переходы между коэффициентами диффузии при её описании различными переменными состава. Из связи коэффициентов диффузии и для бинарной системы получаем, что (6.22) не противоречит равенству D 1 D 2 .

В табл. 6.2 приведены соотношения для бинарной смеси в мольном описании в различных системах отсчета при условии молекулярной несжимаемости, которое обсуждается в следующем разделе. Здесь

a da / dt a / t v ˆ a означает материальную производную, и для прозрачности убраны индексы, что не означает равенства переменных и коэффициентов в различных строчках таблицы, а также использованы обозначения мольных концентраций cˆA , cˆB .

124

Таблица 6.2

Бинарные смеси в мольном описании при условии молекулярной несжимаемости

Семейств

и

Балансовые уравнения

Закон

Коэффициенты

о систем

ограничение

диффузии

диффузии

отсчета

на потоки

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

D D

D

v k Vk Jk

jA

ˆ

cA

cA v jA

D cA

A

B

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

0

cˆB cˆB v jB

j

B

D cˆ

B

Vk jk

k

v

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

c

c

ˆ

D

Vk jk

A

ˆ ˆ

B

ˆ ˆ

J A D cA

B B A

k

t

J A ,

t

JB

ˆ

ˆ

VAcˆA DB

ˆ

0

J

D cˆ

Vk Jk

B

B

k

v

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

D

, D

Vk Jk

cA

cA v jA

jA

DA cA

A

B

k

ˆ

cˆ

cˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

v j

j

D cˆ

Vk jk

B

B

B

B

B

B

k

Отметим, что любое из описаний допускает изменение химического состава и числа частиц элементарного объема материала.

6.3. Связанные уравнения взаимной диффузии и деформации материала

Получим связанные уравнения взаимной диффузии и деформаций твердого тела, разрешенные классической термодинамикой необратимых процессов. Рассматриваются квазистатические процессы в изотермических условиях. В качестве скорости локального материального объёма принимается скорость v . Вывод определяющего неравенства можно осуществить одним из двух эквивалентных способов: через локальную форму балансового уравнения для энтропии, либо через второе начало термодинамики в интегральной форме. Согласно первому подходу записывается баланс внутренней энергии в отсчётной конфигурации

u J m m	Js : e , a	d a		a			ˆ
		dt		t	v		a ,	(6.23)

где u ― объёмная плотность внутренней энергии в отсчётной конфигурации, а тензор напряжений Коши и тензор скоростей деформаций разложены на

шаровую		m ,		m		составляющие
					и девиаторную s , e
					σ m I s , ε m I / 3 e .		(6.24)

Отсчётная конфигурация соответствует телу без напряжений и деформаций в момент времени t 0 . Прибавим и вычтем в правой части (6.23) величину

125

k k xk , где	k ― химический потенциал компоненты k,		xk Jxˆk , что с
учётом балансового уравнения для		x
		k
	x j ,		(6.25)
	k	k

где

j

― диффузионный поток компоненты k в отсчётной конфигурации,

k

выражения

j

j j

k

и связи u Ts f даёт

k

k

k

k k

Ts

k jk

f J m m

Js : e

k xk

jk k .

(6.26)

k

k

k

Согласно второму

закону

термодинамики локальное производство

энтропии внутри системы не может быть отрицательным, поэтому из (6.26) имеем

f			k xk	jk k J m m Js : e 0	,	(6.27)
			k	k
где было учтено условие изотермичности процессов T const .
Следуя второму подходу, записывается интегральная форма
термодинамического неравенства в отсчётной конфигурации
	d		fdV k k jk ndS Jσ : εdV .
	dt
		V	S	V

где f ― объёмная плотность свободной энергии в отсчётной конфигурации, которая в силу постоянства отсчётного объёма V и теоремы Гаусса – Остроградского

f k k jk Jσ : ε dV 0 .	(6.28)
V

Далее используются уравнения баланса вещества (6.25) и разложения (6.24) при локализации (6.28) к произвольному объёму

f k xk	jk k Jσ : ε 0 .	(6.29)
k	k

Неравенства (6.27) и (6.29) совпадают. Разрешение (6.29) будет зависеть от выбора реологической модели. В рамках модели вязкоупругого тела Максвелла тензор скоростей деформаций разделяется на упругую и вязкую составляющие

ε εe εv , εe e	I / 3 ee , εv v	I / 3 ev ,	(6.30)
m	m

Свободная энергия полагается функцией f f xk , em ,ee , поэтому

	f		f	xk	f	em	f	: ee .	(6.31)
		k x			e		ee
			k		m

Учёт (6.30) и (6.31) ведет к записи (6.29) в виде

	k
k

f ixk k

ˆ

k jk

ˆ

v

v

f

e

f

e

k

m m

s : e

m

e

m

s

e

e

: e

m

0,

(6.32)

126

где введены истинные скорости объёмного внедрения Jik xk , использована

	k	ˆ	ˆ	и учтена геометрическая линейность 1/ J 1 в
связь jk		Jjk	k

слагаемых со скоростями упругих деформаций. Неравенство (6.32) может быть разбито на обратимую и необратимую части

	k
k

либо

f

f

f

ik

m

em

s

: ee 0

,

e

e

e

xk

m

ˆ

ˆ

v

v

0

(6.33)

jk

k

m m s : e

k

f

e

f

e

m

m

s

: e

0

,

e

e

e

m

f

ˆ

ˆ

v

v

k

xk

ik

jk

k

m m

s : e

0

(6.34)

k

k

в зависимости от того,

обратимым или необратимым полагается процесс

объемного внедрения. Независимость скоростей

i

,

e

e

в равенстве (6.33)1

k

m

, e

требует

f

,

f

,

s

f

.

(6.35)

x

ee

k

m

e

k

m

Неравенство

(6.33)2

в

условиях пренебрежения перекрестными

коэффициентами диффузии имеет решение

ˆ

ˆ

ˆ

v

s 2 e

v

jk

xk

Mk

k

,

m

m

,

при

M

0,

0 и

0 . Решение системы (6.34)

в рамках аналогичных

k

допущений дает

f

f

f

ˆ

ˆ

v

v

m

ˆ

,

s

, ik ζ

μk

, jk

k ,

m

m

, s

em

ee

xk

xk Mk

2 e .

Определим свободную энергию

f

следующим образом:

f f

ch

x f

e

x , e

,ee

f

ch

x

G

ee : ee K

e 2 ch

x e

,

k

k

m

k

k

k

m

m

k

m

(6.36)

где

fch

― свободная энергия

при отсутствии напряжений (индекс

ch от

chemical),

fe ― свободная

упругая

энергия, G ― модуль

сдвига, K ―

объёмный модуль. В силу принятого разложения (6.36) вид функции

fch xk

не будет влиять на m , определенное по (6.35)2. Не задавая явную форму fch , запишем

127

	fch	0				chm xk chm			xk
		k	RT ln k k k							,	(6.37)
	x					x		K
	k					k			k
где k ― коэффициенты				термодинамической					активности,		R ―

универсальная газовая постоянная. Подставив (6.36) в (6.35)2 и (6.35)3,

можно получить определяющие уравнения для напряжений

m

K

e

ch

ˆ

, s

2G

e

e

,

(6.38)

k

m

m

xk

k

где в силу малости деформаций в аргументе

ch

принимается

x xˆ

. Затем,

m

k

k

из (6.38)1 выражаем em

и подставляем в (6.37), что приводит к

0

1

ch

ˆ

m

xk

k

k

RT ln k k k

m

(6.39)

K

ˆ

k

xk

где в силу малости упругих деформаций оставлено только линейное

слагаемое с e			и положено 1/ J 1. В случае однородной среды и отсутствии
		m
диффузии компонент chm					const можно ввести обозначение			mmech m chm
(индекс		mech		от	mechanical),	тогда	уравнение	равновесия
ˆ	ˆ	mech						ch
σ m			I s 0 принимает стандартную форму, а постоянная m не

будет влиять на решение механической задачи. В обратной ситуации, при

отсутствии напряжений	σ 0,		химический потенциал (6.39) принимает
классическую форму k	0
	k	RT ln k k k , которая выводится методами

статистической термодинамики.

Модель упруговязкого тела Кельвина ‒ Фойгта предполагает разделение на упругую и вязкую составляющие тензора напряжений:

σ = σv + σe , σe

σe I se ,

σv σv I sv .

(6.40)

m

m

Свободная энергия Гельмгольца полагается в виде

f f xk , m ,e ,

откуда

f

f

xk

f

m

f

: e .

(6.41)

x

k

m

e

k

Учёт (6.40) и (6.41) в (6.29) ведет к неравенству, имеющему решение

f

,

σe

f

,

se f ,

(6.42)

k

x

m

ε

e

m

ˆ

k

ˆ

ˆ

k ,

v

m , s

v

2 e

jk

xk

Mk

m

впредположении об обратимости процесса объемного внедрения.

Записывается выражение для f

следующим образом

f

ch

x f

e

x ,

m

,e f

ch

x G

e : e K

2

ch x

m

,

k

k

k

k

k

m

m k

128

что при подстановке в первые три уравнения (6.42) вместе с (6.37) даёт окончательно

0

1

m xk

e

k k

RT ln k k k

ch

ˆ

m ,

K

ˆ

k

xk

e

K

m

ch

ˆ

, s

e

2G

e ,

(6.43)

m

k

m

xk

k

где в k использовано

уравнение

(6.43)2

и

применено условие малых

деформаций аналогично (6.39). Альтернативный подход к решению неравенства (6.32) основывается на множителях Лагранжа. Итоговые системы уравнений сведены в табл. 6.3.

Таблица 6.3 Связанные уравнения взаимной диффузии и деформации материала

Величина

Уравнения

Модель Максвелла

Модель Кельвина ‒ Фойгта

Баланс вещества

d ˆxk

ˆ

ˆ

ˆ

ˆxk

ˆ

ˆxk

ˆxk

v

jk

,

ˆxk

dt

t

v

ˆxk

Диффузионные потоки

ˆ

ˆ

jk

ˆxk Mk

k

Химические потенциалы

k

k RT ln k

k

k

1

chm ˆxk

m

0

K

k

ˆxk

Уравнение равновесия

ˆ

σ 0

Напряжения

σ m I s

σ m m I s

s

e

v

e

v

Деформации

e

v

I / 3 e

e

e

v

ε m I / 3 e

ε m m

Кинематическое

1

ˆ

ˆ

соотношение

ε

v

v

2

Реологические уравнения

m

K k m m ˆxk

m

m

K k

m

m

ˆxk ,

e

ch

v

e

ch

s 2G k ee 2 ev

vm m

se 2G k e , sv 2 e

Если в качестве скорости локального материального объёма принимается средняя скорость многокомпонентной среды (6.12), то определяющие уравнения будут выводиться аналогично, но с

использованием предположения f f k , em ,ee либо	f	f k , m ,e	и
балансовых уравнений для переменных состава	.	Несмотря	на
	k
129

теоретическую связь коэффициентов законов диффузии, соответствующие модели связанных процессов не являются эквивалентными. Пусть есть сбалансированная и несбалансированная системы с тензорами скоростей деформации

1

ˆ

ˆ

1

ˆ

ˆ

ε

2

v

v

,

ε

2

v

v .

Если рассмотреть

в

характеристических

системах

одинаковые

v

v

реологические соотношения для объемных деформаций m

m

,

m

m

,

то с помощью соотношения для суммы по компонентам уравнений (6.21) и

определений для ε и ε получается
v	v	ˆ	ˆ	/ xˆ		) .
m	m	( j

Средние напряжения в моделях связанных процессов различны. Это утверждение не распространяется на связанные модели, использующие скорость маркера, поскольку в этом случае v 1 v 2 .

Рассмотрим связанные уравнения взаимной диффузии и деформации в рамках реологической модели Максвелла при условии молекулярной несжимаемости. В качестве переменных состава принимаются мольные концентрации, а для конвективной скорости вводится обозначение v, чтобы подчеркнуть v v p вследствие условия молекулярной несжимаемости. Последнее предполагает, что коэффициент объёмного расширения J есть однородная функция первой степени по мольным концентрациям, и с учётом независимого упругого деформирования элементарного объема материала он представляется

			J k Vk 1p , 2p ,..., Np 1 ck em ,		(6.44)
где ck		ˆ	― мольные концентрации в отсчётной конфигурации, а	e		J	e
		Jck		m			m

в случае малых деформаций. Предположим отсутствие упругих деформаций

e		ˆ	ck dnk	/ dV	в (39), что даёт
m 0 и используем определения J dV / dV ,
ˆ		условие молекулярной несжимаемости не
dV Vk dnk . Таким образом,
k
означает	несжимаемость среды	в понимании	механики		деформируемого
твердого	тела, а определяет материальный		объём	ˆ	как структуру,
				dV

непрерывно заполненную молярными объёмами компонент. В актуальной конфигурации (6.44) принимает вид

ˆ		1	e	(6.45)
Vk ck			m .
k
Дифференцированием (6.45) по			ˆ	/ dt		0
		времени с учётом ck dVk

k

получаем

130