книги / Методы вычислительной математики
..pdf9.4. Метод Галеркина1
Метод Галеркина отличается от метода моментов тем, что в качестве взвешивающих функций используются те же самые пробные функции, то есть
ψ j ≡ ϕj , |
j = |
1,m |
. В этом случае формула (9.15) принимает вид: |
||||||
b |
|
|
|
m |
m |
m |
|
||
∫a |
F x,ϕ0 + ∑ak ϕk ,ϕ′0,x + ∑ak ϕ′k ,x ,ϕ′0′,xx + ∑ak ϕ′k′,xx ϕj dx = 0, j = |
|
. |
||||||
1,m |
|||||||||
|
|
|
k=1 |
k=1 |
k=1 |
|
Использование метода Галеркина рассматривается применительно к частному случаю линейного дифференциального уравнения второго порядка
|
|
|
|
(p(x)y′x (x))′x |
− q(x)y(x) = |
f (x) |
(9.16) |
||||
с граничными условиями |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y(a) = A, |
y(b) = B. |
|
(9.17) |
|||
|
|
Согласно идее метода Галеркина |
|
|
|
|
|
||||
b |
|
′ |
′ |
|
b |
′ |
′ |
b |
b |
|
|
|
|
∫qymϕj dx − ∫ fϕj dx = 0, j =1,m. |
|||||||||
∫ (pym,x )x |
− qym − f |
ϕj dx = ∫(pym,x )x ϕj dx − |
|||||||||
a |
|
|
|
|
a |
|
|
a |
a |
Первое слагаемое этого выражения преобразуется следующим образом:
b |
′ |
|
|
b |
′ |
b |
|
|
|
b |
b |
|
|
|
′ |
|
|
′ |
′ |
′ |
′ |
|
|
|
′ |
′ |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫(pym,x )x |
ϕj dx = ∫(pym |
,xϕj )x |
dx − ∫ pym,xϕj,x dx = pym,xϕj |
a − ∫ pym,xϕj,x dx . |
||||||||||
a |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
Теперь предыдущее выражение можно представить в виде |
|
|
||||||||||||
|
|
|
b |
b |
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ ′ |
|
|
|
|
j =1,m . |
|
(9.18) |
||||
pym,xϕj |
a |
− ∫ pym,xϕj,x dx − ∫qymϕj dx − ∫ fϕj dx = 0, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что граничные условия заданы в виде (9.17), пробные функции выбираются из условия
ϕj (a) = ϕj (b)= 0, j =1,m,
1 Галеркин Борис Григорьевич [20.2.1871 – 12.7.1945] – |
русский инженер и ученый |
в области теории упругости. Окончил Санкт-Петербургский |
технологический институт |
в 1899 году. Работал на Харьковском паровозостроительном заводе. Начал свою плодотворную научную деятельность в тюрьме, куда попал за свои антимонархические убеждения. Первое назначение на педагогическую деятельность получил в 1909 году в СанктПетербургском политехническом институте; в 1920 году стал деканом факультета прикладной механики. Был избран членом-корреспондентом АН СССР с 1928 года, действительным членом Академии наук СССР – с 1935 года. В 1942 году получил Государственную премию
СССР. В 1941 и 1945 годах был удостоен орденов Ленина.
201
что приводит к упрощению выражения (9.18):
b |
b |
b |
||
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
||
− ∫ pym,xϕj,x dx − ∫qymϕj dx − ∫ fϕj dx = 0, j =1,m . |
||||
a |
a |
a |
В последнее соотношение подставляется представление (9.14) искомой функции в виде ряда и выполняются преобразования:
|
b |
|
m |
′ |
|
b |
|
m |
|
b |
||
− ∫ p ϕ0 + |
∑ak |
ϕk ϕ′j,x dx − ∫q ϕ0 + |
∑ak ϕk ϕj dx − ∫ fϕj dx = 0, |
|||||||||
|
a |
|
k=1 |
x |
|
a |
|
k=1 |
|
a |
||
b |
|
|
m |
b |
|
|
b |
m |
b |
b |
||
− ∫ pϕ′0,xϕ′j,x dx − ∑ak |
∫ pϕ′k ,xϕ′j,x dx − ∫qϕ0ϕj dx − ∑ak ∫qϕk ϕj dx − ∫ fϕj dx = 0, |
|||||||||||
a |
|
|
k=1 |
a |
|
|
a |
k=1 |
a |
a |
||
m |
b |
|
|
|
b |
|
b |
|
|
b |
||
− ∑ak |
∫ |
(pϕ′k ,xϕ′j,x + qϕk ϕj )dx = ∫ fϕj dx + ∫ pϕ′0,xϕ′j,x dx + ∫qϕ0ϕj dx, j = |
|
. |
||||||||
1,m |
||||||||||||
k=1 |
a |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b |
|
|
|
|
b |
b |
|
b |
||
C jk = −∫ (pϕ′k ,x ϕ′j,x + qϕk ϕj )dx, |
f j = ∫ fϕj dx + ∫ pϕ′0,x ϕ′j,x dx + ∫ qϕ0 ϕj dx, |
|||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
a |
a |
|
a |
последнее выражение можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений
m |
|
∑C jk ak = f j , j =1,m , |
(9.19) |
k=1
относительно коэффициентов ak , k =1,m , разложения (9.14) решения в ряд по пробным функциям. Эта система имеет симметричную матрицу коэффициентов, поскольку очевидно, что Ckj = C jk . Необходимо отметить, что в случае за-
дания граничных условий в форме (9.13) разрешающие соотношения (9.18) приводятся к виду (9.19) с иными значениями коэффициентов,
|
|
|
C jk = [pϕ′k ,xϕj ]ba |
− ∫b (pϕ′k ,xϕ′j,x + qϕk ϕj )dx , |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
(9.20) |
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
′ |
|
|
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f |
|
= |
|
fϕ |
dx + |
|
dx + |
|
qϕ |
ϕ |
ϕ |
|
] . |
|||
|
j |
|
∫ |
j |
|
∫ |
0,x |
j,x |
|
∫ |
0 |
j |
0,x |
|
j |
a |
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Пример 9.3. Решить уравнение стационарной теплопроводности
(λθ′x (x))′x + J (x)= 0
202
для стержня единичной длины, теплоизолированного с боковой поверхности; полагается, что на левом и правом торцах поддерживается заданная температу-
ра θ(0) = θ0 , θ(1)= θ1 ; λ = const, J = const.
Система пробных функций строится на основе системы полиномов. В качестве «нулевой» выбирается линейная функция ϕ0 (x)= θ0 + (θ1 − θ0 )x . Осталь-
ные пробные функции представлены в форме |
|
|
|
|||||
ϕ |
(x) = (x −1)x , ϕ |
2 |
(x)= (x −1)x2 , ϕ |
3 |
(x)= (x −1)x3 |
, …, ϕ |
k |
(x) = (x −1)xk . |
1 |
|
|
|
|
|
Для рассматриваемого уравнения, в отличие от выражения (9.16), функция q(x) = 0. Рассчитываются коэффициенты системы уравнений (9.19):
C11 = −∫1 (pϕ1′,xϕ1′,x + qϕ1ϕ1 )dx = −λ∫1 (ϕ1′,x )2 dx = −λ∫1 (2x −1)2 dx = −λ3 ,
0 0 0
C12 = C21 = −λ∫1 ϕ1′,xϕ′2,x dx = −λ6 ,
0
C13 = C31 = −λ∫1 ϕ1′,xϕ′3,x dx = −λ10,
0
C22 = −λ∫1 (ϕ′2,x )2 dx = −2λ15 ,
0
|
|
C23 = C32 = −λ∫1 |
ϕ′2,xϕ′3,x dx = −λ 10 , |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
C33 = −λ∫1 (ϕ′3,x )2 dx = −3λ 35 ; |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
f1 = −J ∫1 |
ϕ1dx + λ∫1 |
ϕ′0,x (x)ϕ1′,x dx = −J ∫1 (x −1)xdx + λ∫1 (θ1 − θ0 )ϕ1′,x dx = J 6 . |
||||
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
Здесь учтено, что |
|
|
|
|
|
|
λ∫1 (θ1 − θ0 )ϕ′j,x dx = λ(θ1 − θ0 )∫1 ϕ′j,x dx = λ(θ1 − θ0 )ϕj |
|
10 = 0, j =1, 2, 3 . |
||||
|
||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Аналогично получаются остальные значения, |
|
|
||||
f2 = −J ∫1 ϕ2dx + λ∫1 ϕ′0,x (x)ϕ′2,x dx = J 12 , |
f3 = −J ∫1 ϕ3dx + λ∫1 ϕ′0,x (x)ϕ′3,x dx = J 20 . |
|||||
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
Система линейных алгебраических уравнений (9.19) принимает вид
203
− λa1 3 − λa2 6 − λa3 10 = J 6, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 − 2λa2 |
15 − λa3 |
|
10 = J 12, |
|
− λa1 |
|
|||||
|
|
|
|
10 − 3λa |
|
35 = J 20. |
− λa 10 − λa |
2 |
3 |
||||
|
1 |
|
|
|
Решение этой системы дает коэффициенты разложения a1 = −J2λ, a2 = 0, a3 = 0,
позволяющие записать решение в виде
y3 (x) = θ0 + (θ1 − θ0 )x − J (x −1)x 2λ = θ0 + (θ1 − θ0 + J 2λ)x − Jx2 2λ.
Полученное решение является точным для поставленной задачи. Пример 9.4. Решить уравнение стационарной теплопроводности
(λθ′x )′x + J (x)= 0
для стержня единичной длины, теплоизолированного с боковой поверхности.
Полагается, что на левом торце поддерживается |
заданная |
температу- |
|||||||
ра θ(0)= θ |
|
|
|
x ( ) |
|
( ) |
|
|
|
0 |
, а на правом задано условие второго рода |
′ |
1 |
= −α θ 1 − θ |
cp |
, |
|||
|
λθ |
|
|
где α – коэффициент теплоотдачи в окружающую среду с температурой θcp ;
λ = const, J = const.
Как и в предыдущем примере, ϕ0 (x) = G + Hx. Коэффициенты G и H подбираются из условия удовлетворения заданным граничным условиям ϕ0 (0)= θ0
и |
′ |
1 |
= −α ϕ |
1 − θ |
cp |
|
. Это приводит к системе уравнений относительно |
|||
λϕ |
|
|
||||||||
|
|
0,x ( ) |
|
0 ( ) |
|
|
|
|
|
|
искомых коэффициентов G и H, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
G = θ0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −α (G + H ) − θcp . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λH |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что
H = α(θср − θ0 )(α + λ).
Таким образом, «нулевая» пробная функция представляется в виде
ϕ0 (x) = θ0 + α(θcp − θ0 ) x / (α + λ).
Остальные пробные функции представляются в форме, удовлетворяющей однородным условиям задачи,
ϕ1 (x) = [x − (α + 2λ)(α + λ)] x , ϕ2 (x)= [x2 − (α + 2λ)(α + λ)] x ,…,
ϕk (x) = {xk − [α + (1 + k )λ](α + λ)} x.
204
Подсчитываются коэффициенты системы уравнений (9.19) в соответствии с формулами (9.20):
C |
|
′ |
|
1 |
−λ |
1 |
′ |
′ |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||
|
jk |
k,x |
j |
0 |
|
∫ |
k,x |
j,x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−λ{(k +1)( j +1)(k + j +1)−[2α+(k + j +2)λ](α+λ)+[α+(k +1)λ][α+( j +1)λ](α+λ)2 },
1 1
f j = −J ∫ϕj dx + λ∫ϕ′0,xϕ′j,x dx − λ[ϕ′0,xϕj ]10=
00
=−J{2(α + λ)−[α + ( j +1)λ]( j + 2)}2(α + λ)( j + 2).
Для упрощения принимается m = 3. Система уравнений (9.19) имеет вид
|
λ α + λ |
|
|
|
− |
λ α + λ |
|
|
λ α + |
6 |
λ |
)a3 |
= |
|
|
α + |
4 |
λ |
) J, |
|
|||||||||
− |
( |
4 )a1 |
|
( |
5 )a2 − 3 |
( |
|
( |
|
|
|||||||||||||||||||
|
3(α + λ) |
|
|
|
|
|
2(α + λ) |
|
|
5(α + λ) |
|
|
|
|
|
6(α + λ) |
|
|
|||||||||||
|
λ(α + |
5λ) |
a1 |
|
4λ(α + 6λ) |
a2 |
|
λ(α + 7λ) |
a3 |
|
|
(α + 5λ) |
J , |
|
|||||||||||||||
− |
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2(α + λ) |
|
5(α + λ) |
(α + λ) |
|
|
4(α + λ) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3λ(α + 6λ) |
|
|
|
λ(α + 7λ) |
|
|
9λ(α + 8λ) |
|
|
|
|
(3α +18λ) |
|
|||||||||||||||
− |
|
|
|
|
a1 − |
|
|
|
a2 |
− |
|
|
|
|
|
|
a3 = |
|
|
|
|
|
|
J. |
|||||
5(α + λ) |
|
|
|
(α + λ) |
7( |
|
) |
|
|
10(α + λ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α + λ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решением этой системы являются коэффициенты a1 = −J2λ, a2 = 0, a3 = 0
разложения решения в ряд по пробным функциям:
y3 (x) = θ0 + α(θ1 −θ0 )(α + λ)x − J[x −(α + 2λ)(α + λ)]x2λ =
= θ0 + [α(θ1 − θ0 )+ (α + 2λ)J 2λ]x (α + λ) − Jx2 2λ.
Полученное решение является точным для поставленной задачи.
9.4.1. Разрешимость системы алгебраических уравнений метода Галеркина
Рассматриваются условия существования и единственности решения системы алгебраических уравнений (9.19), полученных в результате применения метода Галеркина к задаче (9.16)–(9.17).
Теорема 9.1. Пусть коэффициенты дифференциального уравнения (9.16) удовлетворяют условиям
205
p C1 |
|
, |
p(x)≥ p |
0 |
> 0, |
|
|
[a,b] |
|
|
(9.21) |
||
|
|
, |
q(x)≥ 0. |
|
||
q C |
[a,b] |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Тогда система алгебраических уравнений метода Галеркина (9.19) имеет единственное решение.
Доказательство. В однородную систему уравнений, соответствующую системе (9.19),
m |
|
∑C jk bk = 0, j =1,m , |
(9.22) |
k=1
подставляются значения коэффициентов
Cjk =−∫b (pϕ′k,xϕ′j,x +qϕk ϕj )dx,
a
определенные ранее:
m |
b |
b |
|
|
|
∑bk ∫(pϕ′k ,xϕ′j,x + qϕk ϕj )dx = ∫ pϕ′j,x |
||
k=1 |
a |
a |
Используя обозначение
m |
m |
|
||
∑bk ϕ′k ,x + qϕj ∑bk ϕk dx = 0, j = |
|
. |
||
1,m |
||||
k=1 |
k=1 |
|
m
zm = ∑bk ϕk , k=1
полученное выражение можно записать в виде
∫b (pϕ′j,x z′m,x + qϕj zm )dx = 0, j =1,m .
a
Каждое из этих выражений умножается на bj , и все полученные соотношения суммируются:
m |
b |
b |
′ |
m |
m |
|
|
′ ′ |
|
′ |
|
|
|
∑bj ∫(pϕj,x zm,x +qϕj zm )dx = ∫ pzm,x ∑bj ϕj,x +qzm ∑bj ϕj dx = |
||||||
j=1 |
a |
a |
|
j=1 |
j=1 |
|
= ∫b [p(z′m,x )2 + q(zm )2 ]dx = 0.
a
При выполнении условий (9.21) приведенное выражение справедливо лишь в том случае, когда z′m,x (x) = 0. Это означает, что функция
m
zm (x) = ∑bk ϕk (x) = const.
k =1
206
Из условия, что на концах отрезка [a, b] по построению все функции ϕk обращаются в нуль,
ϕk (a)= ϕk (b) = 0, k =1,m ,
получается:
n
zn (x) = ∑bk ϕk (x)= 0,
k=1
откуда в силу линейной независимости ϕk следует: bk = 0, k =1,m . Но это означает, что однородная система алгебраических уравнений (9.22) имеет только тривиальное решение, то есть ее определитель отличен от нуля, что и говорит о существовании единственного решения исходной системы уравнений (9.19). Что и требовалось доказать.
9.5. Метод наименьших квадратов
Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка
y′xx′ (x)+ p(x)y′x (x)+ q(x)y(x) = |
f (x) |
(9.23) |
с граничными условиями |
|
|
α0 y(a) + α1 y′x (a) = A , |
|
(9.24) |
|
|
|
β0 y(b) +β1 y′x (b) = B |
|
|
выбирается система пробных функций {ϕk }, |
k = 0,1, 2, …, |
удовлетворяющая |
условиям, перечисленным в разделе, посвященном методу моментов. Это позволяет представить решение задачи (9.23), (9.24) в виде разложения (9.14) в ряд по этим функциям. Подстановка (9.14) в уравнение (9.23) дает невязку
′′ |
′ |
(x)− f |
(x)≠ 0, |
|||
εm (x)= ym,xx (x)+ p(x)ym,x (x)+ q(x)ym |
||||||
величина которой зависит от выбранных коэффициентов |
ak , |
k =1, 2,…. Опре- |
||||
деляется функционал |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
Φ(ym ) = ∫ εm2 (x)dx , |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
имеющий минимум, равный нулю, |
при εm (x) = 0. |
Очевидно, что достижение |
||||
минимума соответствует подбору таких коэффициентов ak , |
k = |
|
, разложе- |
|||
1,m |
||||||
ния решения в ряд (9.14), при которых представление ym (x) |
удовлетворяет за- |
207
данному уравнению (9.23). Функционал Φ(ym ) можно рассматривать как функ-
цию m переменных ak , k =1,m , и записать необходимые условия экстремума
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Φ(ym ) = ∫2εm |
∂εm |
dx = 0, |
j = |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1,m |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂a j |
a |
|
∂a j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подстановка ym и εm в это соотношение приводит к выражению |
||||||||||||||||||||
b |
|
∂ε |
|
b |
|
|
|
|
|
− f ) |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫εm |
|
m |
|
|
′′ |
′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
′ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∂a j |
dx = ∫(ym,xx + pym,x + qym |
∂a j |
(ym,xx + pym,x + qym − f )dx = |
|||||||||||||||||
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
b |
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
ϕ′0′,xx + |
∑ak ϕ′k′,xx |
+ p ϕ′0,x + ∑ak ϕ′k ,x + |
||||||||||||
|
|
|
|
|
∫a |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ q ϕ0 + ∑ak ϕk − f (ϕ′′j,xx + pϕ′j,x + qϕj )dx = 0, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
b |
|
|
|
)(ϕ′′j,xx + pϕ′j,xx + qϕj )dx = |
||||||||||||
|
|
∑ak ∫(ϕ′k′,xx + pϕ′k ,x + qϕk |
||||||||||||||||||
|
|
k=1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.25) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= ∫b ( f − ϕ′′0,xx − pϕ′0,x − qϕ0 )(ϕ′′j,xx + pϕ′j,x + qϕj )dx, j = |
|
. |
|||||||||||||||||
|
1,m |
|||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ qϕj )dx, |
|||
|
|
|
|
|
|
′′ |
′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
′ |
|||||
|
|
|
|
Cjk = ∫(ϕk ,xx + pϕk ,x + qϕk )(ϕj,xx |
+ pϕj,x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f j = ∫( |
′′ |
′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
′ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f − ϕ0,xx |
− pϕ0,x |
− qϕ0 )(ϕj,xx |
+ pϕj,x + qϕj )dx, |
a
соотношения (9.25) можно представить в виде системы линейных алгебраиче-
ских уравнений относительно искомых коэффициентов ak , |
k = |
|
, |
||
1,m |
|||||
m |
|
|
|
||
∑Cjk ak = f j , j = |
|
. |
(9.26) |
||
1,m |
|||||
k=1 |
|
|
|
Из построения видно, что эта система уравнений имеет симметричную матрицу коэффициентов, C jk = Ckj .
Пример 9.5. Решить уравнение стационарной теплопроводности
(λθ′x (x))′x + J (x) = 0
208
для стержня единичной длины, теплоизолированного с боковой поверхности, сграничнымиусловиями θ(0) = θ0 , θ(1)= θ1 . Полагается, что λ = const, J = const.
Для решения поставленной задачи используется система пробных функций, аналогичная рассмотренной в примере 9.3:
ϕ |
0 |
(x)= θ0 + |
(θ1 − θ0 )x , ϕ (x) = (x −1)x , |
|
|
1 |
|
ϕ2 (x)= (x −1)x2 , ϕ3 (x)= (x −1)x3 , …, ϕk (x)= (x −1)xk . |
|||
Рассматривается |
частный |
случай: p(x)= 0, q(x) = 0, f (x) = −J λ = const . |
Число слагаемых в разложении (9.14) ограничивается m = 3. В этом случае коэффициенты системы уравнений (9.26) принимают значения:
C11 = ∫1 |
ϕ1′′,xxϕ1′′,xx dx = 4 , |
|
C22 = ∫1 |
ϕ′2′,xxϕ′2′,xx dx = 4, |
C33 |
= ∫1 |
ϕ′′3,xxϕ′′3,xx dx = 24 5, |
||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
′′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
′′ |
|
′′ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
C12 = C21 = ∫ϕ1,xxϕ2,xx dx = 2 , |
C13 = C31 = ∫ϕ1,xx |
ϕ3,xxdx = 2, |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
C23 = C32 |
= ∫1 |
ϕ′′2,xxϕ′′3,xxdx = 4; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 = −J ∫ |
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
λ, |
|||||
|
ϕ1,xx dx |
λ = −J ϕ1,x 0 λ = −2J |
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
1 |
λ = −J |
|
λ, |
|
|
′ |
|
|
1 |
λ = −J λ. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f2 = −J ϕ2,x |
0 |
|
f3 = −J ϕ3,x |
|
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Система алгебраических уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4a1 + 2a2 + 2a3 = −2J λ, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a1 + 4a2 + 4a3 = −J λ, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
24 5a |
|
= −J λ |
|
|
|
|||||
|
|
2a + 4a |
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет решение –
a1 = −2Jλ, a2 = 0, a3 = 0,
позволяющее построить точное решения исходной задачи: y3 (x) = θ0 + (θ1 − θ0 + J2λ)x − Jx2 2λ .
9.5.1. Разрешимость системы уравнений метода наименьших квадратов
Рассматривается однородная система линейных алгебраических уравнений, построенная на основе системы (9.26),
m
∑C jk bk = 0, j =1,m.
k=1
209
В это выражение подставляются значения коэффициентов C jk , и выполняются преобразования:
|
|
|
m |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑bk |
∫(ϕ′k′,xx + pϕ′k ,x + qϕk )(ϕ′′j,xx + pϕ′j,x + qϕj )dx = |
|
||||||
|
|
|
k=1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
= |
b |
|
m |
|
m |
m |
|
+ pϕ′j,x + qϕj )dx |
= |
||
∫a |
∑bk ϕ′k′,xx + p∑bk ϕ′k ,x + q∑bk ϕk (ϕ′′j,xx |
||||||||||
|
k=1 |
|
k=1 |
k=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
′′ |
′ |
′′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= ∫(zm,xx + pzm,x + qzm )(ϕj |
,xx + pϕj,x + qϕj )dx = 0, j =1,m . |
|
a
m
Здесь использовано обозначение: zm = ∑bk ϕk. Каждая из предыдущих
k=1
формул умножается на bj , и все полученные выражения суммируются:
|
m |
b |
′ |
|
′′ |
′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|||
|
∑bj ∫(zm,xx + pzm,x + qzm )(ϕj |
,xx + pϕj,x + qϕj )dx = |
|
|||||
|
j=1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
′ |
|
m |
|
m |
m |
|
|
′′ |
|
′′ |
|
′ |
|
|
|
|
= ∫(zm,xx |
+ pzm,x + qzm ) |
∑bj ϕj |
,xx + p∑bj ϕj |
,x + q∑bj ϕj dx = |
|||
|
a |
|
|
j=1 |
|
j=1 |
j=1 |
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
= ∫(zm,xx + pzm,x + qzm )(zm,xx + pzm,x + qzm )dx =∫(zm,xx + pzm,x + qzm ) dx = 0. |
||||||||
′′ |
′ |
|
′′ |
′ |
|
′′ |
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
Последнее равенство возможно только в случае, если
′′ |
′ |
= 0. |
(zm,xx + pzm,x + qzm ) |
||
Кроме того, в силу свойства пробных функций |
||
|
′ |
|
α0 zm (a)+ α1zm,x (a) = 0, |
||
|
|
|
|
′ |
= 0. |
β0 zm (b)+ β1zm,x (b) |
||
|
|
|
Далее предполагается, что |
граничная |
задача (9.27)–(9.28) |
(9.27)
(9.28)
имеет только
m
тривиальное решение zm = ∑bk ϕk = 0. В силу линейной независимости проб-
k=1
ных функций ϕk это возможно лишь при условии bk = 0, k =1,m , то есть однородная система алгебраических уравнений имеет только тривиальное решение. Отсюда следует, что определитель этой системы уравнений отличен от нуля, а это является необходимым и достаточным условием ее разрешимости. Прове-
210