книги / Моделирование химико-технологических процессов
..pdfСвязь между числом ячеек п, долей обратного тока/ и безразмерной
дисперсией CTQ можно описать уравнением
2 |
1 + JC |
2х[\ - х") |
|
|
(4.21) |
° 0 |
«О - * ) |
п2(1 -х)2 ' |
ЯМ Р наиболее адекватно описывает структуру потока в насадочных и секционированных колонных аппаратах, где наблюдается заброс веще ства в сторону, противоположную направлению основного потока.
4.5.Диффузионная модель
Воснове диффузионной модели лежит допущение, что структура потока описывается уравнением, аналогичным уравнению молекулярной диффузии, но в отличие от коэффициента молекулярной диффузии здесь используется коэффициент продольного перемешивания или турбулент
ной диффузии Z)/. Можно также сказать, что основой ДМ является модель ИВ, осложненная обратным перемешиванием. Параметром модели являет ся коэффициент продольного перемешивания D/. Принципиальная схема модели представлена на рис. 4.9.
Для получения математического описания модели составим уравне ние материального баланса для элемента аппарата длиной dz. В рассмат риваемый элемент поступают конвективный поток F-WC и поток, вызы-
д ( |
дС |
^ |
|
ваемый турбулентной диффузией F *Di — |
С + — |
dz |
, а покидают его - |
& v |
dz |
) |
|
конвективный поток F -W -\С + — dz^ и поток, вызываемый турбулент-
з с
ной диффузией F •D ,------. dz
В соответствии с законом сохранения массы разность между входя щим и выходящим потоками должна быть равна накоплению вещества в рассматриваемом элементе,
F •dz дС = F w C + F'D /- |
С |
dt |
dz |
|
(4.22) |
~ F •Dl |
|
Раскрывая скобки и сокращая подобные члены, получим
|
дС |
п д 2С |
дС |
|
dt |
dz2 |
(4.23) |
|
dz |
||
|
Данное уравнение является основным уравнением диффузии. Здесь |
||
F - |
площадь сечения аппарата, м ; w - |
скорость потока, м/с; t - время, с; |
|
С - |
концентрация вещества, кг/м3; D/ - |
коэффициент продольного пере- |
|
|
2 |
|
|
мешивания, м /с.
При Di -> О, ДМ -» ИВ. При £>/ -» оо, ДМ -> ИП.
На настоящий момент не существует точных аналитических методов определения коэффициента диффузии. С достаточной степенью точности его можно определить только экспериментально, например, через цен тральный момент второго порядка кривой отклика на импульсное возму
щение и критерий Пекле, |
|
|
|
|
а ^ ~ |
[ Р |
е - 1 |
+ е- ре], |
(4.24) |
|
Ре |
|
|
|
где Ре = — - критерий Пекле. |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
При значениях Ре > 10, можно принять |
|
|
||
|
* 9 * |
Ре |
|
(4.25) |
|
|
|
||
Уравнение (4.24) является |
основным |
уравнением для |
определения |
|
критерия Пекле по экспериментальным данным. Отклики модели на типо вые возмущения представлены на рис. 4.10.
Рис. 4.10. Отклики модели на типовые возмущения
ДМ наиболее адекватно описывает структуру потока в аппаратах трубчатого и колонного типа, где наблюдается заброс вещества в сторону, противоположную направлению основного потока.
4.6. Сравнение аппаратов соответствующих
моделям ИП и ИВ
При одинаковых условиях проведения одного и того же процесса аппарат идеального вытеснения эффективнее аппарата идеального пере мешивания, так как для достижения равной степени превращения в аппа рате идеального перемешивания требуется большее время пребывания по тока по сравнению с аппаратом идеального вытеснения. Это объясняется характером распределения концентрации реагентов по объему аппарата. Как известно, скорость протекания процесса пропорциональна его движу щей силе, либо величине концентрации взаимодействующих веществ. Для массообменного и химического процесса соответственно
|
|
М = KFAC; |
= kaCaCb, |
(4.26) |
|
|
|
at |
|
здесь M - количество переходящего через границу раздела фаз вещества; |
||||
К - коэффициент массопередачи; F - |
поверхность контакта фаз; ДС - дви |
|||
жущая сила; |
ка - |
константа скорости реакции; Са, Q |
- концентрация |
|
компонентов |
а и |
b соответственно. |
|
|
Так как для аппарата ИВ средняя движущая сила и средняя концен трация компонентов в аппарате будут всегда выше, чем в аппарате ИП, то и время пребывания в нем потока или размеры аппарата потребуются меньшие (рис. 4.11).
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
Условная длина аппарата, дол.ед.
Рис. 4.11. Принципиальный характер изменения концентрации реагентов по длине аппарата для моделей ИП и ИВ
В научно-технической литературе приводится следующее примерное соотношение средних времен пребывания в аппарате ИП и ИВ, необходи мое для достижения равной степени превращения х исходного вещества (рис. 4.12).
Рис. 4.12. Примерное соотношение среднего времени пребывания в аппарате идеального перемешивания /ип и идеального вытеснения ^в
Несмотря на низкую эффективность аппаратов ИП, благодаря про стоте их изготовления и эксплуатации они нашли широкое применение в химической промышленности. Для интенсификации процессов в данном случае применяют каскад аппаратов ИП.
5.М ЕТОДЫ СТАТИ СТИ ЧЕСКО ГО АНАЛИЗА ЭКСПЕРИМ ЕНТА
5.1.Основные характеристики случайных величин
Случайные величины и законы распределения
Под случайной величиной понимают такую величину, значение ко торой принципиально нельзя предсказать, исходя из условий проведения опыта. Случайная величина обладает целым набором допустимых значе ний, но в результате каждого отдельного опыта принимает лишь какое-то одно из них. Непредсказуемость значений случайной величины обуслов лена наличием случайных факторов, влияние которых на результаты опы та не поддается точной оценке.
Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Возмож ные значения дискретных случайных величин можно перечислить заранее. Для непрерывных случайных величин реально указать только диапазон их возможных значений. Например, можно точно перечислить количество элементов трубопровода, которые выйдут из строя в течение года (от 0 до п элементов), но нельзя перечислить точные значения скорости их износа или точное время перехода в предельное состояние.
Пусть дискретная случайная величина X может принимать в резуль тате опыта значения х\, * 2, ... , х*. Тогда отношение числа опытов т,-, в ко торых X приняла значение xh к общему числу проведенных опытов п будет
называться частотой появления события X = Частота т^п также являет
ся случайной величиной и меняется в зависимости от количества прове денных опытов. При большом числе опытов она имеет тенденцию стаби лизироваться около некоторого значения /?/, называемого вероятностью события X=Xi, т.е.
|
при |
оо |
mi /n - ^ p i . |
(5.1) |
Вероятность появления случайного события х,- |
изменяется в преде |
|||
лах от 0 до |
1. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной |
|||
величины всегда равна единице, |
|
|
||
|
|
£ р / = |
1- |
(5-2) |
|
|
1= 1 |
|
|
Дискретную случайную величину можно задать вероятностным ря |
||||
дом, указав вероятность р\ для каждого значения х\\ |
|
|||
Х\ |
*1 |
х2 |
*3 |
|
_____ в _____ |
Р\ |
Р2____ _____ Рз |
Рп |
|
Соотношение, устанавливающее связь между возможными значе ниями случайной величины и соответствующими им вероятностями, назы вается законом распределения.
Распределение непрерывной случайной величины нельзя задать при помощи вероятностей отдельных значений. Число значений настолько ве лико, что вероятность появления большинства из них равна нулю. Для не прерывных случайных величин изучается вероятность того, что в резуль тате опыта значение случайной величины попадет в некоторую заранее намеченную совокупность чисел. Если принять, что х произвольное дейст вительное число, а X случайная величина, то вероятность появления X < х является функцией от * и называется функцией распределения случайной величины,
P(X<x) = F(;с). |
(5.3) |
В виде функции распределения можно задать распределение как не прерывной, так и дискретной случайной величины (рис. 5.1, а, б). Ордина та кривой F (*i), соответствующая точке х\, представляет вероятность того, что случайная величина окажется меньше х\. Разность ординат, соответст вующая точкам х\ и * 2, дает вероятность того, что значения случайной ве личины будут лежать в интервале между х\ и *2-
Р(хх< Х< х2) = F(x2) - F(x 1). |
(5.4) |
Значения функции при предельных значениях аргумента соответственно равны 0 и 1:
F(-oo) = 0; F(+oo ) = 1. |
(5.5) |
а |
б |
Рис. 5.1. Функции распределения непрерывной (а) и дискретной (б) случайных величин
Производная функции распределения называется плотностью рас пределения случайной величины X (рис. 5.2). Если F(x) непрерывна и дифференцируема, то
m = F'(x). |
(5.6) |
хх |
Х2 |
X |
Рис. 5.2. Плотность распределения непрерывной, случайной величины
Функция fix) так же, как и F(x% полностью определяет случайную величину. Площадь, ограниченная осью х, прямыми х = х\ и х = * 2, и кри вой плотности распределения, равна вероятности того, что случайная ве личина примет значения из интервала х\ +Х2 '.
P(xl < X < x 2) = X]f(x)dx = F(x2) - F ( x ]). |
(5.7) |
Полная площадь под кривой плотности распределения определяется
как
jf(x)dx = \. |
(5.8) |
Числовые характеристики
В большинстве прикладных задач оперируют не с законами распре деления, а с числовыми характеристиками, выражающими характерные особенности случайной величины и называемыми моментами случайной величины. Аналогично моментам функции РВП (см. раздел 3.2) моменты случайной величины бывают двух видов: начальные и центральные.
|
Дискретные |
|
Непрерывные |
||
|
п |
« |
|
|
|
Начальные |
Мк = Y*xi Pi |
|
м к = |
||
|
i=1 |
|
|
—00 |
|
|
п |
|
о |
(5.9) |
|
Центральные |
~ тх> |
Ц* = \ х - т х)^ f(x )d x , |
|||
Ц* = £ ( * , |
Pi |
||||
|
/=1 |
|
|
|
|
где Р = 1, 2 ,... - |
номер момента. |
|
|
||
Начальный момент первого порядка М\ называется математическим ожиданием (средним значением) случайной величины. Математическое ожидание принято обозначать: М[Х\, тх, т. Чаще, чем начальные, исполь зуют центральные моменты. Первый центральный момент всегда равен нулю Ц] = 0. Второй центральный момент рг называется дисперсией. Дис персией случайной величины называется математическое ожидание квад рата отклонения случайной величины от ее математического ожидания,
т.е. |
|
а х2 = М [(Х -т х)2]. |
(5.10) |
2 |
Для дис |
Другие принятые обозначения дисперсии: D[X], DX) ах |
кретной и непрерывной случайных величин дисперсия определится сле
дующим образом: |
|
Дискретные |
Непрерывные |
О? =Ф 2 = £ (*/ - m x)2P i ; |
с х2 = ц 2 = \ х - т х)2f{x )d x . |
(5.11) |
1= 1 |
—00 |
|
Корень квадратный дисперсии называется средним квадратичным |
||
отклонением или стандартом. |
|
|
|
<**=>/<? |
(5-12) |
Моменты более высокого порядка используются реже.
Моменты существуют, если соответствующие интегралы или ряды для дискретных величин сходятся. Для случайных величин, значения ко торых ограничены, моменты всегда существуют. Если у случайной вели чины существуют первый и второй моменты, то можно построить норми рованную случайную величину:
Х0 = (Х - тх)/ох. |
(5.13) |
|
Для нормированной случайной величины |
|
|
М[Х0] = 0; |
D[X0] = l . |
(5.14) |
Многие таблицы распределений построены именно для нормиро ванных случайных величин.
Моменты являются общими (интегральными) характеристиками распределения. Вторая группа параметров характеризует отдельные зна чения функции распределения. К ним относятся квантили (рис. 5.3).
*0,2 |
*0,5 |
*0,95 |
F(x)
Рис. 5.3. Квантили распределения случайной величины
Квантилем хр распределения случайной величины X с функцией рас пределения F(x) называется решение уравнения
Р (Х р )= Р > |
( 5 - 1 5 ) |
т.е. хр такое значение случайной величины, что
Р(Х<хр)= р . |
(5.16) |
Если известны два квантиля хр и хд, то
Р(хр < X <xq) = q - p , |
(5.17) |
Наиболее важное значение имеет квантиль * 0,5, называемый медиа ной распределения (см. рис. 5.3). Ордината медианы рассекает кривую ве роятности пополам.
Значения квантилей нормального распределения для наиболее ис пользуемых вероятностей приведены в табл. 5.1.
Таблица 5. 1 Квантили нормального нормированного распределения
*0.01 |
*0.05 |
*0.1 |
*0.2 |
*0.5 |
*0.8 |
*0.9 |
*0.95 |
*0.99 |
-2,33 |
-1,64 |
-1 ,2 8 |
-0 ,8 4 |
0 |
0,84 |
1,28 |
1,64 |
2,33 |
Квантили хр и х\_р называют симметричными. Для симметричного |
||||||||
относительно нуля распределения всегда |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
хр ~ ~х\~р. |
|
|
(5.18) |
|
Свойства математического ожидания и дисперсии
Математическое ожидание неслучайной величины равно значению
этой величины |
|
М[с] = с. |
(5.19) |
Неслучайную величину можно вынести зазнакматематического |
|
ожидания, |
|
М[сХ\ = сМ[Х\. |
(5.2а) |
Математическоеожидание суммы случайныхвеличин |
равно сумме |
математических ожиданий этих случайных величин, |
|
ЩХ\ + * 2 + +Хп] = М[Х,] + М[Х2] + + М[Хп]. |
(5.21) |