книги / Общая физика. Ч. 1 Механика

4.Вывод уравнения затухающих колебаний. Как соотносятся между собой периоды собственных затухающих и незатухающих колебаний? Почему затухающие колебания материальной частицы не являются гармоническими?

5.Дайте определение коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы.

6.Дайте определение параметров напряженного состояния твердого тела: относительной деформации, модуля Юнга и коэффициента упругости. Сформулируйте закон Гука для твердого тела, находящегося в напряженном состоянии.

Задания для отчета по лабораторной работе

1.К вертикальной проволоке длиной L = 5 м и площадью поперечного сечения S = 2 мм2 подвешен груз массой m = 5,1 кг.

Врезультате проволока удлинилась на x = 0,6 мм. Найти модуль упругости (модуль Юнга) материала проволоки.

2.К стальному стержню длиной L = 3 м и диаметром d = 2 см

подвешен груз массой m = 2,5 103 кг. Определить напряжение σ

встержне. Модуль Юнга стали E = 220 ГПа (ГПа – Гига Паскаль).

3.По условиям предыдущей задачи определить относительное ε и абсолютное удлинение x стержня.

4.Проволока длиной l = 2 м и диаметром d = 1 мм натянута практически горизонтально. Когда к середине проволоки подвесили груз массой m = 1 кг, проволока растянулась настолько, что точка подвеса опустилась на h = 4 см. Определить модуль Юнга E материала проволоки.

5.Тонкий стержень одним концом закреплен, к другому концу приложен момент силы M = 1 кН м. Определить угол φ закручивания стержня, если постоянная кручения C = 120 кН м /рад.

6.Коэффициент линейного теплового расширения стали

равен 12 10–6 К–1, модуль Юнга E = 220 ГПа (ГигаПаскаль). Ка-

101

кое давление p необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его оставалась неизменной при повышении температуры на 100 °С.

7.Стальной канат диаметром 9 мм может выдержать вес неподвижной кабины лифта. Какой диаметр должен иметь канат, если кабина лифта может иметь ускорение до 8 g.

8.Насколько вытягивается стержень из железа (модуль Юнга Е = 220 ГПа), подвешенный за один конец под действием собственного веса?

9.По условиям предыдущей задачи определить, насколько меняется объем стержня.

10.Какую работу A надо совершить, чтобы растянуть на

x= 1 мм стальной стержень (E = 220 ГПа) длиной l = 1 м и площадью поперечного сечения S = 1 см2.

11.Точка совершает колебания с частотой ω и коэффициентом затухания β. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент t = 0 амплитуда ее смещения равна a0.

12.По условиям предыдущей задачи найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент t = 0 смещение x(0) = 0 и проекция скорости vx = v0.

13.Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания ϑ0 = 1,5.

Каким будет значение ϑ, если сопротивление среды увеличить

вn = 2 раза?

14.По условиям предыдущей задачи определить, во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?

15.К пружине подвесили груз, и она растянулась на ∆x = 9,8 см. Логарифмический декремент затухания ϑ= 3,1. С ка-

ким периодом будет колебаться груз в вертикальном направлении? 16. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t1 = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t2, считая от

начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

102

17.За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания β.

18.Логарифмический декремент затухания колебаний маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась

вдва раза?

19.Амплитуда колебаний маятника длиной l = 1 м за время t = 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент затухания β.

20.Определить период T затухающих колебаний, если пе-

риод T0 собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент ϑ= 0,628.

103

Приложение I

Коэффициенты Стьюдента (при α = 0,95)

п	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	∞
τ (α,n)	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,3	2,1	2

Приложение II

Обработка экспериментального графика методом наименьших квадратов

Зависимость измеряемой величины у от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой (рис. 1). Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кривую у = f (x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.

Tеория вероятности показывает, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f (x) дает кривая, построенная методом наи-

меньших квадратов. В этом

	случае сумма квадратов от-
	клонений экспериментальных
	значений уi от кривой у = f (x)
	будет минимальна. Отсюда
Рис. 1. Метод наименьших	и происходит название данно-
	го метода обработки результа-
квадратов	тов эксперимента.

104

1. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для случая, когда между измеряемыми величинами х и у существует линейная зависимость

y = bx .

(1)

Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины уi, соответствующих различным значениям величины хi. Найдем коэффициент b, при котором экспериментальные точки уi будут иметь наименьшие отклонения ∆уi относительно прямой.

Отклонение каждого значения уi от прямой у = bх будет

yi −bxi	= ∆yi .	(2)
Составим сумму квадратов отклонений:
n	−bxi )2 .
S = ∑( yi		(3)

i=1

Отклонение (разброс) измеренных значений уi от функции у = f (x) будет минимальным, если

dS	= 0 .	(4)
dt

Дифференцирование (3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (4) дает

n				n	n
−2∑( yi −bxi )xi = 0		или		∑ xi yi	−b ∑ xi2 = 0. (5)
i =1				i =1	i =1
Отсюда определяем искомый коэффициент b.
	n
	∑ xi yi
b =	i =1		.		(6)
	n
	∑ xi2

i =1

105

2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат,

					у = а + bх,																	(7)
коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам
	n	n		n		n							n			n			n
	∑ xi2	∑ yi −		∑ xi yi ∑ xi									n ∑ xi yi − ∑ yi ∑ xi
a =	i =1	i =1		i =1	i =1				, b =				i =1		i =1			i =1			.	(8)
					2
		n		n									n			n			2
	n ∑ xi2 −			∑ xi									n∑ xi2 −			∑ xi
		i =1		i =1									i =1			i =1
	Пример: предположим, что мы провели эксперимент и по-
лучили данные, которые занесли в табл. 1.
															Таблица							1
	Номер измерения i							1				2			3		4			5
		xi						1,0				1,9			3,1		4,0			4,9
		yi						1,6				2,5			3,0		3,7			4,6
	Для упрощения расчетов составим вспомогательную таб-
лицу и заполним ее (табл. 2).
																Таблица						2
	Номер измерения i							xi					yi		xi уi					xi2
		1						1,0				1,6			1,6					1,0
		2						1,9				2,5			4,75					3,61
		3						3,1				3,0			9,3					9,61
		4						4,0				3,7			14,8					16,0
		5						4,9				4,6			22,54					24,01
		Σ						14,9				15,4			52,99					54,23

Рассчитаем коэффициенты а и b.

a =	54, 23 15, 4 − 52,99 14,9				=	45,591		= 0,928,
		5 54, 23 − 222,01		49,14
b =		5 52,99 −15, 4 14,9	=	35, 49			= 0,722.
				49,14
		5 54, 23 − 222,01

106

Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом: у = 0,928 + 0,722 х.

Для построения отрезка прямой линии найдем две точки, у1 = 0,928. Вторую точку получим, подставив в уравнение прямой значение х, равное, например, 5.

у2 = 0,928 + 0,722 5 = 4,538.

На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, причем ось у проведем вертикально, а ось х – горизонтально.

	Выберем и нанесем на
	оси координат масштаб так,
	чтобы наши экспериментальные
	точки располагались на графике
	наилучшим образом – занимали
	на графике максимальную пло-
	щадь. Нанесем на график экспе-
	риментальные точки и две точ-
	ки у1 и у2, рассчитанные нами
	(рис. 2). Для обозначения экспе-
	риментальных и «теоретиче-
	ских» точек используем разные	Рис. 2
	обозначения (кружки, крестики,

треугольники и т. п.).

Через две «теоретических» точки проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, так, что экспериментальные точки будут располагаться справа и слева от прямой. Все построения желательно делать карандашом.

107

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Братухин Ю.К. Обработка результатов измерений: учеб. пособие / Ю.К. Братухин, Г.Ф. Путин. – Пермь.: Изд-во Перм.

гос. ун-та, 1988. – 44 с.

2.Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента: учеб. пособие / В.И. Колесниченко. – Пермь, Перм. гос. техн. ун-т, 2000. – 74 с.

3.Сборник методических рекомендаций к лабораторным работам по физике. Ч. 1. Механика: учеб. пособие / под ред. В.М. Коровина; Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 1997. – 87 с.

4.Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин: учеб. пособие / А.Н. Зайдель. – Л.: Наука, 1985. – 108 с.

5.Общий физический практикум. Механика: учеб. пособие / под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – 272 с.

6.Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика: учеб. пособие / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – 496 с.

7.Сивухин Д.В. Общий курс физики Т. 1: учеб. пособие /

Д.В. Сивухин. – М.: Наука, 1989. – 576 с.

8.Общая физика. Ч. 2. Молекулярная физика и термодинамика: учеб. пособие / под ред. Ю.Л. Райхера; Перм. гос. техн.

ун-т. – Пермь, 1998. – 81 с.

108

СОДЕРЖАНИЕ
Основные правила работы в лабораториях кафедры
прикладной физики....................................................................................	3
Введение в обработку результатов измерений .......................................	7
Лабораторная работа № 1. Статистика времени реакции человека......	17
Лабораторная работа № 2. Определение плотности твердого тела......	20
Лабораторная работа № 3. Измерение ускорения свободного
падения с помощью машины Атвуда.......................................................	24
Лабораторная работа № 4. Маятник Обербека.......................................	34
Лабораторная работа № 5. Физический маятник....................................	45
Лабораторная работа № 6. Определение момента инерции
тел методом колебаний. Теорема Штейнера...........................................	55
Лабораторная работа № 7. Изучение прецессии гироскопа..................	67
Лабораторная работа № 8. Определение коэффициента
вязкости жидкости методом Стокса.........................................................	75
Лабораторная работа № 9. Измерение коэффициента трения...............	87
Лабораторная работа № 10. Исследование упругих колебаний............	96
Приложения..............................................................................................	104
Список рекомендуемой литературы ......................................................	108

109

Учебное издание

Курушин Сергей Александрович, Герцен Татьяна Анатольевна, Колясников Виктор Андреевич и др.

ОБЩАЯ ФИЗИКА

Часть 1

Механика

Лабораторный практикум

Редактор и корректор И.А. Мангасарова

__________________________________________________________

Подписано в печать 11.03.09. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 6,875. Тираж 100 экз. Заказ № 41/2009.

Издательство Пермского государственного технического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113.

Тел. [phone].