книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций
..pdf2) аналогично получим коэффициенты П22 и П2222 из эксперимента на одноосное растяжение-сжатие вдоль оси 2
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
2B |
2B |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
2B 2B |
(2.5.21) |
2222 1 ;
2B 2B
3)для сдвига можно записать также два уравнения для определения П12 и П1212 , но для многих волокнистых композици-
онных материалов выполняются равенства |
|
|
|
, сле- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12B |
|
12B |
|
12B |
|
||
довательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5.22) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1212 |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
(2.5.23) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) для определения П1122 |
необходим эксперимент на двухос- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ное растяжение, следовательно, |
|
|
|
B1 |
B1 |
|
|
B2 |
B2 |
|
||||||||||||||||||||
1 1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1122 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (2.5.24) |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
* |
|
|
|
B1 B1 |
|
|
B2 |
B2 |
|
|
|
B1 |
B1 * |
|
|
B2 |
B2 * |
|
|||||||||||
Для однонаправленного волокнистого композита прочности |
||||||||||||||||||||||||||||||
В1 и В1 являются преобладающими и поэтому |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1122 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
(2.5.25) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 B1 B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в результате критерий прочности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
11 |
|
11 |
22 |
|
|
22 |
|
|
|
|
B1 |
|
B1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
B1 B1 |
|
|
|
B2 B2 |
|
|
B1 B2 |
|
|
(2.5.26) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
B1 |
|
22 |
|
|
|
12 |
|
1. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
B12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101
есть критерий Хоффмана, который учитывает различие свойств
материала на |
растяжение и |
сжатие. Аналогичное |
решение |
для объемного |
напряженного |
состояния независимо |
получил |
К.В. Захаров, соответственно такое решение получило название критерий Захарова.
Недостаток критериев Хоффмана и Мизеса – Хилла состоит в том, что все поверхности прочности эллипсоиды, выпуклые поверхности. Эксперименты на композитах со сложной структурой показывают, что квадратичная форма недостаточна для удовлетворительной аппроксимации. Возможные подходы к уточнению критериев:
1) увеличение числа членов ряда (2.5.2), например, до трех, как это сделала Е.К. Ашкенази, в результате появляются дополнительные параметры Пijklmn , для независимого определения ко-
торых необходимы дополнительные достаточно сложные эксперименты;
2) введение нелинейности (ЦайВу)
ij ij |
|
ijkl ij kl |
|
... 1, |
(2.5.27) |
|
|
где показатели α, β определяются из наилучшего соответствия с экспериментальными данными; популярен критерий И.И. Гольденблата и В.А. Копнова для значений α = 1 и β = 1/2;
3)построение предельной поверхности на основе иных подходов, например, через сплайн-функции [1].
4)учет влияния внешних условий на прочность. Время, температура, повторное нагружение, влажность влияют на прочностные характеристики материала, и в этом случае предельная поверхность может записана в виде
11 , 22 , 12 f t,T , N,... , |
(2.5.28) |
где f – некоторая функция, как правило убывающая, определяемая из экспериментов на длительную прочность, усталость и т.д.
102
Глава 3. ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
3.1.Изгиб анизотропных пластин
1.Основные понятия и гипотезы. Пластина – призматическое или цилиндрическое тело, толщина которого h мала по сравнению с другими габаритными размерами. Для исследования напряженнодеформированного состояния пластин введем систему координат x, y, z так, чтобы осьz былаперпендикулярнапластине (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Пластина
Любая плоскость, перпендикулярная оси z, является координатной плоскостью. Пересечение боковой поверхности пластины с координатной плоскостью называется контуром. Координатная плоскость, сохраняющая свои размеры при деформировании пластин, называется срединной плоскостью. Перемещение точек пластины в направлении z называется прогибом.
Классификация, предложенная Б.Г. Галеркиным, представлена в табл. 3.1.
В основном будем рассматривать техническую теорию или теорию тонких пластин.
Гипотезы теории тонких пластин (теория Кирхгофа)
1. Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности, остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности после деформирования пластины ( yz 0, xz 0) и длинаего неизменится ( z 0 ).
103
2. Гипотеза недеформируемости срединной плоскости: v|z zC 0 , где u, ν – перемещения точек плоскости пластины, zC –
координата срединной плоскости.
3. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластины, параллельными срединной плоскости, позволяет пренебречь напряжениями σz по сравнению с напряжениями x и y .
Таблица 3 . 1
Классификация пластин
Пластина |
h/b |
|
1/5 ... |
Тонкая |
|
Толстая |
1/80 |
Гибкая |
1/3 ... 1/5 |
|
… |
Наибольший |
Классификация |
прогиб |
теорий расчета |
Менее h /4 Техническая теория Менее h/4 Теория толстых пластин
Более h/4 Теория гибких пластин или мембран
Перемещения и деформации пластин. Исследуем геометри-
ческую сторону задачи об изгибе пластины. Следуя 1-й гипотезе, рассмотрим соотношение Коши:
|
|
|
z |
dw |
0 , |
|
|
(3.1.1) |
|||
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, прогиб w w(x, y) |
не зависитоткоординатыz, |
||||||||||
|
|
|
w |
0 |
|
|
w |
|
|||
yz |
z |
y |
|
z |
y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u |
|
w |
|
|
u |
|
w |
|||
|
|
0 |
|
|
|
||||||
xz |
z |
x |
|
z |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.2) |
||||
|
|
|
|
|
w |
f1 x, y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z |
y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f2 x, y |
|
|
||||
|
u |
z |
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104
Для определения f1 |
и f2 |
воспользуемся 2-й гипотезой |
|
|||||
|
zc |
w |
f1 |
x, y |
|
|||
0 |
y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(3.1.3) |
||
|
|
|
w |
|
|
|||
|
zc |
f2 |
x, y |
|
||||
0 |
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
f |
|
x, y |
|
|||
|
|
|
1 |
|
x, y . |
(3.1.4) |
||
|
0 |
f |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если выбрать систему координат окончательно получим
|
w |
|
z |
y |
|
|
. |
|
|
w |
|
u z |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x, y, z из условия zc = 0;
(3.1.5)
Таким образом, все компоненты перемещения точки пластины выражаются через функцию прогиба w и через z – расстояние до срединной плоскости. Из 6 геометрических соотношений Коши 3 уже использовали для z , xz , yz . Выпишем оставшиеся со-
отношения
|
|
|
u |
z |
2 |
w |
zK |
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z |
2 w |
zKy |
|
, |
(3.1.6) |
|||||||
y |
y |
x |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
u |
|
2z |
|
2 |
w |
2K |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
xy |
y |
x y |
xy |
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Kx , Ky , Kxy кривизны. Таким образом, все компоненты тензора деформацииопределяются черезфункциюпрогибаw = w(x,y).
105
3. Напряжения в пластине. Полагая материал пластины упругим и анизотропным, для вычисления напряжений можно воспользоваться законом Гука. Пренебрегая компонентами тензоров деформаций и напряжений, содержащих компоненту z, получим
x C11 x C12 y C16 xy , |
|
y C12 x C22 y C26 xy , |
(3.1.7) |
xy C16 x C26 y C66 xy . |
|
Если материал пластины ортотропный и оси ортотропии связаны с осями х и у, тогда
C16 C26 0 , |
(3.1.8) |
и соотношения (3.1) примут вид: |
|
x C11 x C12 y, |
|
y C12 x C22 y , |
(3.1.9) |
xy C66 xy , |
|
где коэффициенты жесткости Cij можно выразить через технические постоянные
C11 |
|
|
|
Ex |
, |
|
||
1 |
xy yx |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
C11 |
|
|
|
Ey |
, |
(3.1.10) |
||
1 |
xy yx |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
C12 |
|
|
|
Ex xy |
|
, |
|
|
1 |
xy yx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
C66 |
Gxy . |
|
|
|
106
Подставляя в (3.9) геометрические соотношения, получим
x |
z |
|
|
|
2 w |
C12 |
2 w |
|
|
|||||||
C11 |
x |
2 |
y |
2 |
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
z |
|
|
|
2 w |
|
C12 |
2 w |
, |
(3.1.11) |
||||||
C22 |
x |
2 |
|
y |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2C |
|
z |
2 w |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
xy |
66 |
x y |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Компоненты напряженного состояния x , y , xy обусловли-
ваются функцией прогиба w(x,y) и изменяются по толщине пластины, т.е. зависят от аргумента z, и будут приводить к изгибу
икручению пластины. Можно определить значения изгибающих
икрутящего моментов
M y |
h/2 |
|
|
|
|
|
2 w |
C22 |
2 w h3 |
, |
(3.1.12) |
|||||
|
y z z C12 |
x |
2 |
y |
2 |
12 |
||||||||||
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
M xy h/ 2 |
xy z z C66 |
|
2 w h3 |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x y 6 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
могут быть введены изгибные или цилиндрические жесткости |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
|
h3 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
11 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
C |
|
h3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
22 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
C |
|
h3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
66 |
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Дифференциальное уравнение прогиба пластины. Для по-
лучения дифференциального уравнения прогиба рассмотрим равновесие элемента пластины (рис. 3.2).
107
Рис. 3.2. Усилия и моменты, действующие на элемент срединной поверхности пластины
На элемент действует внешняя распределенная нагрузка q. Действие внешней нагрузки уравновешивается действием изгибающих и крутящего моментов и перерезывающего усилия на контуре. Спроецируем силы на ось z:
|
|
|
|
Q dy |
Q |
|
|
Qx dx |
dy Q |
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.14) |
||||
|
|
|
|
|
|
Qy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Qy |
|
|
|
|
|
dy |
dx qdxdy 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
После упрощения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Q |
|
Qy |
q |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.15) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Составим уравнение для моментов относительно оси Y |
||||||||||||||||||||||||||||
|
M x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M xy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M x |
|
|
dx dy M x dy M xy |
|
|
|
|
dy dx |
M xy dx |
|||||||||||||||||||
x |
y |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
Qy |
|
|
|
dy |
|
|||||
Q |
|
|
x dx dxdy |
Q |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
Q |
y |
|
|
|
|
dy |
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108
|
|
|
|
qdxdy dy |
0. |
|
|
|
|
|
(3.1.16) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приведем подобные слагаемые и отбросим члены третьего |
|||||||||||||||||||||||||||
порядка малости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
x |
|
M xy |
|
Q 0. |
|
|
|
(3.1.17) |
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналогично для моментов относительно оси X имеем: |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
M y |
|
M xy |
Qy |
0. |
|
|
|
(3.1.18) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя соотношения (2.17), (2.18) в (2.15), получим |
|||||||||||||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 M |
x |
2 |
|
2 M xy |
|
|
|
2 M y |
|
q 0 , |
(3.1.19) |
||||||||||||||||
x2 |
|
|
x y |
|
|
|
y2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
введя в (3.19) выражения (3.12), имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4 w 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 w |
|
|
|
|
4 w q. |
(3.1.20) |
|||||||||||
|
|
|
x2 y2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
11 x4 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
22 y4 |
|
|||||||||||
Для изотропного материала выполняются равенства |
|
||||||||||||||||||||||||||
11 22 |
12 2 66 |
|
|
|
|
Eh3 |
|
|
, |
(3.1.21) |
|||||||||||||||||
12 |
|
1 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 w |
|
|
|
|
4 w |
|
|
|
|
4 w |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 q |
|
(3.1.22) |
||||||||
x |
x |
2 |
y |
2 |
y |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
или в виде уравнения Софи Жермен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 w q. |
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.23) |
109
5. Усилия в пластине на площадке произвольной ориентации.
Рассмотрим сечение пластины плоскостью, перпендикулярной срединной поверхности, нормаль к которой составляет угол а с осью х (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Усилия в пластине на площадке произвольной ориентации
Определим усилия Ma, Qa, Ha через усилия Мх, Му, Мхy, Qx, Qy;
|
M h/ 2 |
zdz |
|
|
|
|
h/ 2 |
|
|
h/2 |
x cos2 y sin2 2 xy cos sin zdz |
|||
h/ 2 |
|
|
|
|
|
cos2 h/ 2 |
x zdz sin2 h/ 2 |
y zdz |
|
|
h/2 |
|
h/ 2 |
|
sin 2 h/2 |
xy zdz M x cos2 M y sin2 M xy sin 2 . (3.1.24) |
|||
h/2 |
|
|
|
|
Преобразования моментов аналогичны преобразованию компонент, например, тензора напряжений или любого тензора второго ранга;
H M x sin cos M y sin cos M xy cos 2 , (3.1.25)
110