книги / Методы анализа линейных электрических цепей. Электрические цепи постоянного тока

		U					I1		R2R3						I R		144	25		72
			ac						R	2	R						47
I2											3				1 3							А,
		R2							R2						R2 R3		25 25			47
		U					I1		R4R5						I R		144	25		48
			cb					R		4	R						47
I4											5				1 5							А.
		R4							R4						R4 R5		50 25			47

Ток, проходящий через амперметр, определим по первому закону Кирхгофа:

I A Icd I2 I4 7247 4748 4724 0,51А.

3.28. Дано: две эквивалентные цепи (рис. 33 к задаче 3.28), величины сопротивлений в омах указаны на схеме. Отношение токов I1/I одинаково в обеих цепях.

Определить сопротивления R1 и R2.

1

a

a

I

I

I1

1

b

I1

2

2

b

R1

R2

а

б

Рис. 33 к задаче 3.28

3.29*. Дано: Е1

= 18 В, Е3 = 3 В, Е6 = 22

В, R1 = 1 Ом,

R3 = 1 Ом, R4 = 6 Ом, R5 = 6 Ом R6 = 2 Ом, R8 = 12 Ом, I2 = 2 А,

I4 = 1 А, I5 = 4 А, I7 = 3 А (рис. 34 к задаче 3.29*).

Определить ЭДС E4, E5, сопротивления R2, R7

и неизвестные

токи ветвей I1, I3, I6, I8, проверить выполнение баланса мощности.

101

		I2		R2
	I1		E3	R3	I8	E1	R1
E1		E4		I3	E5		E2	R3
	I4	R4		I5	R5	R8	R2
R1			E6
				I6 R6			E3
		I7		R7			А
		Рис. 34 к задаче 3.29*				Рис. 35 к задаче 3.30

3.30. Дано: E1 = 10 В, E2 = 20 В, E3 = 10 В, R1 = R3 = 20 Ом, R2 = 10 Ом (рис. 35 к задаче 3.30).

Определить показание амперметра, проверить выполнение баланса мощности.

3.31. Дано: R1 =4 Ом, R2 =6 Ом, R3 =5 Ом, R4 =10 Ом, R5 =2 Ом,

показаниеваттметраPW =100Вт(рис.36,37кзадаче3.31). Определить токи всех ветвей, входное напряжение,

мощность, потребляемую резисторами, для следующих случаев: 1) цепь, изображенная на рис. 36 к задаче 3.31; 2) цепь, изображенная на рис. 37 к задаче 3.31; 3) цепь, изображенная на рис. 37 к задаче 3.31 при условии, что показание ваттметра PW = 120 Вт.

R1 R1

R2	*	*		R2	*	*
Uвх		W				W
R3	R5	R4	R3			R4
					R5
Рис. 36 к задаче 3.31			Рис. 37 к задаче 3.31

102

3.32. Дано: E = 20 В, R0 = 5 Ом R1 = 9 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 6 Ом, R5 = 12 Ом, R6 = 1 Ом (рис. 38 к задаче 3.32).

Определить показание ваттметра PW.

			*	*
		R4		W
			R6	E
	R1	R2
			R5	R0
		R3
		Рис. 38 к задаче 3.32

3.33. Дано: E = 50 В, R0 = 2 Ом R1 = 6 Ом, R2 = 1,5 Ом, R3 = 6 Ом, R4 = 2 Ом, R5 = R6 = R7 = 3 Ом (рис. 39 к задаче 3.33).

Определить показания всех измерительных приборов.

А	*
	* W
E	V	R1	R4		R6
R0		R2
			R3	R5	R7

Рис. 39 к задаче 3.33

3.34. Дано: граф цепи, на котором ветви – линии, узлы – точки (рис. 40 к задаче 3.34).

Определить количество необходимых уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

Рис. 40 к задаче 3.34

103

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 3

3.1.1) Uab = 1,6 В; 2) Uab = 2,4 В.

3.2.Uab = –172 В.

3.3.UV = 3 В.

3.4.P = 800 Вт.

3.5.0; 15 В; 0.

3.6.E = 2,25 В; R0 = 0,5 Ом.

3.7.РE = 3,9 Вт; РJ = 10 Вт; в режиме источника.

3.8.1) E1 = 135 В; E2 = 90 В; PЕ1 = 1800 Вт; PЕ2 = – 500 Вт.

3.9.U = 32,4 В; E = 7 В; R = 1,68 Ом.

3.10.Показания амперметров А1, А3 и вольтметра V1 увеличатся; амперметра А2 и вольтметра V2 уменьшатся.

3.11.0; 3600 Вт.

3.12.35 Вт.

3.13.50 Вт.

3.14.I1 = 4 A; I2 = 1 A.

3.15.40 В.

3.16.I1 = 9 A; I2 = –3 A; I3 = 6 A; I4 = 2 A; UJ = 6 B; P = 408 Вт.

3.17.I1 = 10 A; I2 = 15 A; I3 = 10 A; I4 = 15 A; I6 = 30 A; I7 = 40 A;

Ued = 40 B; Uec = –80 B; Ucd = 120 B; P = 10,8 кВт.

3.18.I1 = 21 A; I2 = 13 A; I3 = 8 A; I4 = 16 A; I6 = 8 А; P = 3112 Вт.

3.19.I1 = –1,5 A; I2 = 1,5 A; I3 = 3 A; I4 = 1 A; I5 = 2 A; I6 = 3 A;

P = 37 Вт.

3.20. E2 E1 R3 R4 , направлен от a к b.

R1

3.21. E3 E1R2 E2R1 .

R1 R2

3.22.I1 = 5 A; I2 = 1 A; I5 = 2 A; E2 = –30 В; R5 = 15 Ом; Uaf = –70 В; P = 348 Вт.

3.23.Rх = 2 кОм; E1 = 3 В; P = 51 мВт.

3.24.I1 = –9 A; I2 = 5 A; I6 = 7 A; U3 = 0; U4 = –6 В; U5 = –4 В; P = 90 Вт.

104

3.25. R1 = 47 Ом; E8 ≈ –72 В;

I4

= 0,5 A; I5 = 5 A;

I6 = –2,5 A;

I7 = –4,5 A; I8 = –8 A; P ≈ 618 Вт.

3.26. I1

E1(R2 R4) E5R2

;

I2

E1R4 E5R1

; I3

E5

;

R3

R1R2 R1R4 R2R4

R1R2 R1R4 R2R4

I4

E1R2 E5(R1 R2)

; I5

E5(R1 R2) E1R2

E5

.

R1R2 R1R4 R2R4

R1R2 R1R4 R2R4

R3

3.27.UV = 15 В; IА = 0,51 A.

3.28.R1 = 3 Ом; R2 = 4 Ом.

3.29. E4 = 6 В; E5 = 12 В; R2 = 3 Ом; R7 = 2 Ом; I1 = 6 A; I3 = 3 A; I6 = 8 A; I8 = 1 A; P = 317 Вт.

3.30. 6 А; 190 Вт.

3.31. 1), 3) Iвх = 19,4 A;	I1 = 3 A; I2 = 2 A;	I3 = 14,4 A; I4 = 5 A;
Uвх = 72 Вт; Pпотр =1396,8 Вт; 2) Iвх = 8,29 A;		I1 = 1,28 A; I2 = 0,85 A;

I3 = 6,15 A; I4 = 2,14 A; Uвх = 30,76 Вт; Pпотр =254,9 Вт.

3.32. PW = 20 Вт.

3.33. IА = 10 A; UV = 30 В; PW = 300 Вт. 3.34. 5, 4; 4, 6; 8, 6; 3, 4.

105

4. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.

МЕТОД ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

Основные теоретические сведения

Метод эквивалентных преобразований заключается в замене электрической цепи или ее части на более простую по структуре. При этом токи и напряжения в непреобразованной части цепи должны оставаться неизменными.

Этот метод рационально использовать для случая разветвленной электрической цепи с одним источником. Другое название этого метода – метод свертки. Свертка начинается с самых удаленных от источника ветвей и проводится в несколько этапов до достижения полной свертки (получения Rэкв). Затем ток в ветви с

	источником ЭДС определяется по закону Ома I	E	, в цепях с
		R
		экв

источником тока в ветви с источником определяется напряжение U J JRэкв . Токи в остальных элементах исходной схемы находятся в

процессе обратной развертки схемы. Для получения эквивалентной схемы с одним источником используются приемы, рассмотренные в предыдущих главах, связанные с эквивалентными преобразованиями пассивных и активных электрических цепей.

Следует отметить, что расчет разветвленных электрических цепей с несколькими источниками этим методом – трудоемкий процесс и, как правило, позволяет определить ток только одной из ветвей цепи. Остальные токи находятся либо из расчета промежуточных цепей, либо весь расчет повторяется заново. При расчете рекомендуется не включать в преобразование ту ветвь, ток в которой необходимо определить.

Суть метода пропорциональных величин состоит в следующем: в ветви, наиболее удаленной от источника, задаются некоторым значением тока или напряжения. Для удобства расчетов обычно это 1 А или 1 В. Затем, перемещаясь к началу цепи, определяют поочередно токи и напряжения всех ветвей вплоть до

106

ветви, содержащей источник. Тем самым определяют, какое напряжение Uвх и/или какой ток Iвх должен иметь источник для того, чтобы вызвать во всех ветвях токи и напряжения вычисленных значений. Если ЭДС (Е) или задающий ток (J) с этими значениями не совпадают, то необходимо пропорционально изменить вычисленные значения напряжений и токов ветвей путем умножения их на коэффициент пропорциональности, который определяется с

помощью отношения	E	или	J	.
	Uвх
			Iвх

Упражнения и задачи

4.1.(р). Дано: E = 10 В, R1 = 8 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 6 Ом, R5 = 6 Ом, R6 = 12 Ом (рис. 1 к задаче 4.1).

1	R1		2	R3	3			1
E	I1	I2		R2I3 I5	I6		E	I1
					R5	R6		Rэкв
				R4
			4		5			4
	Рис. 1 к задаче 4.1(р)							Рис. 2 к задаче 4.1(р)

Определить токи всех ветвей методами эквивалентных преобразований и пропорциональных величин, проверить выполнение баланса мощностей.

Решение. Метод эквивалентных преобразований. Заменим заданную схему эквивалентной одноконтурной (рис. 2 к задаче 4.1(р)), заменив пассивную часть схемы эквивалентным сопротивлением Rэкв, которое определяется относительно выводов источника ЭДС (точки 1 и 4) по формуле:

										R5R6										6 12
			R2 R3		R4											30 10	6
									R		R
R	R									5	6				8				6 12				20 Ом.
экв	1		R	R		R					R5R6					30 10 6				6 12
		2		3			4			R R										6 12
											5	6

107

Ток в ветви с источником ЭДС определяется по закону Ома:

	I1	E		10	0,5 А.
		Rэкв		20

Тогда напряжения на резисторе R1:

U1 I1R1 0,5 8 4 В

и на участке 2–4:

U24 E U1 10 4 6 В.

Ток через резистор R2:

I2 U24 6 0,2 А.

R2 30

Ток I3 определяется по первому закону Кирхгофа:

I3 I1 I2 0,5 0,2 0,3А.

Для определения токов I5 и I6 необходимо определить напряжение на параллельном участке 3–5:

U35 U24 I3 R3 R4 6 0,3(10 6) 1,2 В.

Тогда токи определяются так:

I5

U35

1,2

0,2 А; I6

U35

1,2

0,1А.

R5

6

R6

12

При расчетах удобно пользоваться формулой токов в двух параллельных пассивных ветвях (формула разброса): ток в одной из двух параллельных пассивных ветвей равен току неразветвленной части (общей ветви), умноженному на сопротивление противоположной ветви, деленному на сумму сопротивлений обеих параллельных ветвей.

Тогда токи I5 и I6 можно определить следующим образом:

108

	I	5	I	3		R6		0,3	12		0,2 А,
					R	R			12 6
					5	6
	I	6	I	3		R5		0,3	6		0,1А.
					R	R			12 6
					5	6

Определим мощность источника: Pист EI1 10 0,5 5 Вт . Мощность потребителей:

Pпотр I12R1 I22R2 I32R3 I32R4 I52R5 I52R5

0,52 8 0,22 30 0,32 10 0,32 6 0,22 6 0,12 12 5 Вт.

Метод пропорциональных величин. Пусть ток I6 = 1 А, тогда

U35 I6R6 1 12 12 В I5R5 .

Следовательно, ток через резистор R5 определяется как

I5 U35 12 2 А.

R5 6

Ток I3 можно определить по первому закону Кирхгофа:

I3 I5 I6 1 2 3А.

Напряжение U24 определяем по второму закону Кирхгофа:

U24 I3 R3 R4 U35 3 (10 6) 12 60 В.

	По закону Ома ток	I2		U24		60	2 А, по первому закону
				R2		30

Кирхгофа ток I1 I2 I3 2 3 5 А. Напряжение на входе цепи (участок 1–4):

Uвх U14 U24 I1R1 60 5 8 100 В.

			Коэффициент				пропорциональности определяется	как
	k	E			10	0,1.	Для получения истинных значений	все
		Uвх		100

109

рассчитанные значения токов и напряжений необходимо умножить
на коэффициент пропорциональности k.
	R1	R3	R5		4.2(м). Дано: R1 = 40 Ом,
					R2 =35Ом, R3 =20 Ом, R4 =10 Ом,
		R2			R5 = 20 Ом, R6 = 20 Ом; показание
E	IА		R4	R6	амперметра	IA = 2 А	(рис. 3		к
					задаче 4.2(м)).
		А
					Определить:		1)	ЭДС
	Рис. 3 к задаче 4.2(м)				источника E; 2) входное сопро-
					тивление цепи Rвх.
	Методические указания. Воспользоваться методом
пропорциональных величин, коэффициент пропорциональности
определить по току IA, правильность расчетов проверить при помощи
метода эквивалентных преобразований.
	4.3. Дано: электрическая цепь (рис. 4 к задаче 4.3),
представляющая собой делитель напряжений и токов, с известными
ЭДС источника E и сопротивлением R резисторов.
	Определить токи всех ветвей и напряжения Uaо, Ubо, Uсо
методом пропорциональных величин, входные сопротивления Rao,
Rbo,	Rco; проверить соотношение токов: I2 = I1/2; I3 = I1/4; I4 = I1/8.

		a	R	b	R	c
							I4
E	I1		I2		I3
	Iа		2R Ib		2R Ic	2R	2R
				o
			Рис. 4 к задаче 4.3

4.4. Дано: электрическая цепь, состоящая из шести одинаковых звеньев (рис. 5 к задаче 4.4), подключена к источнику ЭДС. Сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R. Амперметр A1 показывает ток IA1 8,9 мА .

110