книги / Методы анализа линейных электрических цепей. Электрические цепи постоянного тока

a	R1	с	R2	d		a	R1	R2
	R3		R4		R5		R3	R4	R5
b						b
	Рис. 21 к задаче 1.12(р)				f		Рис. 22 к задаче 1.12(р)

Решение. Следует отметить, что для одной и той же цепи принципиально, относительно каких выводов (входных зажимов, под входом понимается пара выводов (зажимов), к которым подключается источник) определяется эквивалентное сопротивление. Продемонстрируем это на примере данной задачи:

а) для определения эквивалентного сопротивления Rab уберем лишние выводы, которые не участвуют в формировании эквивалентного сопротивления (рис. 22 к задаче 1.12 (р)), и определим Rab методом постепенного сворачивания схемы, начиная с параллельного соединения сопротивлений R4 и R5, которое соединено последовательно с сопротивлением R2. Полученное эквивалентное сопротивление соединено параллельно с R3. Вновь полученное эквивалентное сопротивление и R1 соединены последовательно. Таким образом, окончательный результат:

			R4R5									30 6
					R2		R3									5		15
												30	6
R			R4 R5					R											6 12Ом;
			R R								30 6
ab				R		R		1							5		15
			4 5
		R4 R5		2			3			30 6

б) для определения эквивалентного сопротивления Rcd воспользуемся цепью (рис. 23 к задаче 1.12(р)). Сопротивления R4 и R5 соединены параллельно друг другу; сопротивление R3 присоединено к ним последовательно. К полученному эквивалентному сопротивлению R2 присоединено параллельно:

21

R4R5

30 6

R3

R2

15 5

R

R

4

30 6

R

5

4 Ом;

cd

R4R5

R R

30 6

15 5

R

4

R

3

2

30 6

5

с

R2

d

R2

d

R3

R3

R4

R5

R4

R5

f

Рис. 23 к задаче 1.12(р)

Рис. 24 к задаче 1.12(р)

в) по отношению к выводам d и f (рис. 24 к задаче 1.12(р)) цепь состоит из трех параллельно соединенных сопротивлений R5, R4 и последовательно соединенных R2 и R3, эквивалентное сопротивление в этом случае определяется следующим образом:

				R2 R3 R4R5																				5 15 30 6
Rdf																													4 Ом;
	R	2	R	R R R								R R				R							20 30 20 6 30 6
			3		4				2		3	5			4		5
	г) сопротивление
									R4R5															30 6
													R2 R3													5 15
								R			R
										4														30 6
				R								5																6 Ом.
				cf				R4R5				R			R									30 6		5 15
							R		4	R				2		3							30 6
											5
	1.13. Дано: R1 = 1											Ом, R2 = 30											Ом, R3 = 17				Ом, R4 = 3 Ом,
R5 = 20 Ом, R6 = 8 Ом, R7 = 7 Ом, R8 = 10 Ом, R9 = 6 Ом, R10 = 4 Ом,
(рис. 25 к задаче 1.13).
	Определить							эквивалентное												сопротивление								относительно

выводов: а) a–b; б) c–d; в) f–d.

22

a		R1	с	R3			R6		R9

R2	R5	R8	R10
b	R4	R7	d
		f
	Рис. 25 к задаче 1.13

1.14(р). Дано: R1 = 16 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 4 Ом (рис. 26 к задаче 1.14(р)).

		R3		R3	R2
1	R1	R2	2	1	R1
		R4			R4
1'			2'	1'
	Рис. 26 к задаче 1.14(р)			Рис. 27 к задаче 1.14(р)

1.Определить эквивалентное сопротивление относительно выводов 1–1' при следующих режимах на выводах 2–2': а) холостой ход; б) короткое замыкание; в) рабочий режим с нагрузочным сопротивлением Rн = 2,5 Ом.

2.Решить задачу для случая, когда выводы 1–1' и 2–2' поменяли местами.

Решение: 1. при определении эквивалентного сопротивления важно понимать, в каком режиме работает цепь. Это определяется величиной сопротивления, подключенного к выходным выводам (выходные выводы – выводы, к которым подключается сопротивление нагрузки).

а) в режиме холостого хода, когда выходные выводы 2 и 2'

разомкнуты, сопротивление участка 2–2' бесконечно большое

(рис. 27 к задаче 1.14(р)):

23

R

R2 R3 R1

R

4

4 12 16

4 12 Ом;

4 12 16

1 1

R

2

R R

3

1

R3

R3

1

R1

1

R1

R2

2

Rн

R4

R2

R4

1'

1'

2'

Рис. 28 к задаче 1.14(р)

Рис. 29 к задаче 1.14(р)

б) в режиме короткого замыкания, когда выходные выводы 2 и 2' соединены идеальным проводником, сопротивление участка 2–2' равно нулю (рис. 28 к задаче 1.14(р)):

				R2R4					4 4
													16 12
						R1 R3					4 4
R		R2 R4												7,2 Ом;
1 1				R2R4	R		R				4 4		16 12
			R2 R4			1	3			4 4

в) в нагрузочном режиме, когда к выходным выводам 2–2' подключено нагрузочное сопротивление Rн (рис. 29 к задаче 1.14(р)) в схеме можно выделить два треугольника R1–R2–R3 и R2–R4–Rн и две звезды R1–R2–R4 и R2–R3–Rн. Для определения эквивалентного сопротивления следует преобразовать один треугольник в эквивалентную звезду или одну звезду в эквивалентный треугольник. Подобная цепь была рассмотрена в задаче 1.1(р).

2. Решить самостоятельно.

1.15. Дано: сопротивления резисторов в Омах указаны на схеме (рис. 30–32 к задаче 1.15(р)).

Определить эквивалентные сопротивления цепей относительно выводов 1–1' при следующих режимах на выводах 2–2': а) холостой ход; б) короткое замыкание.

24

1	20		1	30	2		10
						1		2
	36 16		30		30
		2		30		40
	16		30		30	20	20	2'
1'		2'		30		1'
			1'		2'
Рис. 30 к задаче 1.15			Рис. 31 к задаче 1.15			Рис. 32 к задаче 1.15
1.16(р). Дано: R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = 10 Ом (рис. 33
к задаче 1.16(р)).							цепи	при
Определить эквивалентное сопротивление Rab
разомкнутом и замкнутом ключе.

a	R1	d R2
R3		R7
	R4	R5

e

c

b a	R1 d(e)	R2	b
R6	R3
	R4	R7	R6
	c	R5

Рис. 33 к задаче 1.16(р)

Рис. 34 к задаче 1.16(р)

Решение: 1. При разомкнутом ключе потенциалы точек d и e одинаковы, поэтому их можно заменить одной точкой d(e), на участке c–b наблюдается обрыв (рис. 34 к задаче 1.16(р)), тогда эквивалентное сопротивление относительно точек а и b определяется следующим образом:

							R4R7
									R5
		R R			R4 R7					R6 R2
R			1 3								12,14 Ом.
		R	R				R4R7
ab								R5 R6 R2
		1	3

R4 R7

25

a	R1	d	R2	b	a	R1	d(e)	R2	b
R3			R7	R6		R3
							R4	R7
e	R4		R5				c
		c

Рис. 35 к задаче 1.16(р)

Рис. 36 к задаче 1.16(р)

2. При замкнутом ключе (рис. 35 к задаче 1.16(р)), кроме точек d и e, идеальным проводником также соединены точки b и c, т.е. имеют одинаковые потенциалы. В этом случае ток пойдет по пути наименьшего сопротивления, и сопротивления R5 и R6 не влияют на величину эквивалентного сопротивления Rab, поскольку замкнуты накоротко (рис. 36 к задаче 1.16(р)). В этом случае сопротивление Rab определяется по формуле

R4R7

R

R

R1R3

R4

R7

2

8,33Ом.

R R

R4R7

ab

R2

1

3

R4 R7

1.17. Дано: R1 = 40

Ом,

R2 = R3 = R4 = R5 = 60 Ом (рис. 37

к задаче 1.17).

R1

R2

R3

2

a

1

3

R4

b

R5

Рис. 37 к задаче 1.17

Определить эквивалентное сопротивление Rab цепи при замыкании контактов 1–2, 1–3, 2–3, 1–2–3.

26

1.18. Дано: сопротивления резисторов в омах указаны на схеме (рис. 38 к задаче 1.18).

Определить сопротивление Rx, если Rэкв = 1,5 Ом.

		3
Rx	1		1	2
	Rx	1	18
			2	16
0,5
			2	2
			18

Рис. 38 к задаче 1.18

1.19(м). Дано: R = 3 Ом (рис. 39 к задаче 1.19(м)). Определить R' (рис. 40 к задаче 1.19(м)), при котором схемы

будут эквивалентны.

a	R		a
				R'
	R
b	R	R	b	R'	R'
				R'
	R
				R'
c	R		c	R'
Рис. 39 к задаче 1.19(м)				Рис. 40 к задаче 1.19(м)

Методические указания. Необходимо обе схемы преобразовать таким образом, чтобы в одной линии (a, b и c) резисторы были соединены последовательно, для чего необходимо применить эквивалентные преобразования треугольник – звезда и/или звезда – треугольник. Затем из равенства сопротивлений одной линии двух цепей вычислить сопротивление R'.

27

a

1.20. Дано: три резистора соеди-

R1

нены по схеме (рис. 41

к задаче 1.20).

Если резисторы включены в цепь в

b

R2

точках а

и b, то сопротивление цепи

Rab = 20 Ом; если резисторы включены в

R3

цепь в точках а и с, то сопротивление

c

цепи Raс = 15 Ом.

Рис. 41 к задаче 1.20

Определить

сопротивления

резисторов R1, R2, R3, если R1 = 2R2.

R

2R

1.21. Дано:

сопротивления

d

a

резисторов указаны на схеме (рис. 42

f

2R

4R

к задаче 1.21).

b

Определить,

как изменится

3R

6R

сопротивление

Rdf

после

соедине-

c

ния точек a,

b

и

c идеальным

проводом.	Рис. 42 к задаче 1.21

1.22. Дано: проволочный каркас (рис. 43 к задаче 1.22), сопротивление единицы проволоки, из которой он изготовлен, равно R. Длина стороны квадрата равна a.

Определить эквивалентное сопротивление относительно указанных выводов.

Рис. 43 к задаче 1.22

1.23. Дано: проволочный каркас (рис. 44 к задаче 1.23), сопротивление между двумя любыми узлами равно R.

Определить эквивалентное сопротивление относительно указанных выводов.

28

Рис. 44 к задаче 1.23

1.24(р). Дано: проволочный каркас соединен в виде пятиконечной звезды, сопротивления всех резисторов равны R

(рис. 45 к задаче 1.24(р)).

Определить эквивалентное сопротивление Rab.

Решение. Способ 1. Точки c, c', d, d' не являются узлами, резисторы, примыкающие к этим узлам, соединены последовательно и параллельно третьему резистору (рис. 46 к задаче 1.24(р)):

R

R

R

R

R R R

2

R .

ef

e f

eb

e b

R R R 3

Сопротивления

R

R

2

2

R

4

R (одинаковые резис-

b f

b f

3

3

торы соединены последовательно).

		a			a
c	f	f'	c'	f	f'
	e	e'		e	e'
	d	b	d'		b
	Рис. 45 к задаче 1.24(р)			Рис. 46 к задаче 1.24(р)

29

Далее необходимо заштрихованные резисторы, соединенные симметричным треугольником, преобразовать в эквивалентную симметричную звезду с сопротивлением луча звезды равным R/3.

Окончательно получаем:

4				1
Rab			R	3 R		1		7
		3					R		R .
			2			3		6

Способ 2. В силу симметричности схемы относительно оси a–b потенциалы точек f и f' равны, ток по этому участку протекать не будет, и резистор можно исключить из схемы (рис. 47 к задаче 1.24(р)). Эквивалентное сопротивление просто определяется по схеме (рис. 48 к задаче 1.24(р)):

Rab R

(R R)R

(R R)R

R

2

R

2

R

7

3R

3R

3

3

R .

2

2

6

a

a

c

f

f'

c'

f

f'

e

e'

c

c'

b

d'

e

e'

d

d'

Рис. 47 к задаче 1.24(р)

d

b

Рис. 48 к задаче 1.24(р)

30