книги / Методы расчета ресурса работы элементов машин
..pdfВ результате всех этих явлений происходит формирование закона распределения f U,t , который определяет вероятность выхода параметра U за границу Umax, т.е. вероятность отказа
F t 1 P t . |
(2) |
Следует отметить, что в общем случае значение Umax также может иметь рассеивание, если оно оценивает диапазон требований потребителя к предельным значениям показателей машины.
Данная схема в общем виде описывает процесс возникновения отказа и при частных значениях входящих параметров может отражать те или иные случаи, характерные для определенных условий работы и конструктивных особенностей изделия.
Если процесс изменения параметра начинается сразу (Тв = 0), то получаем типичную схему возникновения постепенного параметрического отказа.
Если при достижении Umax будет резкое возрастание U t , то,
как правило, возникнет отказ функционирования.
Если в процессе формирования отказа основную роль играет возникновение (зарождение) процесса, т.е. функция f Tв , а затем
процесс протекает с большой интенсивностью U t , то получим модель внезапного отказа.
Рассеивание начальных параметров изделия f a следует учи-
тывать при рассмотрении определенной совокупности изделий, например всех машин данной модели, выпускаемых заводом. Если рассматривается конкретное изделие, то значение a превращается
внеслучайную величину, так как характеризует начальные параметры данного образца.
Если же учитывать рассеивание начальных параметров машины
врезультате ее работы при различных режимах, то a будет случайной величиной и для данного экземпляра изделия.
11
1.5. Модель формирования постепенного отказа данного изделия
Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда изменение параметра изделия U подчиняется линейному закону:
U kt. |
(3) |
В данном случае k – скорость протекания процесса (скорость изнашивания , или скорость изменения параметра х ), которая за-
висит, как правило, от большого числа случайных факторов: нагрузки, скорости, температуры, условий эксплуатации и т.п., k . Вви-
ду этого наиболее характерен случай, когда она подчинена нормальному закону, т.е.
|
|
1 |
|
e |
х ср 2 |
|
f |
|
|
2 2 , |
(4) |
||
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
||
где f – плотность распределения вероятностей; |
ср – среднее |
значение (математическое ожидание) скорости процесса или изменения выходного параметра; – среднее квадратическое отклоне-
ние скорости процесса; – коэффициент вариации (безразмерная
величина), .
ср
Предельно допустимое значение параметров Umax установлено из условия правильности функционирования изделия. При U Umax
наступает предельное состояние, которое и определяет срок службы (наработку) изделия до отказа t T . Срок службы Т является функцией случайного аргумента , т.е.
T Umax . |
(5) |
|
|
Средний срок службы изделия
12
|
T |
|
|
Umax |
. |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|||||
Задача заключается в |
нахождении |
плотности |
распределения |
||||||||||||
f t по заданной функции |
f |
|
– рис. 3. Для функций случайного |
||||||||||||
аргумента в теории вероятностей применяется формула |
|||||||||||||||
f t T f T |
|
' T |
|
, |
|
(7) |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где T – обратная функция |
, т.е. |
T |
Umax |
; ' T – про- |
|||||||||||
T |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Umax |
|
|
|
|
|
|
|
|||
изводная этой функции, ' T |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|
|
Рис. 3. Схема формирования постепенного отказа данного изделия
Подставляем эти значения и делаем преобразования:
|
|
1 |
Umax e |
х ср 2 |
|
1 |
|
Umax e |
Umax T Umax Tср 2 |
|
f T |
|
2 2 |
|
|
2 2 Umax2 Tср2 |
; |
||||
|
|
|
ср |
|
|
|||||
|
|
2 |
T 2 |
|
|
2 |
T 2 |
|
|
13
f T |
|
1 |
|
|
|
U |
|
|
Tср T |
|
T Tср 2 |
|
Tср |
|
1 |
|
|
Tср T 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
max |
e |
|
2 |
2 1 T 2 |
|
|
|
e |
2 |
T |
2 |
. |
(8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
Umax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дляудобстварасчетоввведем безразмерноевремя вдолях Тср: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда формула (8) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
e |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
Tср f T |
|
и T Tср. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
Эта формула удобна тем, что плотность распределения вероятностей является функцией всего одного безразмерного параметра – коэффициента вариации .
Анализ f T и |
f показывает, что эта функция асиммет- |
рична, ее максимум (мода Тмод) находится левее точки с координатой t Tср ( 1) .
Из условия dfd 0 получим значение аргумента, при кото-
ром функция достигает максимума:
|
|
|
1 8 2 |
1 |
. |
(12) |
мод |
4 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
Для определения вероятности отказа F(T ) необходимо проинтегрировать функцию плотности распределения вероятностей:
14
T |
|
|
|
|
F(T ) f (T )dT |
f ( )d F( ), |
(13) |
||
0 |
0 |
|
|
|
т.е. можно интегрировать функцию F( ) . |
|
|||
Если ввести переменную z |
1 |
, то данный интеграл сводит- |
||
|
|
|||
|
|
|
|
ся к функции Лапласа и, учитывая, что вероятность безотказной работы P(T ) 1 F(T ) , получим
|
1 |
, |
(14) |
P(T ) P( ) 0,5 Ф |
|
||
|
|
|
|
где Ф – нормированная функция Лапласа, 0 ≤ Ф ≤ 0,5; при |
0 |
||
P T 1, при P(T ) 0 . |
|
|
|
Формулу можно написать в другом виде, |
выразив P(T ) |
через |
параметры Umax , ср, , которые являются исходными данными при решении поставленной задачи:
|
Xmax срT |
|
|
|
P(T ) 0,5 Ф |
. |
(15) |
||
|
||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
1.6. Модель формирования постепенного отказа с учетом рассеивания начальных параметров
Более полная схема потери изделием работоспособности учитывает и начальное рассеивание параметра изделия:
U a t, |
(16) |
где a – начальный параметр изделия (например, точность изготовления детали), который также является случайной величиной и подчиняется некоторому закону распределения. Срок службы является функцией двух независимых случайных аргументов a и :
T Umax a . |
(17) |
|
|
|
15 |
Если случайные аргументы a и распределены по нормально-
му закону, то и параметр U для каждого значения t T будет распределен по такому же закону с параметрами (рис. 4):
– математическое ожидание
Uср |
a0 срT; |
(18) |
– среднее квадратическое отклонение |
|
|
х |
a2 2T 2 , |
(19) |
где a0 – среднее значение начального параметра и a – среднее квадратическое отклонение случайного параметра a.
Рис. 4. Схема формирования отказа при рассеивании начальных параметров изделия
16
Получим
|
U |
max |
a |
|
ср |
T |
|
|||
P(T ) 0,5 |
Ф |
|
|
0 |
|
|
. |
(20) |
||
|
2 |
2T 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
1.7. Примеры расчета ресурса и вероятности безотказной работы
Для изделий с высокими требованиями к надежности обычно задается P(T ) и необходимо подсчитать ресурс Т, обеспечивающий
данный уровень безотказности. В этом случае в формуле искомым является значение Т, которое входит в аргумент функции Лапласа. Аргумент функции Лапласа будет являться квантилем нормального распределения Хр, т.е. тем его значением, которое соответствует данной вероятности P(T ) .
Из формулы (20), приравняв к Хр значение аргумента функции Ф, для определения Т получим квадратное уравнение
X |
p |
2 |
2T 2 |
U |
max |
a |
ср |
T. |
(21) |
|
a |
|
|
0 |
|
|
Для частного случая при P(T ) 0,5 квантиль Xp 0 , получим
T |
Umax a0 |
. |
(22) |
ср ср
Это средний срок службы изделия.
При значениях члена 2T 2 , значительно меньших, чем 2a (что
имеет место при значительных рассеиваниях начальных параметров), принимая в формуле T 0 , получим
T |
Umax a0 Xp a |
. |
(23) |
|
|||
|
ср |
|
Полученные зависимости позволяют при знании физических законов изнашивания или других законов старения с учетом воз-
17
можных вариаций исходных показателей работоспособности и условий эксплуатации прогнозировать потерю работоспособности изделия и определять основные показатели надежности, так как в структуру формулы входят исходные данные, не зависящие от времени.
Рассмотрим пример расчета показателей надежности [13] при износе изделия.
Оценка скорости протекания процесса повреждения детали во времени dUdt является необходимым этапом при решении задач
надежности.
Простейшим будет случай, когда не изменяется во времени,
а ее значение зависит лишь от режима и условий работы материала. Тогда будет иметь место стационарный процесс (по отношению к ), параметры которого можно оценить, зная законы распределе-
ния случайных аргументов и используя соответствующие теоремы теории вероятностей.
Износ зависит от давления на поверхности трения р (МПа) и скорости относительного скольжения сопряженных тел v (м/с), так как это основные параметры, связанные с конструкцией и кинематикой сопряжений.
Анализ большого числа исследований износа различных материалов в условиях граничного трения и трения без смазки показывает, что в общем случае скорость изнашивания (мкм/ч) может быть
выражена зависимостью
kpm vn , |
(24) |
где m 0,5...3,0 и для большинства пар трения n 1 ; k – коэффициент износа, характеризующийматериалпары иусловияизнашивания.
Для абразивного и ряда других видов изнашивания m n 1 ,
kpv. |
(25) |
Пусть из условий эксплуатации известно, что спектры нагрузок подчиняются нормальным законам распределения с параметрами –
18
математическим ожиданием рср и vср и среднеквадратическим отклонением p и v . Известно также среднее значение kср. Если счи-
тать, что факторы, определяющие значение коэффициента k (смазка, загрязнение поверхности абразивом), существенно не изменяются, а на процесс изнашивания влияет лишь изменение нагрузок и скоростей, то можно определить параметры процесса изнашивания, пользуясь теоремами для случайных аргументов.
Математическое ожидание процесса
ср kср pсрvср. |
(26) |
Дисперсия процесса изнашивания D 2 может быть подсчи-
тана на основании теоремы о дисперсии независимых нецентрированных случайных величин:
D D kpv k |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
(27) |
|||
|
D p D v pсрD v |
vсрD p |
|||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
k |
2 |
2 |
p2 |
2 |
v2 |
2 . |
|
(28) |
|
|
|
|
p |
v |
ср |
v |
ср |
p |
|
|
Пусть, например, из анализа спектров нагрузок, которые могут возникать при эксплуатации, известно, что они подчиняются нормальному закону распределения и в пределах шестисигмовой зоны имеют колебания
p 16 4,5 , т.е. pср 16 МПа и p 1,5 МПа; v 2 0,6 , т.е. vср 2 м/с и v 0,2 м/с.
Кроме того, из испытания образцов при средних режимах эксплуатации известно, что за 100 ч работы износ составил 2 мкм, т.е.
ср 2 10 2 мкм/ч.
Из формулы можно определить среднее значение коэффициента износа k, которое для принятых значений будет kср 6,25 10 4 .
Среднее квадратическое отклонение, характеризующее дисперсию процесса изнашивания, 2,77 10 3 мкм/ч.
19
Максимально допустимое значение износа Umax 10 мкм и определено по отношению к номинальному размеру a0, т.е. при расчете следует принять a0 0 , a 1 мкм.
Требуется рассчитать ресурс изнашивающейся детали при заданной вероятности безотказной работы P t T для ее значений
в пределах от 0,5 до 0,9999.
Учитывая, что для рассматриваемого случая член 2a на два порядка выше, чем 2T 2 , воспользуемся ранее рассматриваемой формулой (23) и получим
T 500 1 0,1Xp .
Однако утверждение, что член 2T 2 на два порядка меньше,
чем 2a , справедливо только для малых наработок, что само по себе
интереса не представляет.
Например, если принять T 300 ч, то
2T 2 2,77 10 3 2 9 104 7,67 10 6 9 104 69,03 10 2 0,69;
2a 12 1,
т.е. члены соизмеримы и пренебрегать величиной 2T 2 нельзя. Если T 400 ч, то член 2T 2 оказывается даже больше 2a .
2T 2 2,77 10 3 2 16 104 7,67 10 6 16 104 122,72 10 2 1,22.
Рассмотрим несколько примеров расчета надежности в период постепенных отказов.
Пример 1 [15]
Оценить вероятность безотказной работы P t в течение
t 1,5 104 ч изнашиваемого подвижного сопряжения, если ресурс по износу подчиняется нормальному распределению с параметрами tср 4 104 ч, t 104 ч.
20