книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен
..pdfa 4 |
+ a |
0 + |
1 + 1 + 3 + 1 |
= |
|
0 + |
|
1 |
+ 1 + |
9 |
+ 1 |
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
1 |
|
4 2 4 |
|
|
|
|
|
16 4 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 + 1 + 1 |
+ 3 + 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
+ 1 + |
9 |
+ 1 |
|
|
|
1 |
+ 1 + 27 + 1 |
|
|||||||
a |
+ a |
0 + |
|
= |
0 + |
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
4 2 |
4 |
|
1 |
|
|
16 |
|
4 16 |
|
|
|
|
|
64 8 64 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
4 + a |
10 = |
30 , |
||
|
0 |
1 |
4 |
16 |
|
|
|
10 + a 30 |
= 100 . |
||
a |
|||||
|
0 |
4 |
1 |
16 |
64 |
|
|
|
φ(х) = –5/16 + 5х/4
–0,2
–0,4
Рис. 11.14. Приближение функции f (x) = x2 , заданной таблично (см. табл. 11.9) линейной зависимостью ϕ (x) = − 516 + 5x4 , построенной методом наименьших квадратов
Решение этой системы линейных алгебраических уравнений следующее: a0 = − 516 и a1 = 54 . Аппроксимация зависимостью
ϕ(x) = = − 516 + 5x4 имеет наименьшее отклонение от табличных данных (рис. 11.14).
161
11.4. Численное интегрирование
На интервале [a, b] задана функция f(x). Требуется определить значение определенного интеграла
I = b |
f (x)dx. |
(11.5) |
a |
|
|
Если функция f(x) сложна для определения точного вида первообразной, ее аппроксимировать разложением вида
|
f (x) |
m |
|
|
≈ f (x j )ϕ j (x), |
(11.6) |
|
|
|
j =0 |
|
где f (xj ) |
– значения заданной функции в некоторых точках x j отрез- |
||
ка [a, b] ; |
ϕ j (x ) – система линейно независимых функций. Если в ка- |
||
честве ϕ j (x ) использовать |
степенные функции |
x j , то выраже- |
ние (11.4) – аппроксимация функции f (x ) полиномом Ньютона (Ла-
гранжа). Подстановка формулы (11.6) в формулу (11.5) приводит к соотношению
b |
n |
b |
m |
|
I = f (x)dx ≈ f (xj ) ϕ j (x)dx = C j f (xj ). |
(11.7) |
|||
a |
j=0 |
a |
j=0 |
|
Здесь обозначено:
m
фициенты, C j f (x j )
j =0
C j = b |
ϕ j (x)dx, j = |
|
– весовые коэф- |
0, m |
|||
a |
|
|
|
– квадратурная сумма. Выражение (11.7)
носит название квадратурной формулы интерполяционного типа.
Поскольку аппроксимация произвольной функции f (x ) свя-
зана с определенными сложностями (сходимость процесса аппроксимации, наличие погрешности), обычно используется следующий подход: на интервал интегрирования [a,b] накладывается разност-
|
Ωm = { x0 = a; xj = a + jh; j = |
|
} |
|
ная сетка |
0,m |
с шагом |
||
162 |
|
|
|
|
h = (b − a ) m . На каждом из сегментов |
|
|
|
|
|
|
, j = 1,m , этой раз- |
||||||
xj−1 |
, xj |
ностной сетки проще и удобнее строить квадратурную формулу и оценивать ее погрешность, которая определяется как разность между точным значением интеграла на рассматриваемом сегменте [xk −1 , xk ] и значением квадратурной суммы:
xk |
n |
ψk = |
f (x)dx − Ckj f (xj ). |
xk−1 |
j=0 |
Cвойство аддитивности операции интегрирования позволяет представить выражение (11.5) в виде суммы интегралов по всем сегментам:
b |
m |
xk |
I = f (x)dx = |
f (x)dx. |
|
a |
k =1 x |
|
|
|
k−1 |
Погрешность квадратурной формулы на всем интервале [a,b]
m
Ψ = ψk .
k=1
11.4.1.Формула прямоугольников
Рассматривается случай, когда на произвольном сегменте [xk −1 , xk ] в разложении (11.6) имеется лишь одно слагаемое, содер-
жащее функцию ϕ0 = 1. В этом случае весовой коэффициент
xk |
xk |
|
C0k = ϕ0dx = dx = xk − xk −1 = h |
|
|
xk−1 |
xk−1 |
|
и на сегменте [xk −1 , xk ] интеграл заменяется выражением |
|
|
x |
|
|
k |
f (x)dx ≈ f (xk −1/2 )h. |
(11.8) |
xk−1
163
Это означает замену интеграла на указанном сегменте площадью прямоугольника с основанием h и высотой, равной значению функции в середине основания прямоугольника (рис. 11.15, б).
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
x |
xk– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
xk |
xk–1 xk–1/2 xk |
xk–1 |
xk |
|||||
|
а |
|
|
|
б |
|
|
в |
Рис. 11.15. Схема численного интегрирования методом прямоугольников с «левой» (а), «центральной» (б) и «правой» (в) точками
Приближение функции f(x) вблизи точки xk −1/2 описывается формулой Тейлора
f (x) = f (xk −1/2 ) + fx′(xk −1/2 )(x − xk −1/2 ) +
+ f ′′ |
( |
ξ |
)( |
x − x |
2 2, ξ |
x |
, x |
. |
xx |
|
k −1/2 ) |
|
[ k −1 |
k ] |
|
Погрешность вычисления значения определенного интеграла на сегменте [xk −1 , xk ] определяется выражением
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψk = k |
f (x)dx − f (xk −1/2 )h = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
xk−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
( |
|
|
+ f ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
f |
x |
|
x |
x − x |
|
|
|
+ |
|
|||
|
|
k −1/2 ) |
|
x ( |
k −1/2 )( |
k −1/2 ) |
|
|
|||||
|
xk−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ f ′′ ξ x − x |
|
2 2 dx − f x |
|
|
h = |
||||||||
|
xx ( )( |
|
k −1/2 ) |
|
|
( k |
−1/2 ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= f (xk −1/2 )h + fx′(xk −1/2 )(x − xk −1/2 )2 2 |
|
xk |
+ |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
164
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
− xk −1/2 ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(xk −1/2 )h = |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
′′ |
2dx − f |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
fxx (ξ)(x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xk−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 xk |
|
f ′′ (ξ)(x − x |
|
|
)2 |
dx. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
xx |
|
|
|
k −1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное выражение позволяет оценить погрешность квад- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ратурной формулы (11.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ψ |
|
≤ 1 |
|
xk |
f ′′ |
|
ξ |
|
x − x |
|
2 |
dx |
|
≤ 1 |
max |
|
|
f |
′′ |
x |
|
xk |
x − x |
2 dx = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
( |
)( |
|
|
|
|
) |
( |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
xx |
|
k −1/2 ) |
|
|
|
|
|
2 x [xk−1 ,xk |
] |
|
|
xx ( |
|
k −1/2 ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= M 2,k |
(x − xk −1/2 )3 6 |
|
xk |
|
= M 2,k h3 24 = O(h3 ). |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk−1 |
|
|
|
′′ |
(x) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Здесь обозначено: M2,k = max |
|
|
. Это выражение пока- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
fxx |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [xk−1 ,xk |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зывает, что при ограниченности второй производной заданной функции f (x ) на рассматриваемом сегменте [xk −1 , xk ] погрешность
формулы прямоугольников имеет третий порядок относительно шага интегрирования h, или Ψk = O(h3 ). Для всего отрезка интегрирования [a,b] получается
|
|
|
|
m |
m |
|
|
||||||||
|
Ψ |
|
≤ |
|
ψk |
|
≤ h3 24 |
M2,k ≤ M2 |
(mh)h2 24 = M2h2 |
(b − a) 24, |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
k =1 |
k =1 |
|
|
||||||||
где |
M2 |
= max |
|
fxx′′ (x) |
|
. |
Иными словами, для всего интервала [a,b] |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
погрешность рассмотренного способа интегрирования имеет второй порядок – Ψ = O(h2 ) .
Так же проверяется погрешность часто применяемых на практике квадратурных формул с использованием «левой» точки сегмен-
та [xk −1 , xk ] (рис. 11.15, а):
xk
f (x)dx ≈ f (xk −1 )h,
xk−1
165
и «правой» точки сегмента [xk −1 , xk ] |
(рис. 11.15, в): |
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
f (x)dx ≈ f (xk )h. |
|
|
|
|||
|
|
xk −1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1024n |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
512 |
|
Рис. 11.16. Зависимость от числа n сегментов разностной сетки значений |
|||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграла e− xdx , вычисляемых по формулам метода прямоугольников |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с «центральной» (–ο–), «левой» (– –) и «правой» (– –) точками |
Оценки погрешности интегрирования на этом сегменте в обоих этих случаях приводят к выражениям
|
|
|
|
2 |
1 xk |
|
|
2 |
|
|
′ |
(xk −1 )h 2 + |
2 x |
′′ |
(ξ)(x − xk −1 ) dx |
||
ψk = fx |
|
fxx |
||||||
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ = − f |
′(x )h2 2 + |
1 xk |
f ′′ (ξ)(x − x )2 dx, |
|||||
|
k |
|
x k1 |
|
2 x |
xx |
k −1 |
|
|
|
|
|
|
k−1
показывающим, что при ограниченности второй производной заданной функции f (x ) на рассматриваемом сегменте [xk −1 , xk ] погреш-
ности обеих квадратурных формул имеют второй порядок относительно шага интегрирования h, или Ψk = O(h2 ) . Для всего отрезка [a,b] погрешность интегрирования имеет первый порядок относительно шага интегрирования h:
166
Ψ |
|
≤ M |
h(b − a) 2, |
M |
|
= max |
|
f ′(x) |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
x a,b |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
На рис. 11.16 показана сходимость процессов приближенного вычисления определенного интеграла с помощью формул метода прямоугольников с «центральной», «левой» и «правой» точками.
11.4.2. Формула трапеций
На сегменте [xk −1 , xk ] функция f(x) описывается линейной зависимостью (рис. 11.17)
f (x) ≈ (xk − x) f (xk −1 )h + (x − xk −1 ) f (xk )h.
Это означает, что в разложении (9.2) удерживаются две функции
ϕ0 (x) = (xk − x)h и ϕ1 (x) = (x − xk −1 )h .
Соответственно, весовые коэффициенты принимают значения
x |
x |
|
C0k = k |
ϕ0 (x)dx = h 2 и C1k = k |
ϕ1 (x)dx = h 2 . |
xk −1 |
xk−1 |
|
x
xk–1 xk
Рис. 11.17. Схема численного интегрирования методом трапеций
Отсюда получается квадратурная формула метода трапеций:
xk |
f (x)dx ≈ f (x |
)h 2 + f (x |
)h 2 = f (x |
) + f (x |
) h 2. |
|
|
k −1 |
k |
|
k −1 |
k |
|
xk−1
167
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
512 |
1024 |
10
Рис. 11.18. Зависимость от числа n сегментов значений интеграла e− xdx ,
0
вычисленных точно ( – – ) и по формуле метода трапеций (–ο– )
Оценка погрешности этой квадратурной формулы на сегменте [xk −1 , xk ] имеет вид
ψk = M 2,k h3 12 , |
M2,k = max |
|
fxx′′ (x) |
|
, |
|
|
||||
|
x [xk−1 ,xk ] |
|
|
|
|
то есть при ограниченности второй производной заданной функции f (x ) на рассматриваемом сегменте [xk −1 , xk ] погрешность квадра-
турной формулы метода трапеций имеет третий порядок относительно шага интегрирования h, или Ψk = O(h2 ) . Для всего отрезка [a,b] погрешность интегрирования имеет второй порядок относительно шага интегрирования h: Ψ ≤ M 2 h2 (b − a )12 , или Ψ = O(h2 ) .
На рис. 11.18 показана сходимость к точному значению приближенного значения определенного интеграла, полученного с помощью квадратурной формулы метода трапеций.
11.4.3. Формула парабол (Симпсона68)
На сегменте [xk −1 , xk ] функция f(x) аппроксимируется полиномом второй степени (рис. 11.19). Для трех узлов xk −1 , xk −1 2 , xk полином Лагранжа второй степени имеет вид
68 Симпсон Томас (20.08.1710–14.05.1761) – английский математик, профессор Вулиджской военной академии, член Лондонского королевского общества.
168
|
L |
(x) = |
(x − xk −1 2 ) |
(x − xk ) f (xk −1 ) |
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
(xk −1 − xk −1 2 )(xk −1 − xk ) |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
+ |
(x − xk −1 )(x − xk ) f (xk −1 2 ) |
+ |
|
(x − xk −1 )(x − xk −1 2 ) f (xk ) |
= |
|||
|
|
|
||||||
(xk −1 2 − xk −1 )(xk −1 2 − xk ) |
(xk − xk −1 )(xk − xk −1 2 ) |
=h22 (x − xk −1 2 )(x − xk ) f (xk −1 ) − 2(x − xk −1 )×
×(x − xk ) f (xk −12 )+ (x − xk −1 )(x − xk −12 ) f (xk ) .
Это означает, что вразложении (9.2) используются трифункции:
ϕ0 (x) = 2 (x − xk −1/ 2 )(x − xk )h2 ; ϕ1 (x) = −4 (x − xk −1 )(x − xk )h2 ;
ϕ2 (x ) = 2 (x − xk −1 )(x − xk −1/ 2 )h2 .
x
xk–1 xk–1/2 xk
Рис. 11.19. Схема численного интегрирования методом Симпсона
Весовые коэффициенты |
Ck |
, Ck , Ck |
принимают значения: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
k |
|
xk |
(x)dx = |
2 |
xk |
(x − xk −1/2 )(x − xk )dx = |
h |
|
|||
C0 |
= |
ϕ0 |
|
|
|
|
; |
||||
h |
2 |
6 |
|||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
k−1 |
|
|
|
k−1 |
|
|
|
|
|
169
k |
|
xk |
|
(x)dx = − |
4 |
|
xk |
(x − xk −1 )(x − xk )dx = |
2h |
|
||||
C1 |
= |
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
h |
2 |
|
|
3 |
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
k−1 |
|
|
|
|
k |
|
xk |
|
|
2 |
|
xk |
|
|
h |
|
|||
C2 |
= |
|
ϕ2 |
(x)dx = |
|
|
|
|
(x − xk −1 )(x − xk −1/2 )dx |
= |
|
. |
||
h |
2 |
|
|
6 |
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
k−1 |
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
Подстановка найденных коэффициентов позволяет получить квадратурную формулу метода парабол (Симпсона):
xk |
f (x)dx ≈ h f (x |
) + 4 f (x |
) + f (x |
) |
6. |
|
|
|
k −1 |
k −1/2 |
k |
|
|
xk−1
Оценка погрешности квадратурной формулы метода парабол на сегменте [xk −1 , xk ] имеет вид
ψk = M 4,k h5 720 , |
M4,k = max |
|
fxxxxiv (x) |
|
, |
|
|
||||
|
x [xk−1 ,xk ] |
|
|
|
|
то есть при ограниченности четвертой производной заданной функции f (x ) на рассматриваемом сегменте [xk −1 , xk ] погрешность
квадратурной формулы метода трапеций имеет пятый порядок относительно шага интегрирования h, или Ψk = O(h5 ) .
1,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
512 |
1024 |
10
Рис. 11.20. Зависимость от числа n сегментов значений интеграла e− xdx ,
0
вычисленныхточно( – – ) ипоквадратурнойформулеметодапарабол( –ο– )
170