книги / Нечёткое, нейронное и гибридное управление

Определяем -срезы согласно алгоритму Мамдани:

1 min A11 (x1 ), A21 (x2 ) ;2 min A12 (x1 ), A22 (x2 ) ;3 min A13 (x1 ), A23 (x2 ) ;4 min A14 (x1 ), A24 (x2 ) ;

5 min A15 (x1 ), A25 (x2 ) ;

6 min A12 (x1 ), A12 (x2 ) ;

7 min A13 (x1 ), A21 (x2 ) ;

8 min A14 (x1 ), A21 (x2 ) ;

9 min A15 (x1 ), A21 (x2 ) ;

10 min A11 (x1 ), A22 (x2 ) ;11 min A13 (x1 ), A22 (x2 ) ;12 min A14 (x1 ), A22 (x2 ) ;

13 min A15 (x1 ), A22 (x2 ) ;

14 min A11 (x1 ), A23 (x2 ) ;

15 min A12 (x1 ), A23 (x2 ) ;

91

16 min A14 (x1 ), A23 (x2 ) ;

17 min A15 (x1 ), A23 (x2 ) ;

18 min A11 (x1 ), A24 (x2 ) ;

19 min A12 (x1 ), A24 (x2 ) ;

20 min A13 (x1 ), A24 (x2 ) ;

21 min A15 (x1 ), A24 (x2 ) ;

22 min A11 (x1 ), A25 (x2 ) ;

23 min A12 (x1 ), A25 (x2 ) ;

24 min A13 (x1 ), A25 (x2 ) ;

25 min A14 (x1 ), A25 (x2 ) .

Нечеткая импликация по Ларсену выполнена согласно

BK ( y) BK ( y) min A1K (x1 ), A2K (x2 ) .

Определяем ФП после нечеткой импликации по Ларсену:

B1 ( y) B5 min A11 (x1 ), A12 (x2 ) ;

B2 ( y) B4 min A12 (x1 ), A22 (x2 ) ;

B3 ( y) B3 min A13 (x1 ), A23 (x2 ) ;

92

B4 ( y) B2 min A14 (x1 ), A24 (x2 ) ;

B5 ( y) B4 min A15 (x1 ), A25 (x2 ) ;

B6 ( y) B5 min A12 (x1 ), A12 (x2 ) ;

	Функции				d
					dt
	принадлежности
			A1	A2	A3	A4	A5
			2	2	2	2	2
		A11	B5	B5	B4	B4	B3
		A12	B5	B4	B4	B3	B2
		A13	B4	B4	B3	B2	B2
		A14	B4	B3	B2	B2	B1
		A15	B3	B2	B2	B1	B1

Рис. 1.51. Матрица решения 5×5

B7 ( y) B4 min A13 (x1 ), A21 (x2 ) ;

B8 ( y) B4 min A14 (x1 ), A12 (x2 ) ;

B11 ( y) B4 min A13 (x1 ), A22 (x2 ) ;

B12 (y) B3 min A14 (x1 ), A22 (x2 ) ;

B13 (y) B2 min A15 (x1 ), A22 (x2 ) ;

B14 ( y) B4 min A11 (x1 ), A23 (x2 ) ;

B15 (y) B4 min A12 (x1 ), A23 (x2 ) ;

93

B16 ( y) B2 min A14 (x1 ), A23 (x2 ) ;

B17 ( y) B2 min A15 (x1 ), A23 (x2 ) ;

B18 ( y) B4 min A11 (x1 ), A24 (x2 ) ;

B19 ( y) B3 min A12 (x1 ), A24 (x2 ) ;

B20 ( y) B3 min A13 (x1 ), A24 (x2 ) ;

B21 ( y) B1 min A15 (x1 ), A24 (x2 ) ;

B22 ( y) B3 min A11 (x1 ), A25 (x2 ) ;

B23 ( y) B2 min A12 (x1 ), A25 (x2 ) ;

B24 ( y) B1 min A13 (x1 ), A25 (x2 ) ;

B25 ( y) B1 min A14 (x1 ), A25 (x2 ) .

Определяется выход нечеткого регулятора частоты методом центроида:

		n
y		i B1	( y)
		i 1		.
		n
0
		i

i1

1.12.Иерархические системы нечеткого логического вывода

Для моделирования многомерных зависимостей «входывыход» целесообразно использовать иерархические системы нечеткого вывода [8,18]. В таких системах выход одной базы знаний по-

94

дается на вход другой, более высокого уровня иерархии. В таких системах отсутствуют обратные связи. Применение иерархических нечетких баз знаний позволяет преодолеть «проклятие размерности». При большом количестве входов эксперту трудно описать нечеткими правилами причинно-следственные связи. Это обусловлено тем, что в оперативной памяти человек может одновременно хранить не более 7 ± 2 понятий-признаков. При большом количестве информации ее необходимо иерархически классифицировать, так как человек перерабатывает информацию по иерархическому принципу.

Второе преимущество иерархических баз знаний – компактность. На рис. 1.52 показана иерархическая система нечеткого вывода.

x1

f1

x2		у
		1
x3	у2	у
	f2	f4
x4	у3
x5

f3

x6

Рис. 1.52. Иерархическая система нечеткого вывода

Небольшим количеством нечетких правил в иерархических базах знаний можно адекватно описать многомерные зависимости «вход-выход». Пусть для пяти лингвистических переменных используется по шесть терм. Тогда максимальное количество правил для задания зависимости y f (x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) с помощью од-

ной базы знаний будет 56 15 625. Как показано, для иерархической базы знаний количество правил будет 52 52 52 53 200.

95

1.13. Классический модуль нечеткого управления

Модуль нечеткого управления состоит из следующих компонентов: блока фаззификации, базы правил, блока выработки решения и блока дефаззификации.

А) Блок фаззификации.

Система управления с нечеткой логикой оперирует нечеткими множествами. В задачах управления чаще всего применяется операция фаззификации типа синглетон. Блок фаззификации содержит от одного до нескольких терм-множеств. Поэтому конкретному

значению X (x1, x2 ,... xn )T X входного сигнала блока нечеткого

управления после операции фаззификация будет сопоставлено нечеткое множество A X X1 X2 ... Xn . Переменным сигналом

блока фаззификации является унимодальная ФП (синглетон), которая синхронно с входным сигналом перемещается в нормированном интервале изменения входной величины, пересекая терм-множества. Фаззификация на синглетонной базе (операция перевода четкой информации в нечеткую информацию) в случае нечеткого управления формирует нечеткое множество A X X1 X2 ... Xn для дальнейшей

обработки операцией нечеткая импликация в блоке выработки решения. Число терм отдельного терм-множества задается от 3 до 11 в зависимости от скорости изменения сигнала. Увеличение числа терм возможно включением квантификаторов: НЕ, ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ-МЕНЕЕ. Характер терм задается синтаксическими правилами, а смысл – семантическими правилами.

Б) База правил.

База правил, иногда называемая лингвистической моделью, представляет собой множество нечетких правил R(k), k 1, ..., N,

вида (для случая нескольких выходов)

RK : IF (x1 это A1K AND,..., AND xn это AnK ),

THEN ( y1 это B1K AND y2 это B2K AND,..., AND ym это BmK ),

96

где AK X	i	R, i 1, ..., n; x , x ... x					– входные переменные лин-
i			1		2	n
гвистической модели;			BK Y	j	R,		j 1, ..., N; y , ...y		m	– выходные
			j				1
переменные лингвистической модели.
Примем, что выходные переменные y1,..., ym								взаимно незави-

симы, а также входные и выходные переменные могут принимать как лингвистические переменные «малый», «средний» и «большой», так и числовые значения.

При проектировании модулей нечеткого управления следует оценивать достаточность количества нечетких правил, их непротиворечивость и наличие корреляции между отдельными правилами.

В) Блок выработки решения.

Допустим, что на вход блока выработки решения подано нечеткое множество A X X1 X2 ... Xn . На выходе этого блока

также появится соответствующее одно нечеткое множество B . Случай, когда выходов несколько, из рассмотрения опущен.

Пример 1.23. Рассмотрим модуль нечеткого управления с базой правил:

R1 : IF (x1 это A11 AND x2 это A21 ) THEN ( y это B1 ), R2 : IF (x1 это A12 AND x2 это A22 ) THEN ( y это B2 ).

На его вход подан сигнал X (x1, x2 )T . После выполнения фаззификации типа синглетон на входе блока выработки решения получаем нечеткие множества A1 и A2 с функциями принадлежности

A1 (x1 ) x1 x1

A2 (x2 ) x2 x2

Обозначим выходной сигнал модуля нечеткого управления символом y .

Тогда ФП нечеткого множества					имеет вид
BK (y) supx, x			min( A1 A2	(x1	, x2 ), RK (x1, x2 , y)) .
2

97

В качестве T-нормы применим правило Заде. Кроме того, до-

пустим, что

x , x

2

min

(x ),

(x )

min (x

x ),

(x

x ) .

A1

A2

1

A1

1

A2

2

1

1

2

2

В этом случае

BK (y) supx, x

min( (x1 x1 ), (x2 x2 ), RK

(x1, x2 , y))

2

RK (x1, x2 , y).

Вкачестве выбранного варианта нечеткой импликации высту-

пает

RK (x1, x2 , y) A1K A2K BK (x1, x2 , y).

При использовании операции минимум

		,
A1K A2K BK (x1, x2 , y) min A1 A2	(x1, x22 ), BK ( y)

где

A1K A2K (x1, x2 ) min A1 (x1 ), A2K (x2 ) .

Врезультате

BK (y) min min A1K (x1 ), A2K (x2 ) , BK (y)

min A1K (x1 ), A2K (x2 ), BK ( y) .

И окончательно
	B	( y) max		min	K (x ),		K (x ),		B	K ( y) .
		K 1,2			A1	1	A2	2

Пример 1.24. Рассмотрим модуль нечеткого управления с базой правил:

R1 : IF (x1 это A11 AND x2 это A21 ) THEN ( y это B1 ), R2 : IF (x1 это A12 AND x2 это A22 ) THEN ( y это B2 ).

98

На его вход поданы числовые входные сигналы x1 и x2 . После

фаззификации на входе блока выработки решения появляются не-

четкие множества A1 и A2 с ФП A11 (x1 ) и A21 (x2 ) . В данном примере фаззификация выполняется при отсутствии синглетонов.

Обозначим выходной сигнал модуля нечеткого управления символом y.

Тогда функция принадлежностинечеткого множества имеет вид

BK ( y) sup min( A1 A2			(x1, x2 ), RK (x1, x2 , y)) .
		x,x2

В качестве T-нормы применим правило Заде. Кроме того, допустим, что

(x , x ) min (x ), (x ) .

A1 A2 1 2 A1 1 A1 2

Вэтом случае

BK (y) sup min min( A1 (x1 ), A1 (x2 )) , RK (x1, x2 , y)

x,x2 1 2

RK (x1, x2 , y).

Вкачестве нечеткой импликации

RK (x1, x2 , y) A1K A2K BK (x1, x2 , y).

При использовании операции минимум

A1K A2K BK (x1, x2

Кроме того,

A1K A2K (x1,

В результате

, y) min A1 A2 (x1, x22 ),						BK ( y) .
x ) min		A1	(x ),	K (x	2	) .
2			1	A2

99

BK (y) min min A1K (x1 ), A2K (x2 ) , BK ( y)

min A1K (x1 ), A2K (x2 ), BK ( y) .

Иокончательно

	B	( y) max		min	K (x ),		K (x ),		B	K ( y) .
		K 1,2			A1	1	A2	2

1.14. Деффазификация

Дефаззификация – операция перевода нечеткой информации в четкую информацию [18, 26]. Известны методы дефаззификации; центр тяжести (centroid), центр медианы (bisector), наибольшего из максимумов (lom), наименьшего из максимумов (som) и центр максимумов (mom). На практике чаще применяют метод центроида и центр максимумов. Рассмотрим модифицированный метод центроида с целью сокращения объема вычислений и повышения быстродействия.

Дефаззификация модифицированным методом центроида

Необходимо определить минимальную координату абсцисс, соответствующую максимальной высоте (ординате) нелинейного объединенного усеченного множества после нечеткой импликации и нечеткой композиции.

Известны разные формулы расчета координат ЦТ фигуры по методу центроида. Одна из них [19]

x		x (x)dx	.	(1.1)
цт		(x)dx

Формула (1.1) удобна в случае, когда функции принадлежности дефаззификатора есть синглетоны.

100