книги / Методы самосогласования механики композитов
..pdfИндикаторная функция |
ωf (r) |
f-й фазы включений |
||
в представительной области композита V задана в виде |
||||
|
1, |
r V |
, |
|
ωf |
|
|
( f ) |
(1.7) |
(r) = |
0, |
r V |
||
|
|
, |
||
|
|
( f ) |
|
|
|
|
|
|
где V( f ) – область f-й фазы включений в области V. Относительное
объемное содержание f-й фазы включений в представительной области V композита есть
|
|
|
v f |
≡< ωf (r) >, |
|
|
|
(1.8) |
||||
где оператор осреднения по представительному объему |
|
|||||||||||
|
<... >= |
1 |
∫...dr . |
|
|
|
(1.9) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
V V |
|
|
|
|
|
||
Аналогично оператору осреднения < ... > |
в дальнейшем будем |
|||||||||||
использовать и операторы осреднения |
|
|
|
|
||||||||
<... > f = |
1 |
∫...dr , |
<... >M = |
1 |
∫...dr , |
(1.10) |
||||||
|
|
|
VM |
|||||||||
|
|
V( f ) V |
|
|
|
|
|
|
V |
|
||
|
|
|
( f ) |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
соответственно по |
области |
f-й |
фазы включений V( f ) |
и области |
||||||||
матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VM |
= V |
|
|
F |
|
|
|
||
|
|
|
/ |
U V( f ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f =1 |
|
|
|
||
из представительной области композита V. |
|
|
||||||||||
Для случая r V( f ) |
функция ωf (r) |
|
связана с нормированной |
|||||||||
индикаторной функцией |
κf |
(ξ) |
в локальной системе координат ξ |
|||||||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωf (r) = κ f (ξ)ω(r)
11
благодаря геометрическому подобию всех включений в представительной области композита V; индикаторная функция составных включений
F
ω(r) ≡ ∑ωf (r) .
f =1
Относительное объемное содержание составных |
волокон |
в композите |
|
F |
|
vo ≡< ω(r) >= ∑v f |
(1.11) |
f =1 |
|
с учетом равенства (1.8).
Представительная реализация cтатистически однородного эргодического тензорного поля упругих свойств C(r) композита в об-
ласти V задана разложением
F +1 |
|
C(r) = ∑ ωf (r)C( f ) |
(1.12) |
f =1
через поля индикаторных функций (1.7) и тензоры упругих свойств C( f ) фаз композита. Поля индикаторных функций ωf (r)
комплексно учитывают случайное взаимное расположение, форму и размеры включений в объеме композита и расположение фаз, например, внутри составных включений.
При рассмотрении композита со случайными свойствами фаз включений считаем, что упругие свойства некоторого целого числа F1 фаз варьируются пропорционально единому случайному коэффициенту χ, а упругие свойства остальных F − F1 фаз включений и матрицы детерминированы, где 0 ≤ F1 ≤ F . Представительную реализацию поля упругих свойств C(r) в области V возможно представить разложением
F N
C(r) = ∑∑ω(( kf )) (r)C( f ,k ) + (1 −ω(r))CM
f =1 k =1
12
или
F |
N |
+(1 −ω(r))CM |
|
C(r) = ∑Co[ f ] ∑ω(( kf )) (r)χ( f ,k ) |
(1.13) |
||
f =1 |
k =1 |
|
|
через индикаторную функцию включений
F N
ω(r) = ∑∑ω(( kf )) (r)
f =1 k =1
и индикаторные функции f-й фазы k-го включения
ω((kf )) (r) ≡ ωf (r)ω(k ) (r) ,
где использованы индикаторные функции ωf (r) (1.7) для области f-й
фазы включений V( f ) и
1, |
r V(k ) , |
(1.14) |
||||
ω(k ) (r) = |
r V(k ) , |
|||||
0, |
|
|||||
для области k-го включения V( k ) в области композита V; CM |
– тензор |
|||||
упругих свойств матрицы; Co[ f ] |
– номинальные значения |
тензора |
||||
упругих свойств f-й фазы; коэффициенты |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f =1, F1 , |
|
|||||
χ(k ) , |
|
|||||
χ( f ,k ) = |
|
|
|
|
|
(1.15) |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
1, |
f = F +1, F , |
|
задают пропорциональное отклонение действительных значений компонент тензора упругих свойств
C( f ,k ) = χ( f ,k ) Co[ f ] |
(1.16) |
для f-й фазы k-го включения от соответствующих номинальных значений компонент тензора Co[ f ] для f-й фазы.
13
1.2. ПРИВЕДЕННЫЕ ПОЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СТРУКТУР
Особенности взаимного расположения включений в композите можно учесть, например, через приведенные поля вероятностей различных порядков g = 0, 1, 2, …: для f-й фазы включений
ω(fg ) (ξ) ≡ 1 |
N |
∑αβ(k )χ(gk )ωf (r(k ) +α(k )ξ), |
N k =1
ωf (ξ) ≡ ω(0)f (ξ),
для составных включений в целом
F
ω( g ) (ξ) ≡ ∑ω(fg ) (ξ),
f =1
ω(ξ) ≡ ω(0) (ξ),
и смешанные моменты
|
|
|
|
1 |
N |
|
ζ( g ) |
≡ ω(f g ) (ξ) |
|
= |
∑χ(gk ) |
αβ( k ) . |
|
ξ υ( f ) |
|
|||||
|
|
|
N k =1 |
|
||
|
|
|
|
(1.17)
(1.18)
(1.19)
Отметим, что из формул (1.5) и (1.19) при g = 0 следует равен-
ство вида |
|
||||
ζ(0) =1 . |
(1.20) |
||||
Для точек ξ , у которых расстояние |
|
||||
ξ ≡ |
|
ξ |
|
|
(1.21) |
|
|
до центра нормированного включения υ превышает радиус корреляции случайной структуры композита, например при ξ → ∞, выполняется равенство
ω(f g ) = ζ( g ) v f . |
(1.22) |
Рассмотрим основные модели исследуемых случайных структур.
14
Предельно полидисперсные структуры. Наиболее простыми для исследования являются предельно полидисперсные модели случайных структур композитов, например, с составными включениями, когда каждое включение состоит из некоторого числа F изотропных упругих фаз (рис. 1.1). Например, полидисперсные модели на рис. 1.1, а – в представляют структуру композита совокупностью сферическихчастицдвухтипов. Частицы1-готипасостоятизсоставного F-слойного сферического включения, окруженного сферическим слоем с упругими свойствами матрицы композита; r(i−1) и r(i ) – ра-
диусы концентрических сфер, ограничивающих i-ю фазу составного
включения, r(0) ≡ 0 . Радиусы r( F ) |
и r( F +1) связаны между собой зави- |
|
симостью |
|
|
r( F +1) = r( F ) (1+ς) |
(1.23) |
|
и соответствуют сферическому |
слою матрицы, |
ς 100 % – мини- |
мальная гарантированная прослойка матрицы между составными включениями композита в процентах от величины внешнего радиуса
Рис. 1.1. Фрагменты полидисперсных сред c составными сферами (а – в) и однонаправленными волокнами (г – е)
15
включения r( F ) . Величина прослойки ς [0; |
ςmax ], где максимально |
|
допустимое значение прослойки |
|
|
ςmax = |
1 −1 |
(1.24) |
3 |
v |
|
|
o |
|
при заданной величине относительного объемного содержания составных включений в композите vo . Частицы 2-го типа однородны
и с упругими свойствами матрицы композита.
Распределение частиц по размерам достаточно широко, включая и бесконечно малые, что обусловливает возможность заполнения частицами всей области композита, не допуская корреляции размеров и типов для различных частиц такой полидисперсной структуры. Для частиц 1-го типа отношения соответствующих радиусов концентрических сфер есть величины постоянные, например,
|
|
|
r |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
q = |
|
(i−1) |
|
= const |
(1.25) |
||||||
|
r |
|||||||||||
|
|
(i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(i ) |
|
|
|
|
|
||||
для значений i = |
|
|
|
|
|
|
||||||
2, F + 1 ; выполняется дополнительное равенство |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|||
|
|
q |
( F +1) |
= |
|
|
|
|
. |
(1.26) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1+ ς |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Относительный объем композита, занимаемый |
частицами |
|||||||||||
1-го типа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
q( F +2) |
= |
|
vo |
|
|
||||
|
|
|
q( F +1) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или после подстановки (1.26) получим зависимость |
|
|||||||||||
|
|
q( F +2) = vo (1+ ς)3 . |
(1.27) |
16
PNRPU
Таким образом, в предельных случаях, когда ς = 0 (см. рис. 1.1, в) и ς = ςmax (см. рис. 1.1, a), имеем равенства: q( F +2) = vo и q( F +2) =1 соответственно; относительный объем для частиц 2-го типаравен 1−q( F +2) .
Для однонаправленного волокнистого композита можем записать аналогичные (1.25) соотношения:
= r(i−1) q(i )
r(i )
2
(1.28)
для значений i = |
2, F |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||
|
q |
( F +1) |
= |
|
|
|
|
|
, |
q |
( F +2) |
= v (1+ς) |
, |
(1.29) |
||
|
|
+ς |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
o |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
параметр ς [0; ςmax ], где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ς |
max |
= |
1 |
−1, |
|
(1.30) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vo |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(i−1) и r(i ) – радиусы концентрических окружностей, ограничивающих i-ю фазу составного волокна в плоскости изотропии r1Or2 , v° – отно-
сительное объемное содержание составных волокон в композите. Приведенные поля вероятностей (1.17) при g = 0, например,
для полидисперсных моделей с детерминированными упругими свойствами двухфазных (F = 2) включений
|
|
1, |
0 ≤ξ≤ r(1) , |
|
|
0, |
0 ≤ξ≤ r(1) , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r(1) <ξ≤ r(2) , |
|
|||||||
ω (ξ) = |
|
0, r |
<ξ≤ r |
(1+ς), |
ω |
(ξ) = |
1, |
|
(1.31) |
|||||
1 |
|
(1) |
|
(2) |
|
2 |
|
|
0, r |
<ξ≤ r |
(1+ς), |
|
||
|
v , |
ξ > r (1+ς), |
|
|
|
|
(2) |
|
(2) |
|
|
|||
|
1 |
(2) |
|
|
|
|
v |
, |
ξ > r |
(1 |
+ς), |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(2) |
|
|
|
представлены на рис. 1.2, относительные объемные содержания 1-й и 2-й фаз
17
v |
= qβv |
D |
, |
v |
2 |
= v |
D |
−v |
|
(1.32) |
||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
составного включения, |
параметр |
q = |
r(1) |
|
, показатель |
β= 3 – для |
||||||
r |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
сферических включений и β= 2 – для волокон.
Рис. 1.2. Кусочно-постоянные приведенные поля вероятностей ϖ1 (а) и ϖ2 (б) полидисперсных структур с прослойкой ς (), предельныеслучаи: – ς = 0 и – ς = ςmax
18
Будем рассматривать также полидисперсные структуры с однородными (F = 1), но случайными упругими свойствами включений, когда коэффициенты отклонений упругих свойств χ и подобия
размеров α включений – непрерывные случайные величины с функциями плотностей вероятности совместного распределения f[ χ,α] (χ, α) и каждой из величин в отдельности:
∞ |
∞ |
|
f[ χ] (χ) = ∫ f[ χ,α] (χ, α)dα , |
f[α] (α) = ∫ f[ χ,α] (χ, α)dχ . |
(1.33) |
−∞ |
−∞ |
|
Размеpы фоpмального включения υ, относительно котоpых заданы коэффициенты подобия α всех включений композита, опpеделены из условия (1.5) в виде
+∞ |
|
∫ αβ f[α] (α)dα =1. |
(1.34) |
−∞
Для полидиспеpсных стpуктуp функция плотности веpоятностей f[α] для pаспpеделения коэффициентов подобия α неизвестна и не может быть выбpана пpоизвольно. Чтобы избежать необходимости вычисления функции f[α] , будем считать, что χ и α – статистически независимые величины и выполняется pавенство
f[ χ,α] (χ, α) = f[ χ] (χ) f[α] (α) , |
(1.35) |
|
коэффициенты ζ( g ) (1.19) могут быть pассчитаны по фоpмулам |
|
|
|
+∞+∞ |
|
ζ( g ) ≡ ∫ ∫ χg αβ f[ χ,α] (χ, α)dχdα = |
|
|
|
−∞−∞ |
|
|
|
(1.36) |
+∞ |
+∞ |
|
= ∫ |
χg f[ χ] (χ)dχ ∫ αβ f[α] (α)dα |
|
−∞ |
−∞ |
|
или с учетом (1.34)
19
+∞ |
|
ζ( g ) = ∫ χg f[ χ] (χ)dχ |
(1.37) |
−∞
без конкретизации вида функции f[α] . Напpимеp, если пpедположить, что случайная величина χ pаспpеделена по pавномеpному закону
|
|
1 |
|
χ [a, |
|
f[χ] |
|
|
, |
b], |
|
|
|||||
(χ) = b −a |
|
(1.38) |
|||
|
|
0, |
|
χ [a, |
b], |
|
|
|
где параметры a > 0 и b > a , тогда начальный момент g-го поpядка
|
|
bg +1 −ag +1 |
g ≠ −1, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(b −a)(g |
+1) |
|||||||
ζ( g ) |
|
|
(1.39) |
||||||
= |
1 |
|
|
b |
|||||
|
|
|
|
g = −1. |
|||||
|
|
|
|
ln |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
b −a |
|
a |
|
|||
Пусть математическое ожидание M[χ] случайной величины χ |
|||||||||
задано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M[χ] = 1 ; |
(1.40) |
следовательно, математическое ожидание M[CF ] тензора упругих
свойств включений CF (1.15) будет равно заданному тензору Co[ F ] , так как выполняются равенства
M[CF ] = M[χ]Co[ F ] = Co[ F ] , |
(1.41) |
как следствие, будем иметь |
|
ζ(1) = 1, (a + b) 2 =1. |
(1.42) |
Монофракционные структуры с конечной вариацией размеров включений. На рис. 1.3 представлены фрагменты реализаций для двух квазипериодических моделей сферопластика, основанных на гексагональной плотно упакованной укладке сфеpических ячеек 3.
20