книги / Механика деформаций гибких тел
..pdfстаточными для выполнения глобальных равенств (1.1.47) —
(1.1.50).
Для формулировнп смешанных вариацпопных уравнений оказывается полезным еще одно представленпе удельной мощно сти деформации и вместе с тем равенства (1.1.47). Опираясь па
выражение (1.1.42) и определение оператора бо, |
можно |
устано |
|||
вить, что P = |
б(Z*■-U A + |
•V w ) - |
Введенная |
здесь |
скаляр |
ная величина |
Р'*' ^ Uw ■ |
+ Vw •боУ'' |
согласно |
традиции дол- |
жиа быть названа дополнительной удельной мощностью, носкольIvy дополняет лющность дефорлсации до полной производной по времени.
Скалярное представление сформулированных динамических и энергетических уравнений может быть осуществлено посредством разложения силовых векторов по начальному и повернуто.му
базисам: |
|
|
Z - 2 " А „ = 2*')Ам,. |
V = У "А м = |
У "'А м), |
Zv = I f A j , = Z "'Али. |
I v = ^ f A M = |
ZflAM], (1.1.51) |
Z"' = г™ 'А „ = г™1Ал,], |
Y " = У "” Ам = y ^ ilA ,,,. |
Здесь |
J — компоненты тензора напряжений, |
— |
.мо.ментоп. G по.мощыо формул (1.1.30) из равенств |
(1.1.51) уста |
навливаются связи между компонентами в разных базисах, в ча стности
|
УЛАГ _ |
|
(Л ьк+ (DI^K) . |
|
|||
M |
уравнения |
(1.1.38) и |
граничные |
условия |
|||
(1.1.40) и |
(1.1.44) |
в начальном базисе |
имеют скалярную фор |
||||
мулировку |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(А%г. + |
Л^.^Wr^Jc) |
+ У ^ = 0; |
(1.1.53) : |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1.1.54) |
|
= й м . |
Ум = YM |
V X е |
(1.1.55) |
|||
в повернутом — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0; |
(1.1.56) |
|
|
|
|
= |
Y"^ |
V X e |
(1.1.57) |
|
^М1 = |
?7л/]. |
VM = VM |
У Х ^ ^ ~ . |
(1.1.58) |
21.
Прпсутствующпе здесь коварпаптпые производные вычисляются
по согласованным с (1.1.4) и (1.1.32) |
правилам |
|
|
= ^J)-^ ( /Z " " ) ,я + |
= |
Z^i' + C^tZ-''" + C^SftZ^ |
|
= SwZ"*' + |
|
|
|
справедливым и для компонент с квадратными скобками. |
|
||
Выражение (1.1.42) с помощью разложений (1.1.23), |
(1.1.29), |
||
(1.1.36) H (1.1.51) преобразуется |
в |
мультипликативную |
свертку |
P = |
|
|
1 -1.59) |
которая показывает, что компоненты силовых и деформационных тензоров в повернутом базисе являются энергетически согласо ванными (сопряяшииыми), тогда как между их компонентами в начальном базисе такого соответствия пет. Эта особенность обиаружпвает преимущество разложения но повериуто.му ба.чису.
Однако скалярная форма |
записи |
энергетического |
уравнения |
|
(1.1.47) |
папболее проста при смешанном разло?кешш, |
когда век |
||
тор би |
задай в начальном |
базисе, |
вектор боУ — в новернутолг: |
|
|
+ f (^v |
+ |
= |
(1.1.00) |
Здесь под P понимается величина (1.1.59). Такая форма записи находится в полном согласии с киие.матическнлш зависимостя.ми
(1.1.33) II (1.1.34), которые выражают KOiMiioiienTbi |
деформаци |
||||||
онных тензоров через UN п Kv. |
|
|
|
|
|
||
C помощью скалярных представлении |
(1 .1 .5 3 )-(1 .1 .5 |
8 ) |
ди |
||||
намических уравпеыпй (1.1.38) |
и граничных условий (1.1.45), |
||||||
(1.1.46) |
пе представляет труда |
получить |
скалярные |
записи |
гло |
||
бальных |
равенств |
(1.1.48) — (1.1.50). Для |
первого из |
них |
естест |
||
венно смешанное |
разложение, |
для второго — разложение |
в |
на |
|||
чальном базпее, для третьего — в повернутом базисе. |
|
|
|
1.4.Формулировка термодинамических
иопределянзщих уравнений
Сформулированные в предыдущих разделах уравнения имеют чисто механическую природу. Система этих уравпепп!! не замкнута, так как число неизвестных функций превышает число уравнении. В классической механике деформируемого контину ума соответствующая система замьшается эмпирическими урав нениями, связывающилш компоненты тензора напряжений с ком понентами тензора деформаций и температурой тела. Такие урав нения могут быть как конечными, так и дифферепциальиы.\ш по времени. Они отражают реактивные свойства того или иного материала относительно силовых и термических воздействий и являются внутренней характеристикой его деформатпвной «спо-
собпостп». в этом смысле пх принято называть «определяющи ми» уравпешшмн.
Получеппе определяющих уравпеппп чисто эмпирическим пуТС.М осложняется неизбежным разбросом экспернмептальных дан ных, KOTopbiii порождает неустранимый произвол в эмпирических зависимостях. Выход состоит в привлечении физически согласоBaiIIioii теории оиределяющпх уравнении, которая устанавливает те ненреложпыс ограничения, которым они должны удовлетво рять, чтобы с.тужить математической моделью наблюдаемых ре активных CBoiicTB материалов. Тем более это необходимо для моМС1ШНЛХ сред, деформация которых характеризуется вдвое боль- Ш11.М числом ь-нпсматичсских п динамических параметров, чед1 в
классической .модели.
<1>и;шчос1;и согласованная теория определяющих уравнений
должна опираться на термодинамические законы физики. Реаль- 111.1П процесс дефор.мации — это физический процесс, который
протекает .в оп])едолсиио.м тепловом режи.ме, при определенных гратпацпоппых, а.чоктромагпитпых, радпациоппых п прочих возлепстипях. On сопровождается нрптоко.м н производством эперпш. ............ он от .Me-XanHMOCKOii: тепловой, электромагнитной Jr ир. Очень |11П]юг: и важен л прикладном отпошеипп класс тер-
лгомехаппмескпх процессов деформировашш, когда кроме мехаииMCCKoii пеооходп.мо учитывать также тепловую энергию. РТменно :)тит !.масс задач рассматривается здесь при пзучеппп физических аспоктоп теории определяющих уравнений момептпого контину- у.ма. J!паче говоря, изучается тер-момехаипческий дюментиый коптппуу.м.
Для дефор.мируе.мого тердюмеханичсского коптпнуума посту лируется существовапис внутренней энергии, абсолютной темпе ратуры и зитронпи как одпозпачпглх функцш! его мгповепного состояния. Абсолютная температура T является скалярным по
лем области, так что 2’ = T (X) > 0 . Впутренпяя энергия и энтро пия вводится Kaix аддитивные скалярные функции области и определяются через свои объемные плотности Z(X ) п 5 (X ), рас считанные на единицу пачалыюго объема. Для любого начально
го объема |
континуума внутренняя энергия п энтропия в мгио- |
|
всшюм состоянии выражаются интегралами J Zd-S^^ |
[ S ds^ . |
|
|
дЛ* |
д!у/ |
Подобно внешним силовым вoздeiicтвия.м подвод тепла к телу осуществляется за счет объемного поступления п за счет кон тактного потока (теплопроводности) через поверхность. Если
^ ( X ) - скорость поступленпя тепла в единицу начального объе ма, Q(X)-BeKTOp скорости теплового потока через единицу на чальной площади поверхпостп, то скорость подвода тепла к произвольно.му обт^сму континуума в текущий MOiieuT времени ванишется су.ммой
J Qds¢ -ь I ( - E v )
(теплу, поступающему в объем, придается положительное зпачепне, поскольку Ev — вектор внешней нормали к поверхности
Первый постулат термодипампкп может быть сформулирован как уравнение притока тепла [40, 54, 58]
б / J Z d J ^ ] = |
\ ( Р + Q) d s ^ - |
f EvQd^V, |
(1.1.61) |
которое утверждает, что |
для любой части |
деформпруемого тела |
в любой молтент времени сумма мощности деформации и скоро сти подвода тепла является полной производной по времени от
внутренней энергии. |
Уравнение |
(1.1.40) |
баланса механической |
|
энергии составляет |
необходимое |
условие |
выиолпспия |
(1.1.61). |
Второй постулат термодинамики выражается неравсмством |
||||
производства энтропии [40, 54, 58] |
|
|
|
|
S d s ^ ]- ^ Г ф г - 'й л г - \ |
E v Q r - V ^ v |
(1.1.62) |
/AiPv
Термодинамические процессы, для которых этот постулат при нимает форму равепства, называются обратимыми, остальные процессы — необратимыми.
Для дифференцируемых полей T (X ) и Q (X) поверхностные интегралы в (1.1.61) и (1.1.62) могут быть прообразованы в объ емные, после чего постулаты термодипампкп обретают ф)ормулпровки
J |
J ( P ^ - ^ - D iv Q ) d J ¢ , |
(1.1.63)
J (Тб5 — ф -^-DivQ -Q .H )dл¢>0.
При записи второго соотношения использовано условие Г > 0 , равенство
Div (Т -*д ) = T-^ Div Q - T-^Q •Grad T
и введен вектор
H = T-* Grad T в Grad In Т,
коллипеарный температурному градиенту. Символами Div и Grad обозначены операторы вьпшслепия дивергенции и градиен та в начальном базисе.
Из (1.1.63) следуют локальные формулировки |
термодинами |
ческих постулатов: |
|
б^ = P + ^ - D i v Q, |
(1.1.64) |
Т б 5 - ( ? + Div Q - Q - H ^ O . |
(1.1.65) |
C помощью (1.1.64) условию (1.1.65) можно придать форму ло-
24
кальпого неравеиства для скорости удельной внутренней энергпп:
б Z ^ P + r б 5 - Q . H . |
(1.1.66) |
Если ввестп плотность свободной энергии |
Y ^ Z - S T , то |
(1.1.66) можно заменить эквивалентным неравенством для ев
скорости: |
б У < P - 5 б Г - Q • I I . |
|
(1.1.67) |
|
|
||
Слагаемое |
= —Q - I I HS неравенств (1 |
.1 .6 5 )-(1 .1 .6 7 ) |
имеет |
смысл чистой днсснпацнп тепла, все их остальные слагаемые
R - ^ m - (? + Div Q = P - бУ + Гб5 ^ P - бУ - 36Т (1.1.68)
определяют удельную внутреннюю диссипацию континуума. Бла годаря (1.1.68) приведенные локальные формулировки второго посту.тата термодинамики люгут быть выражены обобщающим неравенством диссипации
Л - + Д+5=0. |
(1.1.69) |
Jfioooii термоме.ханнческпй процесс деформации должен удов летворять условиям (1.1.61) и (1.1,62) или их модифицирован ным эквивалентам, т. е. быть термодинамически допустимым. Ука занные условия накладывают ограничения на структуру определяюищ.х уравпенин термомеханического континуума. Для того чтобы убедиться в ЭТ0.М, полезно представить общую схему за дачи о деформировании моментпого коитипуума.
Его движение в процессе деформации вполне определяется векторными полями перемещений и поворотов: U и V. Динами ческие уравнения, которые привлекаются для их нахождения, вводят неизвестные тензорные поля напряжений и моментов:
и Y ". Наконец, постулаты термодинамики содержат пеизвестное векторное поле Q скоростей теплового потока и неизвестные скалярные поля внутренней энергии, температуры и энтропии: Z, T и S. Неизвестные поля подчиняются динамическим уравнепиям (1.1.38), уравпепию притока тепла (1.1.64) и неравенству диссипации (1.1.69), которое может быть представлено любой из формулировок (1 .1 .6 5 )-(1 .1 .6 7 ). Энергетическое и динамические уравнения всегда можно удовлетворить надлежащим заданием
объемной скорости поступления внешнего тепла ф ) и объемных внешних сил и моментов. В отличие от них диссипативное нера венство (1.1.69) не содержит внешних полей и может быть удов летворено только за счет согласованной с ним структуры опре деляющих уравнений. Такую структуру уместно назвать термо динамически согласованной.
В качестве примера рассмотрим процедуру установления тер модинамически согласованной структуры определяющих уравне ний для так называемого «совершенного» материала, т. е. без
внутренней диссипации: i?" = О [58, с. 432]. |
|
Согласно (1.1.68), это ограничение может |
быть выраж |
эквивалентными равенствами |
|
Ь Z = P + T^S, 6 7 = Р - 5 6 Г . |
(1.1.70) |
в соответствии с (1.1.59) первое из них определяет плотность внутренней энергии как функцию
г = |
т, |
S, р ) |
(1.1.71) |
такую, что |
|
|
|
= dZldU:,,:^, |
= OZIdV, |
(1.1.72) |
|
|
|
|
|
T = OZfdS, OZfOT = |
O, |
OZfOV = |
O. |
Второе определяет плотность свободной эпергпи как функн,ню
У=У(С/л-м], IVun Т, |
S, Р) |
(1.1.73) |
|
= OYfOUKMI, |
= OYfOVKM^ |
(1.1.74) |
|
S = -OYfOT, OYfOS = O, |
OYfOV = O. |
||
|
Функции (1.1.71) и (1.1.73) имеют смыс.т термодинамических потенциалов деформации, а их пезавпснмые поремсиныо — оироделяющпх параметров состояния. При DTOAI снмиоло.м P оио;ш.1- чей массив пезависимых физических параметров, которые сог.часHO (1.1.70) пе дают вклада в полные производные тсрлюдича.мнческих потенциалов. В этот массив не шслючены параагстры T и S, поскольку каждый из пих дает вклад в одну из нронзпо.дных (1.1.70). Руководствуясь правилом равного присутствия опреде ляющих параметров [58, с. 441], следует выделить эти параметры в обоих термодинамических потенциалах.
Неравенство дпееппацин для совершенного материала вырож дается к виду
- Q |
Л + 5=0. |
(1.1.75) |
Для его удов.четвореппя может быть продложеп следзчощий копструктпвпый прием. В соответствии с физическим законом тер мического равновесия должно выполпяться условие Q = O при H = 0. Его можно обеспечить за счет представлепня вектора скорости теплового потока скалярным произведеппем
Q = |
- R - H , |
(1.1.76) |
где R — тензор второго ранга, который может явным |
образом за |
|
висеть от всех определяющих |
параметров, а также |
от вектора |
Н, коллпнеарного градиенту температуры. По условию зависи
мость от H может допускать лишь слабую особенность |
по IHl |
||
приIHI-^O. Благодаря (1.1.76) тепловая |
диссипация |
будет |
|
выражена квадратичной (относительно Н) формой |
|
||
Л + = |
H - R H , |
|
(1.1.77) |
и длявыполпеипянеравенства |
(1.1.75) |
остаетсяпотребовать, |
чтобы опа в любой момент времени была положительно полуопределепной. Это условие накладывает стандартную систему огра ничений па компоненты тензора R, который уместно назвать тензором теплопроводности совершеипого материала.
Таким образом, в векторе скорости теплового потока оказа лось удобным выделить явную зависимость от векторного паралютра И, характеризующего температуриыГг градиент. К системе определяющих параметров его можно отнести посредством вклю- ^!епия в массив P физических аргументов тсрмодппамическпх потенциалов (1.1.71) и (1.1.73).
Как видно из уравпеппп (1.1.72) и (1.1.74), задание одного
из терлюдпнампческих |
потенциалов позволяет найти лишь одну |
||
из фушчций: T или S. Однако опергетическое равенство (1.1.64) |
|||
совмостио C первым из |
(1.1.70) |
дают уравнение |
|
|
Гб5 + DivQ = ^, |
(1.1.78) |
|
кото OC при условии |
(1.1.76) |
связывает эти функции |
между |
COOOii, приобретая смысл уравпеиия теплопроводиости. |
|
JlTaic, если исходить и.з того, что феномеиологическпм путем определен один из тер-модинамических потенциалов совершеипого материала и установлена зависимость вида (1.1.76), удовлетво ряющая условию (1.1.7.5) и характеризующая тепловую диссипа цию, то уравнеиня (1.1.72) и (1.1.78) или (1.1.74) и (1.1.78) Я11.Т1ЯЮТСЯ те.мн уравнениями состояния, которые необходимы для ла.мыкапня системы кинематических и динамических уравиеиий
.Аю.меитного ieoiiTimyyMa.
При гако.м (оютеидна.лыюм» подходе к описанию термомеха- ннчесь-нх ciioiicTB континуума систедш его определяющих уравне ний об1)азуется собственно из уравпешп! (1.1.71) и (1.1.76) пли (1.1.73) и (1.1.76), поскольку все остальные уравпеиия состоя ния 1{онструн])у10тся чисто математически. Однако, как всякий додуктивньи'! подход, OII слитком абстрактеи для того, чтобы б1|1ть реализованным фспомеиологически. Иа практике осуществ ляется обратная феноменологическая процед^фа. Сначала о по мощью гипотез и проверочных экспери.мептов устанавливается массив определяющих параметров и аппроксимируются определя ющие уравпепия материального континуума. Затем опн коррек тируются таким образом, чтобы в рамках точности эмпирических данных были удовлетворены те Агатематическне ограппчеипя, ко торые вытекают из термодинамических законов. Тем саАгым обес печивается возможность восстановлеппя термодинамических по тенциалов чисто математическим путем.
Представим себе эту схему д.ля совершенного материала. Предварптельпо следует обратить вппманпе па следующие три обстоятельства.
Во-первых, самыми общими зависимостями для термодинами ческих потенциалов совершенного момептпого континуума мож но считать зависимости
Z = ZiU^Mb Vmn, S) У =Г(17,..и ,. Ул-АГ]. Г ). (1.1.79)
Действительно, содержащиеся в (1.1.72) и (1.1.74) равенства
OZIdT = O, dZldP Oj'' OYIdS = О, OYIOF = О либо свидетельствуют о независимости потенциалов от соответствующих перемепиых.
либо позволяют исключить последппе из системы определяющих параметров. В том числе это относптся к вектору Н, который естествеппым образом включается в массив Р.
Во-вторых, соответствеппо заданному потенциалу только один из параметров T u S является определяющим. Второй всегда мо жет быть определен своим уравпением из (1.1.72) и (1.1.74).
В-третьих, явная зависимость тензора теплопроводности R от вектора H сводится к усложнеппой зависимости от температуры
пизменяет лишь структуру уравпепия теплопроводности (1.1.78). Пусть феноменологически устаиовлепо, что определяющими
параметрами момептного континуума |
из совершенного материала |
||
являются Uifit], Т^л-лг] |
и Т. Кроме |
них в термодинамических |
|
ограничениях участвуют |
определяемые параметры |
у-'’''’, S |
п R. Из предшествующего анализа ясно, что для замыкания си стемы уравнений, описывающей деформацию момептного конти нуума, необходимо задать зависимости, связывающие параметры второй группы C первой. Эти зависимости и являются определя ющими уравнениями. Для их установления необходима эмиирпческая информация о локальных термомехапичоских CBoiicruaX данного материала. Определяющие уравнения выражают его фе номенологическую модель.
Считаем, что определяющие ураппеппя совершенного моментного континуума известны.- Следовательно, плотность энтропии, тензоры тепловой диссипации, напряжений п моментов аппрок
симируются известными |
функциями определяющих |
параметров: |
|
S = |
SJUi.^], |
FbK], Г ), |
|
К = К(С/1,к], |
уLK], 7’), |
(1.1.80) |
Y L K ] , Т ),
yWAf) ^ укдг] |
, Т ) . |
|
Для этого материала изучается класс задач, в котором ско рость объемного поступления тепла является известной функ цией времени, координат и, возмоя;по, определяющих парамет
ров и их скоростей: (? = ^(тг, X , . .. ) .
Замкнутая система уравнений совершенного момептного кон тинуума образуется из общих кинематических и динамических уравнений, уравнения теплопроводности (1.1.78) и определяю щих уравнений (1.1.80). Термодинамические потенциалы в такой формулировке не используются. Однако их объективное суще ствование пакладывает определенные ограничения на структуру зависимостей (1.1.80).
Прежде всего уместно заметить, что уравнения (1.1.80) долж ны быть инвариантными относительно преобразования координат.
Поэтому функции R, и должны сохранять свои тен
зорный смысл, а функция S — скалярный.
Затем аппроксимация (1.1.80) для тепзора теплопроводности должна обеспечивать выполнение неравенства тепловой дпссипа-
цпп (1.1.75) H форме условия положительной полуопределешю' стп кпадратпяиой формы (1.1.77), т. е.
(1.1.81)
Далее, термодинамический потенциал Y мо/кет быть опреде лен лишь при выполнении условий иптегрируемостп его диффе ренциальной формы (1.1.70). C помощью зависимостей (1.1.74) эти условия формируются следующе1Г системой равенств:
OSIdU^,,У=
д5/дУ г;щ =
(1.1.82):
= aУ^''^/aC7.v.^r],
Ома выраясаот то термодинамические ограничения, которым долж ны иодчишгп.си аппроксимирующие функции определяющих урамиеиий (1.1.80) помимо CBoiicTB ннварнантиостн.
JVpo-MC того, ураииенне теплопроводиости (1.1.78), будучи нредстац.тоио в форме
б5 = 7’- ‘ ((?-]Э 1у д ), |
(1.1.83) |
также треоуот выполпения условии интегрируемости, которые следует трактовать как определенные ограничения па структуру
.чависимостн плоыюсти энтроппп от определяющих параметров. Нот особого смысла выписывать ограничения в общем виде: их нетрудно установить для любой заданной завпсимости. Полезно от.метнть лишь, что благодаря условиям (1.1.82) полпая произ водная от функции антропии может быть представлена диффереицналыю!! формой
65 = дВЮх + [OSIdT) бГ - [дЪ^'-^^ЧОТ) бС/к.,г] - [дУ^^^ЧОТ) бУл-.лг] (1.1.84)
C сохранением условий ее интегрируемости. Завпспмость (1.1.84) формируется C помощью функций (1.1.80).
В результате выполпеппого анализа приходим к заключепню, что термодинамически согласованной системой определяющих уравнений совершеппого моментиого континуума является систе ма вида (1.1.80), удовлетворяющая ограничениям, выражаемым равенствами (1 .1 .8 2 )-(1 .1 .8 4 ) и неравенством (1.1.81). Значе ние указанных ограппчений состоит не только в том, что они служат критерием термодинамической корректности феноменоло гических аппроксимаций, по н л том, что опп существепио сокра щают объем экспериментальных исследований, пеоб.ходпмых для установления определяющих уравнений.
Для завершения термодинамического оппсаппя совершеппого момептпого континуума следует рассмотреть основные идеальные процессы его деформирования.
Изотермический процесс. В нем температура сохраняет по стоянное значение в ка/кдой точке деформируемого континуума,
так что T - T (X) и бГ = 0. В качестве термодинамического по тенциала удобно выбрать плотность свободно!! энергии, которая в этом случае будет функцией только кинематических парамет
ров U ti^ U Ул'дг), ибо согласно |
(1.1.79) |
|
|
2’). |
(1.1.85) |
Система (1.1.74) дает уравнения состояния |
|
|
= д Ь д и „ щ , |
= дУ /дУ „щ , |
(1.1.86) |
которые уподобляют совершенный континуум в изотермическом процессе механически упругому материалу с потенциалом дефор мации (1.1.85). Среди условий существонапия потенциала )шут> реипеп энергии Z имеются уравнения
5Z^'•"V55 = |
0, |
= |
(1.1.87) |
которые вполне согласуются |
с зависпмостядш (1.1.85) |
и (1.1.86). |
|
Так как температура в |
изотермическом процессе |
известия |
(поскольку со.храняет свое иачальпое распродсление), то ураипспие теплопроводности (1.1.78), которое должно выпо.’шят1.си в любой момент времен!!, определяет по температуру, а функцию эптроппп S. Равенства (1.1.87) свидетельствуют о том, что дипампческпе параметры континуума не зависят от энтропии.
Следовательно, |
система механических |
уравнений не |
свя.заиа |
C уравпеппем |
теплопроводпостп (1.1.78). |
Если условия |
задачи |
не требуют определения энтропии, то термомсхаппческая задача сводится к чисто механической. Если же функция эптроппп иу/К- па, то она определяется из (1.1.78) после решения механической
задачи. В частном случае, когда тензор R и функция Q не за висят от механических параметров UKU^ и F WWJ, ф)ункция эитроппп вычисляется независимо от решения механической задачи.
Фепомепологическпе определяющие уравпеппя в изотерагачс- cKoai процессе пагеют модифицированную по сравпению с (1.1.80) структуру
Г = Г (Х ), K = -RiUbKU VbKU Г ).
г ^ » п ^ 2 ‘^т(^иьки VbKU Т ),
и ‘''^^ = У^^Циьки VbKU Т ),
где T (X) — начальное распределение температуры в континууме. Изотерасический процесс служит идеализированной моделью таких реальпых тераюдипаагических процессов, в которых теплообасен, обусловленный теплопроводностью или излучением, осу ществляется C гораздо большей скоростью, чем иза!енепие состоя ния (дефорагация контипууа1а ). К таким процессам относятся.