книги / Механика деформаций гибких тел
..pdfл частпостл, рашювеспые, т. е. совершающиеся с очень малыми (в пределе — бесконечно малыми) скоростями. В реальных про цессах, близких изотермическому, устанавливается температур ное равновесие между деформируемым телом и окружающей сре
дой. Температура аюжст слабо зависеть от времени: T - T (X, т )* Изоэнтропийпый процесс. В этом процессе плотпость энтро пии остается постоянно!! в каждой точке деформируемого конти
нуума, так что S = S (X ) II б5 = 0. В качестве термоднпампческого потенциала удобно выбрать плотпость внутренней энергии, !юторая согласно (1.1.79) является функцией только параметров UXMI “ Kv-Wj:
Z = ZiUxMb |
VXMU S ). |
(1.1.88) |
Систе.ма (1.1.72) даст уравнения состояния |
|
|
= DZIdUxMb |
= Q^IDYxMb |
(1.1.89) |
уиодоблягощне совершенный континуум в изоэнтронийном про цессе моханнчссюг упругому материалу о потенциалом деформа ции (1.1.88). Среди термодинамических ограничений (1.1.82), обеспечивахощнх существование потенциала свободной энергии. имеются уравнения
DZ^^^UDT = О, DY^^^UDT = О, |
(1.1.90) |
которые сог.часуюгся с (1.1.88) и (1.1.89) и обнаруживают от сутствие явной завнснлюсти напряжений от температуры. Урав нение тенлонроводпости (1.1.78) вырождается к виду
D ivQ -C^ = O, |
(1.1.91) |
характерному для адиабатического процесса, когда отсутствует прпток впешпего тепла п локальный теплообмен. Это значит, что у совершенного континуума адиабатический процесс является нзоэптропийным.
Вследствие (1.1.90) фспоменологичесхше определяющие урав нения в изоэнтронийном процессе имеют упрощенную по сравпепшо C (1.1.80) структуру:
S = S (X ), R = R(C^bK), |
У^к], Л . |
^ У..ЛГ1 = |
^ |
Благодаря ей система механических уравнений оказывается не связанной C уравнением тенлопроводностп (1.1.91). В общем слу чае это уравнение и, следовательно, температура завнеят от ме ханических параметров UXM] и F WWJ. в задачах, где тензор R и
функция Q не проявляют такой зависимости, уравпенпе (1.1.91) становится чисто температурным.
Идеализироваппая модель адиабатического процесса связана C изучением теплоизолированных тел п быстро протекающих де формационных процессов, когда теплообмен не успевает про-
H
явиться существеппым образом. Это физический «антипод» изо термического процесса. Для совершенного коптпиуума адиабати ческий процесс является изоэнтроппйпым. В общем случае они различаются, причем изоэитропийиыи процесс играет роль тер модинамического «антипода» изотермического процесса. В реаль ных процессах, близких адиабатическому, энтропия может слабо
зависеть от времени: S = |
|5(Х, т). |
|
|
|||
|
Обратимый процесс. Так называется идеальный процесс, про |
|||||
исходящий без диссипации |
эиергии. |
Иеравепство (1.1.81) пре |
||||
вращается в равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
R |
H = |
O. |
(1.1.92)' |
Его |
следствием являются |
два |
тривиальных условия: |
II = O п |
||
R = |
O u петриппальпое условие |
антисимметрии тензора |
R. Если |
|||
H = |
O, то также Q = O u |
Grad T = O. Следовательно, отсутствует |
локальный теплообмен между частицами деформируемого тела, температура распределена равномерно и может зависеть только
от времени: Т = Т {х ). Такие условия выполняются в процессах, близких адиабатическому и изотермическому (при слабой зави симости температуры от времени). Равенство R = O определяет идеальный материал, нс обладающий тепловой диссипацисГ!. 1'.сли тензор R аптпеимметричеп, то Q = -R -H =J^O и условие (1.1.02) означает, что вектор скорости теплового потока в любой момент ортогоналеи вектору градиента температуры. Таким споГ1ство.м должен обладать материал, диссипативные «сиособиостп» которо го характеризуются аитисимметрпчиой матрицей тепловой дис сипации. Все имеющиеся опытные данные отрицают наличие та ких материалов. В итоге можно констатировать, что реальные процессы деформировашш сопершенпых материалов могут быть близки к обратимым лишь в условиях, близких к адиабатиче ским и изотермическим.
Анализ термодинамических уравнений показывает, что совер шенный момептный континуум является термоупругим материа лом, каждая материальная частица которого обладает шестью степенями свободы: тремя линейными и тремя угловыми. Фено менологические определяющие уравпепия этого материала имеют структуру (1.1.80), которая должна удовлетворять ограничениям (1.1.82).
Модель совершенного континуума — идеальная модель реаль ных материалов, которые не обнаруживают заметной внутренней диссипации в определенном классе термомехаиических процес сов. "У момептных материалов, проявляющих пластические и вязкие свойства, внутренняя диссипация становится существепиыд! фактором. При моделировании термомеханических процессов де формирования таких материалов в массив определяющих пара метров состояния приходится включать производные по времени от кинематических переменных и Елглг], а в массив опреде ляемых параметров — производные по времени от динамических переменных и Соответственно система определяющих
уравпений прпшшаст отличную от (1.1.80) структуру, которая должна быть термодппамическц согласованной, т. е. подчиненной ограничениям, вытекающим из законов термодинамики.
1.5.Псевдомоментный
ибезмоментный континуумы
Иа;шч11с кинематической связи
Л'*'^ид-А.„, = 0, |
(1.1.93) |
обеспечивающей симметрию тензора деформаций, приводит к уп рощенной пелHIieiiiioii модели аюмептного континуума, которая при лннеарн.зацнн сводится к известной модели «псевдокоптилуума Коссера» [33, 90]. Дeфop.миpyeмыii момептпын континуум, подчиненный кинематической связи (1.1.93), условимся называть нссвдомомеитны.м. Кинематика такого континуума тождественна кинематике классического, ибо уравнение (1.1.93) определяет вектор поворота материальной точки через вектор ее перемеще нии точно так ;ке, как в классической модели. PI лишь наличие моментов отличает модель псевдомомептпого континуума от классической.
IVaK и в .THIieiiiIOM варианте [33, 90], иаложепио кинематпчеcKoii связи (1.1.93) сокращает число скалярпы.х граничны.к ус-
.TOiiiiit до пяти. ДciicтвитeлыIo, ее следствием являются уравиеппя
(Лд., - Лх,) •Л«, = Л-'--^А^,.Ащ = О
и, в частности, Л’""‘А„, •A^, = 0. При дифференцировании послед него получается равенство
Л’"'"(А„, •6А,„, + А „,-6А „,) = 0,
которое C помощью формул бАлп = боУ X Алг], бАл-» = бд^гП пре образуется к виду
Л’" " ( (А„, X A^J) •б,V - A^J •б5„и) = О,
апри использовапии разложения Л®""*(Ап) X Amj)^ 2С*^Аы
—к виду
■боУ = Л='""‘А„, •5„би.
Чтобы записать это соотпошеппе па граничной поверхности тела, нужно совместить базисный вектор Аз с вектором ее нор мали Ev, а векторы А,„ — с ее касательными векторами Е„. Ре зультатом будет равенство
Ev, •боУ = (2С -) - ‘^'"™Е,„,. 5„би -
- (С^'')-‘С ^ ,- б о У , |
S E ''-(E -X E -"), |
которое устанавливает па границе зависимость нормальной компопепты угловой скрости от двух остальных ее компонент и трех перемещепип.
C учетом зависимости (1.1.94) интеграл, определяющий мощ ность поверхностных сил, преобразуется так:
J (г,-би’ + YvejV') d^V = J (г.-еи’ + у'’”ЧЕ„.,-е,у'' +
|
•В Х ) |
= J (Z , •е и ' + (у ™ ’ - |
( С " ) - ‘ ) X |
|
|
л , |
|
X |
Е„]-в<,У'’ + |
(2С” ) - ‘ Е ^ г а д и ') d a , = |
|
= |
J ( Z , - Э „ ( У ''¾ '" ” (2C '')-^ E „]))• 6U '’<г^?v + |
||
|
Ящ/ |
|
|
+ | ( У '” > -У ''> С ™ (С '’'’)-*)Е „ ].6 .У '’< М .+
я^
+I « „ ( У '^ '" ” ( г с " ) - ' Ejfl-BU ') а я . .
Последний из суммируемых интегралов сводится к контурному U исчезает, поскольку поверхпостиая плотность силовой компо ненты является по условию конечной пеличнпон н, слодонательпо, ее контурная плотность равна пулю.
Таким образом, силовые поля, распределенные но поверх по сти тела из псевдомомеитпого контппуума, приводятся к тре.ч- компопентному вектору-силе
Zv ^ Z v - 5„(У"'Ч^*"'“(2С''')-‘)Е„,)
и двухкомпонептпому (в повернутом базисе!) вектору-моменту
Соответственно граничные условия требуют задания па поверх
ности |
либо пяти |
!шпематически.х скалярных параметров: |
|||
|
* EvJi |
UmJ = |
•Em]. T^mJ= |
♦ Em], |
ЛИбо ПЯТИ динаш1- |
ческих: J v ] = |
Z v -E ^ |
= |
= |
Yv-E"*^ |
|
Модель псевдомомеитпого континуума |
обнарулшвает ущерб |
ность «потенциального» способа построения определяющих урав нений. В качестве иллюстрации рассмотрим совершенный мате
риал. Поскольку |
!шнематическая связь |
(1.1.93) обеспечивает |
|||
симметрию тензора деформаций UK U I, уравнения состояния вида |
|||||
(1.1.72) |
и (1.1.74) |
определяют лишь симметричную составляю |
|||
щую тензора результирующих напряжений |
Следовательно, |
||||
задания |
термодинамического потенциала |
недостаточно |
для по |
||
строения |
полной системы опреде.чяющих |
|
уравнений. |
Остается |
единственный путь — пепосредствепиое феноменологическое кон струирование такой системы с учетом термодинамических огра ничений.
При наложении динамической связи
= О, |
(1.1.95) |
совместимой с заданными условиями Y = O, Yv = 0, моментный континуум превращается в безмомснтньнь
Следствием второго из динамичеекм.х уравнений (1.1.38) бу дет равенство
Ал-, X Z^ = о, |
(1.1.96); |
обеспечивающее симметрию тензора напряжений в мгновенном базисе:
=(1.1.97)
Благодаря (1.1.95) и (1.1.90) мощность деформации выража ется более npocToir по сравнению с (1.1.41) формулой
/5 = Z••^ .(aл•бU-бoVXA.v)) = Z""^бC7;,,,„ |
(1.1.98) |
которая свидетельствует, что у безмомептпого континуума сохра няется онерготнческое соответствие между компонентами тензо ра лаиряихОНнГ! H тензора деформащпг в повернутом базисе. Сог
ласно (1.1.90) тензор |
не является снмметричны.м. |
|
Условие (1.1.90) |
позволяет преобразовать формулу |
(1.1.98) |
к виду |
|
|
/^ = Z^ •б5.уП = |
(1.1.99) |
показывающему, что с компонентами тензоранапряжений в на чал ыюлг базисе = Z*^ •A'^ сопряжены компоненты градиента перелгещепш! в этом же базисе
^ \У„ ■А,г = Зл-Плг. |
(1.1.100) |
Представленный компопептамп в начальномбазисе пеепмметрпчный тензор напряжений Z*'" обычно связывают с именем Пиолы [24, 02].
Если ввести компоненты тензора напряжений в мгновенном базисе Z*'''^ = Z^ •А"'^’ л воспользоваться присущим нм свойством
симметрии (1.1.97), то формула (1.1.99) |
для удельной мощно |
сти деформации может быть преобразована к виду |
|
P = 1/2 (Z^■•'^^Aл„ •б5л-и + Z"^')Ал-) •65„П) = |
(1.1.101) |
показывающему, что симметричному тензору папряжепий энергетпчески соответствует симметричный тензор деформаций Грппа C компонентами
= 1/2 (Алг • |
+ 5л-и -S^U) = |
|
= 1/2 |
+ A^^^WsbW^rK). |
(1.1.102) |
Представленный компопептами в мгновенном базисе симметрич
ный |
тензор папряжепий |
Z""^ связывают с именем Кирхгофа |
|
[52, |
62]. |
|
|
Возможность выражения мощности деформации через симмет |
|||
ричные тензоры |
и |
пе зависящие от жесткого поворо |
та базиса, означает, что такой поворот не производит деформа ции континуума (является «скрытым», по выражению Коссера).
Поэтому в Л[одель бсзмомсптпого континуума повернутый базис вводит свободное поле поворотов, которое может быть использо вано для достижения вспомогательных целен, в частности для симметрнзацпи тензора деформаций согласно (1.1.93). Вообще же любые трп независимых условия для боковых компонент тензора деформации UtfMy фиксируют положенно повернутого базиса п, наоборот, любая фиксация повернутого базиса устра няет произвол в определении этого тензора.
Кшгсматпческая связь (1.1.93) отождествляет поворот мате риальной точки со средним поворотом ее окрестности, произво димым полем перемещепн11. Taicoir поворот мояеет быть выделен полярным разложением градиента перемс1цснн{'1. Связи (1.1.93) отвечают трсхтеомпонентныс векторы деформации. Их ко.М11011Снты подчинены условиям симметрии
t/.,, = CA,.,. с/„, = 1/.„. |
(1.1.103) |
|
Полная деформация сдвига измеряется параметрами |
|
|
САз21"ЬCA,,,. C^iJ, + CA,!,. С/гц+СА.г,. |
(а)- |
|
В.место (1.1.103) могут быть использованы |
менее кои- |
|
структивные условия |
|
|
tA,,, = C^,, = CA,., = |
О |
(1.1.104) |
их транснонированпый вариант |
|
|
CAJSJ = CA,., = СА.г, = |
0. |
(1.1.105) |
Они выделяют средний поворот окрестности материальной точки таким образом, что все векторы деформации Uy становятся дву.х- компоиентными в повернутом базисе. В первом варпаите дефор мация сдвига измеряется параметрами
во втором — |
|
|
Uzii, |
|
UiZ], |
|
|
|
|
(б) |
||
|
|
СА,21, СА.з,, CA,,,. |
|
|
|
|
(п) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Соответственно связям (1.1.103), (1.1.104) и (1.1.105) тензор |
||||||||||||
деформаций представляется матрицами |
1 |
|
|
|
H |
|||||||
C^il |
и12] |
Uu]] |
р |
п |
] С'12] |
0 |
р 1 1 ] |
0 |
||||
САаз] |
и22] |
САзз] L |
гLc^ai] |
CAgS] |
с^23] |
, |
CAgiJ САз2] |
|||||
.САхз! |
САзз] |
CCзз]J |
0 |
|
САзз]] |
Lo |
|
САз2] |
САзз]] |
|||
Модпфицпроваппые |
по |
отношению |
к |
(1.1.104) |
(1.1.105) |
|||||||
условия |
|
|
CA,,, = |
CA,,, = |
CA,., = |
о |
|
|
|
|
||
пли |
|
|
|
|
|
(1.1.106) |
||||||
|
|
CAsa, = |
CA.,, = |
CA.,, = |
о |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(1.1.107) |
||||||
представляют тензор деформации треугольными матрицами |
||||||||||||
|
CAiiJ С/12] |
C^iaj] |
\игг] |
0 |
|
0 |
|
|
||||
|
0 |
CAgg] |
САзз] L |
|
|
САзз] |
0 |
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
U u ]] |
Lc^ail |
САзз] |
С^зз]]и . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
"I |
|
При выделешш среднего поворота в случае (1.1.106) совмеща ются направления векторов Аз, п Аз„ в случае (1.1.107)— А,, II А,). Примепепне этп.х вариантов оправдывается при моделпровашш деформаций тол, имеющих особые направления. К та ковым относятся, папример, оболочко- и стержпеобразпые тела.
Если |
тензор |
деформаций |
С/.ул,, |
снммстризовап |
условием |
||
(1.1.93), |
то формула |
(1.1.98) |
преобразуется к |
виду P = |
|||
= Л^--''’бС/л-л„, где |
USM, — обозначение |
снмметрпзоваппого |
тепзора |
||||
|
— обозначение |
симметричной составляющей |
тепзора |
||||
|
|
Ч- |
|
|
. |
|
|
|
|
= 1/2 (Z'''-''^ + |
|
|
Си.мметрнчны11 тензор USM, в квадратичном приблшкеппп совпадает с тензором «чистой деформации», введенным Био [74]. Тензор UsM], как его обобщенный вариант, называется в дальг нейшс.м тензором Бпо. Связь последнего с тензором Грппа уста навливается равенствами
W SM, |
= 1/2 (Алг, •U;, + Ал-, •и ,, + U;. - илх) = |
|
|
|
= |
m iU sM , + UM^, -ь |
(1.1.103) |
||
обладающими явной |
аналогией с равенствами (1.1.102). |
При |
||
V = о, !чогда жесткий |
поворот базиса не выделяется, имеет |
ме |
||
сто полное совпадение |
(1.1.102) п (1.1.108), поскольку Ux = |
W^-. |
Последнее равенство свидетельствует о том, что предложенная формулировка модслн безмомептпого континуума Коши с тензо ром деформацш'! Био в тривиальном случае V = O вырождается в градиентную формулировку, когда в качестве меры деформации континуума используется градиент перемещений с несимметрпч-
Hoii матрицей |
и в качестве |
меры напряжения — тензор |
Пиолы C несимметричной матрицей |
При условии V = O по |
вернутый базис пе отличается от пачальпого. В общем случае оно пе совместимо пи с одним пз вариантов (1.1.103) — (1.1.107) выделения поля поворотов. Градиент перемещепий, как мера де формации при V = O, теряет важное свойство инвариантности относительно двпжепий жесткого тела, которое присуще тензору деформаций Био в любом из вариантов (1 .1 .1 0 3 )-(1 .1 .1 0 7 ).
Из определения (1.1.15) тензора Био может быть установлен наглядный физический смысл: если деформация происходит без пскажспия углов между коордппатпыми линиями (без сдвигов), то векторы мгповеппого базиса отличаются от векторов повер нутого базиса только длипой п днагопальпые компоненты UKN, тепзора Био совпадают с удлинениями коорднпатпых линейных элементов; если же, напротив, деформация измепяет углы леж ду едипичпыми базисными вектора^ш A s п Алг на величину Ф^гхг
без измепепия |
их длины, то между педиагопальными компонен |
|
тами Umn тепзора Био и углами сдвига |
устанавливается |
|
простая связь |
С/ядп = з1п(1/2Ф^гд/), M ^ N , |
причем Uitin = U sitb |
если Фм.у = ФлгАг. Таким образом, компонепты USM^ тензора Био являются эксперимептальио измеряемыми параметрами.
Уравнение баланса механической энергии для безмомептпого тела принимает упрощенную по сравнению с (1.1.47) формули ровку
I (2;-би ) Zv•бБ''d^v = О, (1.1.109)
в которой мощность деформации может быть задана любым из равенств (1.1.98), (1.1.99) и (1.1.101). Каждое из ин.х обуслов ливает определенную систему кинематических и динамических параметров состояния и требует согласованной с iioii формули ровки определяющих уравнений. В частности, системе киноматическпх параметров, выражаемой тензором деформаций Био UNMI, должна быть соотнесена система динамических параметров, вы
ражаемая несимметричным |
тензором напряжений |
который |
также может быть пазван |
именем Био. В тривиальном |
случае |
= о он вырождается в тепзор папряжепи!'! Пнолы.
Для безмомептпого континуума наиболее простую снсте.му динамических параметров состояния дает симметричныii тензор
напряжений Кирхгофа |
Прп этом |
энергетически |
сопряжен |
ный C пнм тепзор деформаций Грипа |
образует |
наиболее |
подходящую систему кинематических параметров. Поскольку оба тензора симметричны и BTopoii из них принимает пулевое зна чение на группе жестких перемещений, в совокуппостп они об разуют оптимальную систему кинематических и дипамических параметров состояния безмомептпого континуума.
Формулировку определяющих уравнений безмомептпого коптипуума проследим в случае совершенного (термоупругого) мате риала. Соответствеппо выбранной системе кинематических п ди намических параметров состояния получим более простую по сравнению с (1.1.80) систему определяющих уравнений:
5 = 5(Т7ья„ Г ), К = К(Т^ьк-„ Г ), = Г ). (1.1.110):
Имея зависимости (1.1.102) и (1.1.108), не составляет труда перейти в (1.1.110) к системе кинематических параметров U^,^ или WLK.
В свою очередь, зависимости
2^'^’ = {А Mк + С / м я ] ) = (AMк + WMк)
( 1. 1. 111)
выражающие несимметричные тензоры папряжепий через сим метричный, позволяют осуществить переход к системам динами
ческих параметров |
и |
Таким образом, имея определя |
ющие уравнения вида |
(1.1.110), |
всегда можно преобразовать их |
в систему |
|
|
S = SiULNi, Т ), R = RiULKU Т ), Z^^^=Z«“ ^iULкu Т) (1.1.112)
или в систему |
|
5 = 5(Жх.к, Т ), К = К(И^^^., Т ), Z-'-' = |
Т ). (1.1.113)' |
Первая из ии.у предпочтптельпее, когда мощность деформации вычисляется по формуле (1.1.98), вторая — по (1.1.99).
При использовании выражения (1.1.98) глобальное уравпеппе (1.1.109) может быть преобразовано к виду
I ((Z + |
SU + |
(Ад) X Z^l-SoV )йлг + |
Si- |
|
|
J £vЛ'Z•'^•(бU-бU)d^Э7+ |
I (Z v -£ v ;v Z ").б Ш ^ + = 0. |
|
|
|
33^ |
(1.1.114)
Отсюда следуют локальные дипамическпе уравнения и гранич ные условия безмоментного континуума:
ад-^ + г = о, |
А ;,,х г ‘'' = |
о V X e ^ i; |
( 1 .1 .1 1 5 ); |
U = U |
iгv^Z^' = |
Zv V X e ^ + . |
(1.1.116) |
Как видно, у безмоментного континуума вырождается второе из дииамичсскн.х уравнений (1.1.38), выражающее баланс момен тов. Соответственно граничные условия (1.1.43) и (1.1.44) момептного континуума выроящаются в условия (1.1.116).
Если выбрана согласованная с (1.1.98) и (1.1.112) система
параметров состояния |
UiKj и |
|
|
то равенства (1.1.115) и |
|||
(1.1.116) |
следует формулировать |
в |
разложении по повернутому |
||||
базису: |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Z^J = |
о, |
(Л!‘к |
+ |
|
= 0; |
(1.1.117) |
U M ^ = |
U M I V X e ^ 7 ; |
|
= |
V X eigf+ . |
(1.1.118) |
||
Для системы параметров |
WLK и Z'^", согласованной с |
(1.1.99) и |
(1.1.113), и.х удобнее представить в разложепнн по начальному базису:
а„г™ + 2"_о. (A ^ K L + |
|
(1л.ш) |
UU = UM V X ^ |
V X |
(1.1.120) |
Равенства (1.1.119), (1.1.120) и (1.1.100) образуют систему механических уравнений безмоментного континуума, сформули рованную традиционным образом, без выделения жесткого пово рота базиса.
Нетрадиционная формулировка, с выделением жесткого пово рота, образуется из равенств (1.1.117), (1.1.118) и кинематиче ских зависимостей (1.1.33), (1.1.34), дополненных связями (1.1.93) или другими равенствами, нетривиальным образом опре деляющими вектор поворота.
Формальпьш сокращением размерности прострапства па единицу из уравнен ни трехмерного моментного континуума могут быть получены уравнения двумерного моментного коити- Hyyira. Такой континуум не является толгько математическог’ абстракцией: он имеет физический смысл модели деформируемой оболочгш.
В этом параграфе сформулирована полная система уравне ний, описывающая конечное деформированное состояние термо упругого двумериого лгомептпого континуума Коссера. Она со стоит из кинематических, динамических и определяющих урав нений. Осуществлен переход к упрощенпьиг моделям псевдомомептпого и безмомептного континуумов.
2.1.Начальное состояние континуума
При формулировке уравненш! двумерного моментного континуума под областью зФ следует понимать некоторое двумер ное многообразие (поверхность) погруженное в трехмерное евклидово пространство и параметризованное лаграижевыми ко ординатами г" (строчные латинские индексы припимают значе ния 1 и 2 ). Граница области ^ представляет собой одномерное многообразие (контур)
Все параметры двумерного континуума обозначаются строч ными буквами соответственно прописпылг буквам, обозиачающп.м параметры трехмерного континуума. В частности, х (а :")— на чальный позицпопный вектор пронзволыгой материальной точки
континуума; ал-(х) — начальный коордпиатный базпс, |
определен |
|||
ный па поверхности ЗФ и состоящий из |
касательных векторов а„ |
|||
и единичного норлгальпого вектора Зз; |
е » (х )— поле |
единичных |
||
нормалей к контуру |
касающихся поверхности |
|
||
По определению |
базисные |
векторы |
подчиняются |
условиям |
а„ = 9„х, а„ ■аз = 0. Равенства |
|
|
|
|
Нл’д = |
Эл' •а.лг, |
Ол-лг1. = (эл* X а,и) •ах. |
( 1.2.1) |
вводят метрический а^зг(х) и дискриминаптпый ах.лгх,(х) тензоры начального базиса. Коитравариантный базис а "(х ) подчиняется УС.ЧОВИЮ
(1, M = N',
МфЗ.
Производные от базисных векторов подобно (1.1.2) предста вимы разложениями
^М,п = CnM^Lt |
= — |
(1.2.3) |
коэффициенты которых — параметры Кристофеля второго рода — определяются равенствами