книги / Неупругое поведение оболочек
..pdf72 |
6. Теория предельного равновесия |
с этим решение задач о предельном равновесии ока зывается возможным лишь с применением численных методов, исключая, быть может, некоторые частные случаи.
По этой причине привлекли внимание условие те кучести Кулона — Треска и ассоциированный закон течения, распространенный' на кусочно-линейные по тенциалы. Впервые поверхности текучести для кусоч но-линейных условий текучести рассмотрены в работе Друккера [6.11], которая стимулировала развитие тео рии предельного равновесия оболочек1).
Условие текучести Кулона — Треска для плоского напряженного состояния, выраженное через главные напряжения, записывается в виде
</>, = |
сг, - <т0= 0, |
ф2 = а2- а 0 = О, |
|
|||
Фз = |
о 2 ~ |
а 1 - о 0, = |
фЛ= |
- |
а, -ст0 = 0, |
(6.9) |
ф&= |
- ст2 - |
ст0 = 0, |
</>с = |
- |
(т2 + а, - а0 = 0. |
|
Таким образом, можно ожидать, что в определен ных случаях поверхность текучести в пространстве результирующих напряжений будет также линейна. Из ассоциированного закона течения и соотношения (2.42) следует, что распределение скоростей дефор маций по толщине оболочки определяется выраже
ниями |
|
Л2+ *3й2 = 0, |
|
(6.10) |
Я| + xr3x, = Vi, |
Ф = Фь |
|||
Aj + |
= 0, |
Яг+ хгк2= v2, |
Ф = Ф2, |
(6.П) |
Я, — Я2+ хг(*! — й2) = v3, |
Ф = Фг- |
(6.12) |
||
Аналогичные соотношения имеют место для ^ 4, |
фъ, ф6. |
В общем случае, когда оболочка деформируется в двух главных направлениях так, что
В\ — Я-1 -f- Xtfk\ ^ 0, ё2 = А2 + х гщ Ф 0, в|/ё2 |
1 , (6 .13 ) |
*) Впервые задачи о предельном равновесии оболочек реша лись с помощью условий текучести как Кулоиа — Море, так и Губера — Миэеса в докторской диссертации С. М. Фейиберга «Принцип предельной напряженности», выполненной в 1946 г. Извлечения из этой диссертации публиковались позднее в жур нале «Прикладная математика и механика» (см. ПММ, 12, № 1 (1948); ПММ, 21, № 4 (1957)). — Прим. ред.
6.1. Поверхности текучести для оболочек |
73 |
необходимо совместное выполнение двух соотношений текучести (6.9) (углы шестиугольника текучести в пространстве напряжений). Пусть, например, внутри определенной области по толщине оболочки имеем ё( > О и ё2> 0 . Из (6.10) и (6.11) видно, что это воз можно только при одновременном выполнении усло вий текучести для фх и ^2- Отсюда заключаем, что 02= 0о, если О-^ёз/ё, <оо. Подобные же рассужде ния можно провести и для других значений скоростей деформаций. В результате получаем следующие соот ношения:
= |
0о. |
|
0 |
|
ё2/ё | ^ |
со, |
ё, > 0 , |
(6 .1 4 ) |
||
, |
0 |
2 = |
0, |
— 1 |
< |
k2l&i ^ |
0, |
ё, < 0 , |
(6 .1 5 ) |
|
|
02 |
= |
— 00» |
— оо < |
ё 2/ё! < |
— 1, |
ё| < |
0, |
(6 .1 6 ) |
|
= |
- |
0 О, |
0 |
|
ё2/ё! ^ |
оо, |
ё! < |
0 . |
(6 .1 7 ) |
Остаются еще две системы условий, соответствующие паре условий текучести {ф$—фц) и (^>6—Ф\)- Отсюда можно заключить, что для кусочно-линейного крите рия текучести распределение скоростей деформаций однозначно определяется распределением напряжений по толщине оболочки. Это дает возможность опреде лить результирующие напряжений (2.40) и, следова тельно, найти поверхность текучести для оболочек в параметрической форме. Параметрами могут быть, например, отношения удлинений и кривизн срединной поверхности оболочки. Такой.метод построения по верхности текучести для осесимметричных оболочек описан впервые в работах Оната и Прагера [6.103] и Оната [6.98]. Так как для осесимметричных оболо чек напряженное состояние однозначно определяется двумя мембранными усилиями и двумя изгибающими моментами, геометрическое место точек текучести об разует гиперповерхность в четырехмерном простран стве напряжений. Легко проверить, что для произ вольного линейного распределения скоростей дефор маций любому поперечному сечению оболочки можно сопоставить самое большее четыре режима напряже ний. Таким образом, три параметра однозначно
74 |
6. Теория предельного равновесия |
определяют результирующие напряжений и поверх ность текучести для осесимметричных оболочек. В ка честве параметров удобно выбрать [6.103, 6.49] отно шения
± _ к |
1 Я»1+ Я>2 |
l i l |
РН = — 2 *1 ’ |
QH = — 2 *1+ й2 |
гН — — 2 Л2* |
(6.18)
где 2Н — толщина оболочки. В зависимости от отно сительного расположения трех определенных выше параметров получаются соответствующие поверхности текучести. Эти выводы суммированы в табл. 6.1, где приведена поверхность текучести в зависимости от того, какой из параметров q, р или г является проме жуточным [6.103, 6.49].
Таблица 6.1
Поверхности текучести дли однородных оболочек из материала Кулона—Треска
«Промежуточ |
М/2<Г„Я |
ный» параметр |
Р+(р + я)
Я+ {р + Я)
Г |
1+ |
1 |
ЛГ,/2а0Я |
|
MifatH3 |
+ ( q - r ) |
± 1 + 2 {р2+ <72) |
± 2 ( г2-<72) |
Т ( Я + г) |
± 1 + 2 (р 2 + <72) |
±1Ф2(«72 + р2) |
+ (Я + г) |
± 2 |
±1+2(<72 + г2) |
Полученные соотношения имеют силу, если пара метры р, q и г определены и лежат внутри интервала (—7г, 7г). Если абсолютная величина какого-либо из этих параметров превосходит 72, то ее следует заме нить значением ± 7 2. Если какие-либо два параметра совпадают, то третий параметр является неопреде ленным, и гиперповерхность текучести получается путем исключения этого параметра из соответствую щего соотношения табл. 6.1 [6.49]. Очевидно, что в случае условия Кулона — Треска поверхность текуче сти имеет нелинейные части. На рис. 6.1 приведена поверхность текучести для осесимметричного дефор мирования цилиндрических оболочек; в этом случае окружной момент может быть исключен путем надле-
6.1. Поверхности текучести для оболочек |
75 |
жащей нормальной проекции (см. [6.136]). Другой подход к построению поверхности текучести для ци линдрических оболочек принадлежит Ходжу [6.38].
Вид поверхности текучести зависит от свойств сте нок оболочки. Следовательно, для трехслойных обо лочек геометрию поверхности текучести следует изу-
Ри с . 6.1. Поверхность текучести для цилиндрических оболочек постоянного поперечного сечения; условие текучести Треска.
чить особо. Действительно, для трехслойных оболо чек, состоящих из двух слоев (толщиной t), воспри нимающих мембранные напряжения, и центральной прослойки толщиной 2Я для передачи поперечных сил, преобразование (2.40) из пространства напряжений в пространство результирующих напряжений весьма просто:
^ “ |
К р + ^ав)'. |
" * - ( » * - « * ) * * • (6Л9) |
Разрешая эти соотношения относительно напряже |
||
ний o j для |
наружного и |
для внутреннего слоев |
76 |
6. Теория предельного равновесия |
|
|||
трехслойной |
оболочки, находим |
|
|
||
|
|
|
a«s = ffo("«P + moe). |
(б-20) |
|
где величины |
|
^ар = ^ар/^^0^^ |
(6.21) |
||
|
= |
» |
|||
обозначают |
безразмерные |
результирующие напряже |
|||
ний и моменты. |
|
(6.20)' в условие текучести |
|||
Подстановка уравнений |
|||||
Губера — Мизеса |
приводит к соотношениям |
|
|||
З^арЯ-ар "Ь З^ар^ар |
^ао^рр |
^аа^рр = 2, |
(6.22) |
||
|
|
|
З/Пар^ор |
^ааЛрр = 6» |
|
представляющим |
в пространстве результирующих сил |
пересечение двух гиперповерхностей, каждая из ко торых описывает текучесть одного слоя.
Для условия текучести Кулона — Треска (6.9) ана логичный результат получается в виде пересечения двух гиперпризм (кусочно-линейные поверхности те кучести), характеризующих состояния текучести на ружного и внутреннего слоев соответственно (см. [6.136]). Соответствующие уравнения для условия Тре ска приведены в табл. 6.2. В общем случае имеются два условия для трехслойных оболочек, поскольку, как показано Ходжем [6.43, 6.44], непрерывный про цесс деформирования требует перехода обоих слоев в пластическое состояние.
Линейность уравнений текучести в табл. 6.2 по зволяет решить задачу о предельном равновесии. Од нако на практике любое решение может относиться к нескольким различным режимам текучести; тогда анализ становится чрезвычайно утомительным, по скольку для различных областей изменения незави симых переменных применяются различные уравне ния текучести.
В замкнутой форме решения получены только для круговых цилиндрических оболочек; конкретные ре шения для них рассмотрены ниже.
Трехслойное приближение гиперповерхностей те кучести для однородных оболочек (по существу в
О Ф\ Ф2
аФз
§
кФ4
Фз
Фо
Ф\
=Фг
1 Фз
1 |
Ф4 |
н |
Фз |
>. |
|
5 |
Фа |
6.1. Поверхности текучести для |
оболочек |
77 |
|
Таблица 6.2 |
|
Уравнения текучести трехслойных оболочек |
|
|
из материала Кулона—Треска |
|
|
Уравнение гиперплоскости |
Область определения |
|
п1—т х= 1 |
0 |
^ n2 nt2^ 1 |
«2 —tn2 = I |
0 |
< « i —/»i<l |
—«I + т х+ п2 —т 2 —1 |
0 |
^ n2 —m2^ 1 или |
- Hi + nii = 1 |
|
0<Л 1 + т ! < 1 |
0 |
< —n2 + m2< 1 |
|
—пг+ т 2= 1 |
0 < —nt + m2< I |
|
пх—m, —«2 + tn2—1 |
0 |
< tii— mi < 1 или |
|
|
0 < - n2 + m2< 1 |
Hi + nii = 1 |
0 < я 2 + т 2< 1 |
|
n2 + tn2= 1 |
0 < /г 2 + л12<1 или |
|
—Hi ~ mi +n2 + m2 = 1 |
||
— n, —nii = \ |
|
0 < —tii—nii^ 1 |
0 < —n2—m2< 1 |
||
—n2— m2= 1 |
0< —tii—m i<l |
|
n| + nii —n2 — m2= I |
0<ni + OTi<l или |
|
|
|
0 < - л 2- т 2<1 |
форме (6.22)) было предложено Ю. Н. Работновым [6.117] и В. И. Розенблюмом [6.118, 6.119]. При таком подходе однородная оболочка с толщиной стенки 2Я рассматривается как двухслойная конструкция без сердцевины с толщиной слоя t = Н.
Поверхность текучести для осесимметричного де формирования цилиндрической оболочки показана на
рис. 6.2.
Ввиду сложности анализа уравнений текучести, приведенных в табл. 6.2, и необходимости перебора различных режимов напряжений для изучения част ных задач были предложены другие методы аппрок симаций. Если, например, можно ожидать, что при определении разрушающей нагрузки одна из резуль тирующих напряжений не имеет существенного зна
78 |
6. Теория предельного равновесия |
чения, то в качестве поверхности текучести можно принять сечение действительной гиперповерхности текучести гиперплоскостью, представляющей собой от брасываемую результирующую напряжений. Такой подход применяли Друккер и Шилд [6.17, 6.140] к ис следованию тороидальной оболочки. Эти авторы пре небрегали влиянием окружных моментов на текучесть
Р и с . 6.2. Поверхность текучести для цилиндрических оболочек трехслойного типа; условие текучести Треска.
сечения оболочки. Соответствующая поверхность те кучести получается из уравнений табл. 6.2, если по ложить равной нулю надлежащую результирующую напряжений (скажем, т2). Условие т2 = 0, введенное в табл. 6.1, упрощает поверхность текучести однород ной оболочки.
Другой метод аппроксимации состоит в отделении мембранного эффекта от эффекта изгиба оболочки, при этом предполагается, что между ними отсутст вует взаимодействие, когда речь идет о поверхности
6.1. Поверхности текучести для оболочек |
79 |
текучести. В этом случае действительная гиперповерх ность текучести F(Na$t Ма$) — const заменяется дву мя гиперповерхностями, каждая из которых зависит либо от моментов, либо от мембранных усилий соот ветственно; таким образом,
Л(ЛГар) = СА', F2{M4 ) = Cm. |
(6.23) |
Если CN и См считаются независимыми и равны модулям текучести при мембранном состоянии и чи стом изгибе соответственно, то соотношения (6.23) приводят к аппроксимации Ходжа двухмоментного ограниченного взаимодействия [6.42, 6.44]. Однако если предположить, что
fi(CN) + h(C M) = f(cjо), |
(6.24) |
где .функции fi и /2удовлетворяют условию текучести в виде, полученном путем интегрирования по тол щине пластинки, а не по каждому слою, то в резуль тате приходим к приближению В. И. Розенблюма [6.118, 6.119]. В работе [6.118] соотношение (6.24) ис пользуется в форме
где |
Сгы + Сги = 1, |
(6.25) |
|
|
|
3m«Dm09 - |
= 2CJI. 3»«|Л* - |
"«.«№ = 2С« |
(см. также Г. С. Шапиро [6.137], который обобщил этот подход на случай, когда-.пренебречь влиянием перерезывающих сил на критерий текучести нельзя).
В работе [6.44], в которой Ходж предлагает по верхность двухмоментного ограниченного взаимодей ствия, дается соответствующая форма условия теку чести Кулона — Треска. Для осесимметричных оболо чек это условие выражается через главные значения результирующих напряжений следующим образом:
шах( \ N i \ , |
|]V2|, |
N V . - W K t f o , |
*6 |
шх(| M i I, |
\ M 2 \, |
|Aft—fsIXAfo- |
Очевидно, что такая гиперповерхность является опи санной по отношению к действительным поверхностям текучести, определяемым согласно табл. 6.1 и 6.2,
6. Теория предельного равновесия
Для некоторых конструкций оболочек предполо жение об отсутствии взаимодействия между окруж ными и меридиональными напряжениями оболочки может быть оправдано. При этом получается другой тип поверхности текучести ограниченного взаимодей ствия. В этом случае поверхность текучести обра зуется пересечением двух гиперповерхностей вида
f ! {Nit Mi) = const и /2(Л^2, М2) = const (6.27)
(без боковой поверхности пересечения). Такое при ближение применял Мруз [6.84] к железобетонным оболочкам. Савчук и Ольшак [6.135] установили, что это предположение эквивалентно условию разруше ния от максимального нормального напряжения и со ответствующему закону течения. Построение поверх ности текучести для железобетона (с разными свой ствами текучести в случае растяжения Rt > 0 и сжа тия Rc< 0, |Дс| Ф |Я ,|) ПРИ условиях
Фа~ Ga~ Rb Оа>0,
(6.28)
можно найти в работах [6.84, 6.134, 6.135]. Результи рующая поверхность текучести состоит из двух пере секающихся параболических цилиндров.
Для аналогичного материала с различными преде лами текучести при растяжении и сжатии, который, однако, взамен условий (6.28) удовлетворяет условию текучести для максимального касательного напряже ния, соответствующая поверхность текучести для неармированных трехслойных оболочек построена Пра гером [6.116]. В более общем случае хрупко-пласти ческого материала (чувствительного к гидростатиче скому давлению) соответствующие уравнения гиперпо верхности текучести даны Санкаранараянаном [6.126], Санкаранараянаном и Ольшаком [6.127], Д. Д. Ивле вым [6.62] и Ю. П. Листровой [6.72]. Для оболочек, усиленных ребрами, поверхности текучести изучались Ю. В. Немировским и Ю. Н. Работновым [6.90, 6.91].
Проблема «поверхностей текучести» для хрупко пластических материалов обсуждалась Жичковским
6.2. Полные решения
[6.144], который анализировал условия разрушения при сложном напряженном состоянии в пространстве результирующих напряжений.
Отыскание приближенных поверхностей текучести, приводящих к решениям задач о предельном равно весии в замкнутой форме, основывается на фундамен тальных теоремах этой теории; эти теоремы касаются верхней и нижней границ для разрушающей нагрузки [6.13, 6.14, 6.24, 6.37]. Из указанных теорем, сформу лированных в обобщенных напряжениях (см. [6.103]), следует, что если существуют «истинная» гиперповерх ность текучести ф и располагающаяся внутри нее аппроксимирующая поверхность Фо, то разрушающая нагрузка ро для Ф0не может превосходить истинную разрушающую нагрузку р. С другой стороны, для описанной гиперповерхности Ф* соответствующая раз рушающая нагрузка не может быть меньше, чем р. Таким образом,
Ро = р (Ф о )< Р < Р .= Р (Ф.). |
(6.29) |
Удобно считать, что внутренние и внешние гипер поверхности геометрически подобны. Если коэффи циент подобия а > 1, то р* = офо и ро^р -^аро (см. Ходж [6.49, 6.50], Оиат [6.101]).
6.2. Полные решения
Как уже отмечалось, полное решение задачи тео рии предельного равновесия состоит из определения: а) разрушающей нагрузки, т. е. величины силы, необ ходимой для возникновения пластического движения, б) области пластической зоны и скоростей пластиче ского движения и в) распределения напряжений в
конструкции. Соответствующая система соотношений, которую нужно решить при указанных граничных условиях, включает уравнение поверхности текучести, подходящий закон течения, зависимости деформаций от перемещений, записанные через скорости, и урав нения равновесия.
Существующие полные решения относятся глав ным образом к цилиндрическим оболочкам. Для кон-
6 Зак. 8]