книги / Основы математического моделирования и численные методы
..pdf^Э[лг]г Э[ЛГ]Л
Jpc[jV f[W ]rû& -^S+ p i |
dr |
rdr [T}- |
j*[Af]r qyrdr • |
||
A |
CTÜ л |
dr |
|
|
|
|
+ '»«[ЛгГ № |
} | „ , |
- r (a [ A f /„ =0. |
|
(3.54) |
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
- |
|
|
\ |
т |
|
[М] - матрица демпфирования, [Л/] = рс j[W] |
[N]rdr ; |
||||
- |
|
|
d[JV]r э[лгр |
||
[£] - матрица коэффициентов, [F] = A.j |
|
rdr + |
|||
|
|
|
dr |
dr |
|
+ r»a[Aff[JV]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n> |
T |
- |
{F} - вектор-столбец свободных членов, {F} = J[N] qvrdr ■ |
С учетом введенных обозначений уравнение (3.54) запишется
как
(3.55)
Производную по времени аппроксимируем по неявной схеме:
Э{Г} |
{г’ } - { г - 1} |
Эт |
(3.56) |
К |
Тогда с учетом уравнения (3.56) уравнение (3.55) запишется как
— [М]({г” } - {г""1}) +[х]{г"} ={ f "}
или
1 |
^ |
1 |
[К] + — [М] {Г”} = — [M ]{ r’“1}+ {F m}.
h „ J 1 J AL 1 J i J
Функции формы N одномерного симплекс-элемента:
R j - r |
r - R j |
[Af]=[jV, Nj] = |
L(e) |
L{e) |
где L{e) —длина конечного элемента.
Для одномерного симплекс-элемента матрица градиентов за пишется как
dN, |
dNj |
M - j f a < 1 “ dr |
dr |
Поскольку
1
jie) [ - 1 i]
г = N,R + N/R. |
и |
fL aL,bdx = . a 'M |
|
NZ(e), |
||||
' |
' |
J J |
|
|
|
(a +b +1 )! |
||
, f э[лт]г э[лгр |
|
|
|
|
||||
Д |
— |
|
|
rdr = | [i?]r [5] rdr = |
||||
- э Г у |
№ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
- i' |
|
|
|
|
|
|
|
- î |
î |
J ( W + t f j R j ) d r = |
||||
И |
Ri |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
'1 |
- Г |
^ ( 4 |
+ Яу) |
" 1 |
- Г |
||
к |
-1 |
1 |
|
2 |
" Де) -1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J[W ]r |
[W]rrfr= |
NJfr |
NjNj-r |
dr = |
||||
AW |
|
|
Z.M NtN jr |
N /r |
|
|
||
|
|
|
|
|
Л^ЛГЯ,. + JV(wy2 Æy |
|||
= 1 |
|
|
Ду |
|
|
|
d r = |
|
|
|
N,Nj2+ N /Rj |
||||||
/<*> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(e) |
ЗД+Д, |
д , + л / |
|
|
||
|
|
1 2 [ л , + д у ^ + з д у |
|
|
|
’ у , 2Д +N {NjRj " |
|
J W " * - = |
I NtNjRi+N/Rj |
|
I < * > |
L<») |
|
|
0 |
0 |
|
глф Г ] г [ЛГ] = г*а |
1 |
|
0 |
01
W A [ 4 = « V O
1 |
1 |
to J * + |
____ |
6
4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
4.1. Метод переменных направлений
Метод переменных направлений - один из лучших методов для решения краевых задач в двумерной постановке. Для записи уравне ния (2.34) в разностном виде формируется сетка с узлами в следую щих координатах:
хХп= п \ (» = 0 ,1,2 ,...,#), х2т = mhi (« = 0 ,1,2 ,...,АО, ту =УЛО‘= 0 ,1,2 ,...).
Затем на сетке выбирается шаблон, который содержит полуцелый слой т = т + Г |/ 2 , и на нем составляется следующая разностная схема:
K m |
- :Unm ) ! Л = ( Л 1«ит + Л 2Мл т + “ « т ) 1 Ъ |
( 4 - О |
(^л/и |
^пт) / Л —(Л]И„т + Л2 йти +сопт) / 2. |
(4.2) |
Из уравнений (4.1), (4.2) видно, что переход отJ-го временного слоя к (/+ 1 )-му временному слою происходит за два шага по вре мени. Сперва при помощи уравнения (4.1) определяются промежу точные значения искомой функции йпт. Уравнение (4.1) содержит
три неизвестных мл_, т, ипт, ип+1т ; оставшиеся значения и опреде лены на исходном слое. Таким образом, уравнение (4.1) неявно по
координате х, и явно - по х2. При любом фиксированном т урав нение (4.1) может быть решено методом одномерной прогонки по направлению хх. Затем схема (4.2), включающая неизвестные ип тА,
ипт, м„ т+1, неявна по направлению х2 и явна по направлению х1. Следовательно, решение системы (4.2) можно получить одномерной прогонкой по направлению х2. Тогда переход с у-го временного слоя на (/+ 1 )-й осуществляется посредством одномерного метода прогонки сперва в продольном направлении, а потом в поперечном. Этим фактом и обусловливается название данного метода.
Каким образом происходит аппроксимация граничных усло вий (2.36), (2.37)? Сперва определяются разностные граничные ус
ловия на целом слое: |
|
|
«*> =v(*,„.T). ым = х (*,„,т), |
(1£»£ЛГ-1). |
(4.3) |
Затем для прогонки по направлению |
х2 требуется определить |
|
значение йпт для п = 0 и п = N. Однако задавать щт=Ц |
и ïiNm= ÿ |
нецелесообразно, так как значения « не вполне соответствуют мо менту т , в этом случае возникает погрешность. По этой причине при аппроксимации граничных условий на полуцелом слое опреде ляют промежуточное значение йпт путем вычитания уравнения (4 .2 ) из формулы (4.1):
«лт ~ («/ют «пт) ! 2 —^ 2 («пм ~ «пт)Л! 4 . |
(4.4) |
Разность в узлах п = 0 и п = N записывается следующим об |
|
разом: |
|
) / 2 - Л 2 (Ц« -Р » )Л / 4; |
|
«м» = (Y« + Ym) / 2 - Д2 (У. - ут)л / 4, |
(4.5) |
( 1 < т < М - 1 ) . |
|
4.2. Метод установления
Приведенные ранее экономичные разностные схемы были сформулированы для нестационарных уравнений. Тем не менее в некоторых ситуациях их можно использовать и для решения ста ционарных задач. Математическая физика говорит, что возможно рассматривать решение стационарного уравнения как пришедшее к установившемуся состоянию решение соответствующего ему не стационарного уравнения при соблюдении условия / —><». В этом случае сам процесс выхода на установившееся состояние сущест венной роли не играет и зачастую лишен какого-либо физического смысла, а величина т становится параметром разностной схемы и не является параметром времени. Признаком окончания счета яв ляется условие
||^лт ^пт 1 ~ ® •
4.3.Методы решения сеточных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений
Необходимость решения систем уравнений возникает во всех областях прикладной математики. В ряде случаев такие системы представляют ту задачу, которую требуется решать, иногда сама решаемая задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим систему из п уравнений с п неизвестными. В урав нении каждый член содержит только одно неизвестное, каждое не известное представлено в уравнении в первой степени. Такую сис тему принято называть линейной.
Если искомых неизвестных всего два, то каждое уравнение графически изображается линией; три неизвестных - плоскостью;
5х + 7у = 12;
(4.8)
l x + 10y = 17.
Прямые, описываемые системой (4.8), близки друг к другу. Ре шением данной системы будет х = 1 , у = 1 , однако при значениях не известных х = 2,415, у = 0 получим
(5х +1у = 12,75; [7л + 10у = 16,905.
Эта точка (х = 2,415, у = 0) не будет принадлежать ни одной из описываемых прямых. В таком случае определить численное реше ние затруднительно, а его точность будет сомнительной. Система, состоящая из трех и более уравнений, может оказаться плохо обу словленной, даже если ни одна из плоскостей не располагается поч ти параллельно к другой плоскости.
Условно принято выделять два метода решения систем линей ных уравнений: прямые (конечные) и итерационные (бесконечные). Прямые методы могут давать весьма точное решение (с погрешно стью округления), если оно существует, посредством конечного числа алгебраических действий. Итерационные методы требуют бесконечного количества алгебраических действий, приводящих в итоге к точному решению. Таким образом, при применении ите рационных методов возникает ошибка ограничения, отсутствующая при использовании прямых методов. Однако это не означает, что прямые методы всегда являются наиболее точными. Ситуация опре деляется исключительно величинами ошибок округления и ограни чения.
4.4.Прямые методы
4.4.1.Метод Гаусса (метод исключения)
Для примера рассмотрим систему, состоящую из трех уравне ний с тремя неизвестными:
° \ 1*1 + а12*2 + а13*3 = h '■> |
(4.9) |
а2Ххх+а22х2 +а2ЪХз=Ь2\ |
(4.10) |
а31хх+а32х2 +а33х3 =Ьз. |
(4.11) |
Определим множитель т2 как т2 = а2ХI ап , домножим уравне ние (4.9) на т2 и вычтем его из уравнения (4.10):
( t f 2 j ~ т 2а \ \ ) х \ ( Л 22 — |
"*"(^23 ~ т 2а \ ъ ) х ъ |
Первая скобка станет равна нулю, другие переопределим че рез а', тогда
ü22x2“Н&23Х3 — * |
(4*12) |
Заменим уравнение (4.10) на уравнение (4.12). Введем множи тель щ = а 3 1 1ап , домножим уравнение (4.9) на щ и вычтем из уравнения (4.11):
К" ™зЩ\)хх +(ап ~ тза\г) х2 + (язз -»*за1з)*з = Ьг -щ Ь х.
Заменим уравнение (4.11 ) на полученное выражение, получится следующая система:
axxxx+ax2x2+ax3x3=bx; |
(4.13) |
|
а22Х2 |
а23Х3= ^ > |
(4.14) |
&22Х2 |
*33*3 = *3 • |
(4.15) |
Новая сформулированная система уравнений (4.13)—(4,15) эк вивалентна системе уравнений (4.9)-(4.11), но отличается от нее тем, что в двух последних уравнениях отсутствует член с неизвест ным хх. Тогда можно определить неизвестные х2 и % , а хх вычислится в результате подстановки найденных значений в уравне ние (4.13). Исключим х2 из уравнения (4.15).
(«32 - »*3«22 )■*2 + («33 - "Ь«23 )*3 = К ~ ” Ч Ь 2 •
Получится новая эквивалентная система
x l + a [2x 2 + a l3x 3 = b l ; |
(4.16) |
«22*2 + «23*3 =*2 ; |
(4.17) |
//I//
«33*3 =*3 |
(4.18) |
Такая система называется треугольной. Процесс определения неизвестных существенно упрощается. Сперва вычисляется хг из уравнения (4.18), его значение подставляется в уравнение (4.17) и определяется х2. Затем из уравнения (4.16) по ранее найденным х2
и х3 находится последнее неизвестное х, :
_ |
Ъ3 |
_ |
Ь 2 — & 2 3 Х 3 . |
_ ^1 ~ а П Х 2 ~«13*3 |
|
•*3 |
// > |
л 2 |
/ |
» |
л \ |
|
«33 |
|
|
«22 |
«П |
Если «зз = 0, система уравнений является вырожденной. Пример:
x + y +z = 4;
«2х +Зу + z - 9;
х —у —z =- 2 ;
/и2 - 2 ; ( 2 - 2)х + (3 - 2)у +z = 4; => y - z = 1;
x + y + z = 4;
*y |
- z |
= l; |
—2 y —2z —- 6 ; |
||
= -2 ; (-2 + 2)y + (-2 - |
2)z = - 6 + 2; => -Az = -4; |
|
x + y + z = 4; |
|
|
• y - z = l; |
=> z= l;y = 2 ; x= 1 . |
|
-4 z = -4; |
|
|
Таким образом, было получено точное решение системы урав нений посредством конечного числа арифметических действий. В рассмотренном случае ошибки округления отсутствуют.
Рассматриваемый метод решения можно обобщить в систему из л уравнений с л неизвестными. Обозначим неизвестные хх,х2,...,х„.
Тогда уравнения запишутся в виде
'аихх+ап х2+... +ах„хп =Ьх; a21*l +а22Х2 + — +а2пХп = ^2>
anixi +a„2x2 + -+ a nnx„=bn.
Введем (и - 1) множителей mi (/ = 1...л):
Вычтем из каждого /-го уравнения первое уравнение, домно женное на /и,. Обозначим
ац =atj -т ,а{]\ b ^ b j - m h ,
где /' = 2 ,... n ,j = 1 ,... л.
Модифицированная система будет выглядеть как
a l l * l + a 12*2 + ‘ " + а \пХп ~ W *
О + Chlx 2 + — + а2пХп = К ;
О + ЛП2 ^ 2 + •••+атхп —Ъп.
Точно так же можно исключить из (и - 2) уравнений неизвест ное xi, потом из (л - 3) уравнений хз и т.д. На некотором к-м этапе в процессе исключения неизвестного хк множители будут выглядеть как