книги / Основы математического моделирования и численные методы

Поскольку
		W	dt			т d			d[N]J
dx			Ц Ч	- M - = -			dx)		dx	x î \
			dx			dx
можно записать
[ЛГ]Г —ГX— I - — [ [jv f fX— ^									d [ N ] ( x d t\
1		1 * 1		А	1	1 I	Л	JJ	dx	dx.
Тогда первое слагаемое в интеграле (3.23) преобразуется к виду
, т а	{		dV~-	'	г	'	’		JfArir
				М		J 1	dx))
		dx)
По теореме Остроградского - Гаусса имеем
				\ ИЛ/у			S1 * J		d t ' d S .
									I л dx
Здесь				dS	-	интеграл по замкнутой поверхности
тела.
Тогда для одномерной задачи
									dt \*=А>
			4 [ * л 4 ] < ^ л * г и £
				dx				. <&Л=о
		d[N]T (		d t\				d[N]T d t'		dx.
			X—		dV =SQ\X				dx dx
		V	dx V d xj				L	\

Здесь L0 - толщина стенки, SQ- площадь боковой поверхности

стенки.

С учетом полученных выражений интеграл (3.23) можно запи­ сать как

S„ N	U - S „	f[w f qrd L - S ,[ N f ( k ^ f \		= 0 . (3.24)
l ^ dx	d xj	l	\ d x jx=о

Неизвестная функция t в уравнении (3.24) определяется соот­ ношением

Так что	< = №	} .
*	< /(М {Г })	< !([*])
dx	dx	dx 1 ' '	( ' '
Подставляя формулу (3.25) в первый интеграл (3.24), имеем
	zd [jv f <ЛГ]Л		(3.26)
s0Jx		dx{T).
	dx	dx
Поскольку в уравнении (3.24) выражение S0[TV] 7			È.Y1* со­
		.	<Ь)хЛ

dt

держит множитель X— , который определяет плотность теплового

ап

потока с боковых границ, с помощью этого выражения учитываются граничные условия второго рода:

. дt

и третьего рода:

Х д п ~ а (*Р *0) ’

где q - заданная плотность теплового потока; tp - искомая темпе­

ратура границы тела; tQ- заданная температура окружающей среды.

Тогда

(3.27)

Уравнение (3.24) с учетом выражений (3.26) и (3.27) запишется в виде

	iT
r d[N]T «д?[Л7]Л
dx	dx{T}~ \[N]T qvdx-
	dx
+ ([jvf 4 + a[N]r [JV]{7} - [ЛГ]г at0p = 0.				(3.28)
Перепишем уравнение (3.28) в виде
|Х([5]Г [B\)dx + a[^f [*£? V } =
L			У
= ( - ? [A ff +(W „[A ff P		+ Jqr [N]T du.		(3.29)
V	/х=0	l
Г 1	r 1 <*[Wl
Здесь [BJ - матрица градиентов,		[BJ = -------. Для одномерного
			dx
симплекс-элемента матрица градиентов запишется как
	< ] -	ЭN,	Щ
		дх	дх

В результате получим систему алгебраических уравнений с уз­ ловыми неизвестными Т , причем число уравнений равняется коли­ честву неизвестных.

Выражение (3.29) в матричной форме запишется как M { r} = {F],

где [£] - матрица коэффициентов (в общем случае глобальная), которую называют также матрицей жесткости или для данной зада­ чи матрицей теплопроводности [АГ] = [^Г]Х+ [^ ]а ; {F} - векторстолбец (в общем случае глобальный) свободных членов (нагрузки), М = { ^ . + М , + { ^

Здесь	L		М * =«[JV]r [Лг]"^* ;			{ F } ^
= «'о[лгГ ; ^ ; W	, = - î [ ^ ] '” oI“ ; W		»	= J H	^ * -
				L
Переходим к матрице по элементам:
i ( ( [ * f + w ? ) w - w î > w r + t / i ? ) -
Здесь [*]<*>=	/ ( Х '« > [ л Г [ в Г ) * ;			М «, = а М <г>ГМ		<') ^	;
	L<*>
{ / t ’ =c“o M <') r Ï Ï t ;		{ / t =	- î M w		S ;	{ /} »	=

= \ [ N f )TqyMdx.

№

Будем считать, что X и ду постоянны в пределах элемента. Интерполяционный полином для одномерного линейного эле­

мента имеет вид

t = NiTi +NjTj=[N]{T},

	X- X:			Х , - х	х - Х ,
где N' =~ Jj p T ' Ni = Li p r ' № [ л г ,				л о ]= L(e)	É e)
LM - длина конечного элемента (см. рис. 3.14).
Градиент температуры определяется по формуле
			X j - x	х - Х ,
сЬс dxKl	1 1 ' '	dx VL	jie)	j(e)
	1	1	= [s]{r}.
	Lie)	jie)
			TJ
1	1

Здесь B -	L{e) jie) -

Определим члены уравнения для текущего элемента:

м г - \ { ^ [ в г т в г ) ч х - А

№ X,

	1	~
	L(e)	* 1	1	dx =
	1	L{e)	L(e)

		1(в)	J
J ■1	- Г	'	1	- Г
1 -1	dx =~YY			1
	1	L(e) -1
		X j - x			J
{ / } ” = / [ * ] “ % /* > & =
				_ q yL \\]
6C)	Xi	x - X t	dx =		2 1
			J
	l	I (e)

Граничные условия второго и третьего рода в МКЭ следующие:

Граничное условие на левой	Граничное условие на правой
границе элемента	границе элемента

w r - [ » r	{ / } Г = - м '‘% = -? {? };
	{/}? ’ = - " . [ " Г = -<«.{"}

3.11. Решение одномерной осесимметричной задачи электростатики МКЭ

Рассмотрим электростатическую задачу определения потенциа­ ла коаксиального кабеля (рис. 3.15). Уравнение Лапласа в цилинд­ рической системе координат запишется следующим образом:

IA	Э(|Л 1 д	Эф^	д (	Эф
	re° d 7 j +? 'd a	а дау	+ —	е.
r dr			Эг1	° Эz
где г, a, z -	координаты в цилиндрической системе координат;

ф - электрический потенциал; е0 - абсолютная диэлектрическая проницаемость, еа = ее0 ; е0 - электрическая постоянная, Ф/м, в0 =Ю -9/36я; Е - относительная диэлектрическая проницаемость.

Уа

Рис. 3.15. Поперечное сечение коаксиального кабеля

Для плоскопараллельного поля в осесимметричной постановке

Эф/Эа = 0 и Эф/Эz = 0 . Тогда уравнение (3.30) преобразуется к виду

1 d (	dq	= 0.	(3.31)
----- re—
г dry	dr _
Дифференциальное уравнение (3.31) дополним граничными ус­
ловиями
1ф = С/ при г =rÿ,
[ф = 0	при г = гг.

Необходимо найти распределение потенциала по радиусу.

Аналогом этой задачи является задача переноса тепла через бесконечную плоскую стенку заданной толщины.

Рассмотрим применение метода Галеркина к решению уравне­ ния (3.31). Подстановка формулы (3.31) в формулу (3.21) дает

			\_d_	гг-du	| V = 0 ,		(3.32)
			г dr	dr	J
где и - приближенное решение.
Поскольку
\_d_	м 1	du
г dr		гг —	1 '	г dr V	dr J	dr	dr
		dr.
[TV]7' i —		гг -du	\_d_
1 1 rd r		lb	r dr

С учетом выражения (3.33) уравнение (3.32) преобразуется к

виду

(гг — \dV = J r d r { d r)

du dV

Ifr

По теореме Остроградского - Гаусса имеем

'г dr	г — ] dS.
	8 dr ,
du^ dS	- интеграл по замкнутой поверхности
d r>

тела.

Тогда для одномерной осесимметричной задачи интеграл через боковую поверхность определится как

? K e f

						du']	(3.34)
	= 2ШЛ [JV]r ( e | f j + Ш Л [ЛГ]'
						dr J’
a объемный интеграл
d	1Г		W	. l W		d u \ rdctdzdr =
	ï l | t *
J	rir	dr )	J0J0JIJ		dr \ dr J
			*	( d [ N f		duЛ	(3.35)
		= 2nLz J				rdr.
				dr		dr J
С учетом полученных выражений (3.34) и (3.35) уравнение (3.32)
можно записать как
\ { d[N]T du		rd r -				= 0.	(3.36)
	dr dr J
Неизвестная функция и				в уравнении (3.36) определяется соот­
ношением и = [#]{£/}.
Так что
		du	4 * ] { t/} )		_ < /[*]. .		(3.37)
		dr		dr		dr

Для данной задачи на границах задаются граничные условия первого рода, поэтому уравнение (3.36) с учетом формулы (3.37) пе­

репишется в виде
I е	' d[N]T	rdr{U} = 0.	(3.38)
	dr	dr J

Здесь {£/} являются узловыми неизвестными.

Функции формы N одномерного симплекс-элемента

№ [ > , лгу] = ЯГ Г	r - R ,
L(e)	Z(e)

где Z(e) - длина конечного элемента.

Для одномерного симплекс-элемента матрица градиентов за­

пишется как
[B]= ± .[N , JV,] =	dNj_	dNj	L (e) [ - 1	1 ] .	(3.39)
	dr	dr
С учетом выражения (3.39) уравнение (3.38) примет вид
*2
j e ( [ 5 f	[B]ydr{U] =0.				(3.40)
n

Уравнение (3.40) перепишем в виде

£ (е«> [ i f {£/}={<>}).

(«)

Здесь [&](е) = | |[2?]r [Æ]j/ï/r.

àe>

Размерность локальной матрицы коэффициентов [&](е) = 2x2 . Определим члены уравнения для текущего элемента:

[ i f = J W [S]rrfr = - ^ | ‘i1|[ - l !]/«*•=■

1 ' 1 - Г г 2 *'	1		" 1	- l"
-1 1 _ 2 ^ (*»f		2	-1	1 _
1 (RJ+ S,) " 1		- Г _*Ср " 1	-Г

L (e)

-1 1 _ L (e) -1 1