книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов
.pdfКорреляционные полидисперсные приближения. В корре-
ляционном приближении искомый тензор эффективной электромагнитной связанности κ* квазипериодического композита рассчитывается по формулам (2.218), (2.220)
κ* = Φ1 [k11]
через линейный интегродифференциальный оператор Φ1 [...] (2.222), нормированная корреляционная функция k11(ρ) учитывает
особенности случайной квазипериодической структуры. Для двухфазных структур, которые различаются лишь функцией k11(ρ) , в
рассматриваемом случае с различным взаимным расположением и вариациями размеров сечений однонаправленных волокон в плос-
кости изотропии, вид оператора Φ1 [...] одинаков.
В результате подстановки различных аппроксимаций (1.98) – (1.103) нормированной корреляционной функции k11(ρ) реальной
структуры (см. рис. 1.16, з) в оператор Φ1 [...] получим соответ-
ствующие приближенные решения для тензора электромагнитной связанности композита с реальной структурой (см. рис. 1.16, з)
κ* = κI* , |
κ* |
= κII* , |
κ* |
= κIII* , |
κ* |
= pκI* + (1− p)κII* , κ* |
= κIV*. (2.233) |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
Аналогичные κ* (2.233) приближения можно записать для других тензоров {C*,..., *} (2.218) эффективных пьезоэлектромаг-
нитных свойств волокнистого композита. Решения для эффективных пьезоэлектромагнитных свойств полидисперсных структур
(см. рис. 1.16, а–г): κI* , κII* , κIII* , κIV* (2.233) в общем могут быть
получены на основе расчетной схемы самосогласования «одиночная ячейка в эффективной среде» [25; 34; 149].
Отметим, что в качестве базовой структуры вместо традиционной полидисперсной структуры (см. рис. 1.16, а) могут быть использованы другие полидисперсные структуры (см. рис. 1.16, в, г), относительно которых рассчитывается коэффициент корреляции p
(1.18) или приведенный коэффициент корреляции p• [148]. В частности, имеем значение p• 1 для корреляций реальной (см.
191
рис. 1.16, з) и модельной слоистой полидисперсной (см. рис. 1.16, г) структур, что приводит к равенству A* AIV* эффективных
свойств этих двух структур в рамках метода корреляционных составляющих (см. раздел 2.6) [148].
Осесимметричное решение для многослойной ячейки по-
лидисперсной структуры. Рассмотрим случай осесимметричного нагружения трансверсально изотропного однонаправлено волокнистого пьезокомпозита, когда на макроуровне заданы в общем от-
личные от нуля значения напряженностей электрического Ez* и магнитного H z* полей по оси симметрии z , осевой деформации *zz и относительного изменения объема * *xx + *yy при плоской де-
формации; остальные компоненты векторов напряженностей электрического E* и магнитного H* полей и тензора деформаций ε*
равны нулю. Для такого случая нагружения определяющие соотношения на макроуровне композита
* = k12* * + C1133* *zz − e311* Ez* − h311* Hz* ,
*zz = C1133* * + C3333* *zz − e333* Ez* − h333* Hz* ,
Dz* = e311* * + e333* *zz + *33Ez* + *33Hz* ,
Bz* = h311* * + h333* *zz + *33Hz* + *33Ez*.
Решения для тензоров эффективных свойств традиционных полидисперсных структур рассмотрены ранее в исследованиях [25; 34; 144; 149], поэтому здесь рассмотрим решение для новой слоистой однонаправленной волокнистой полидисперсной структуры, представленной на рис. 1.16, г. Для такой полидисперсной структуры (см. рис. 1.16, г) искомые эффективные объемный мо-
дуль плоской деформации k12* , упругие С1133* , С3333* , пьезоэлектрические e311* , e333* , пьезомагнитные h311* , h333* константы, диэлектрическую *33 и магнитную *33 проницаемости трансверсально-
изотропного композита с составными полидисперсными ячейками: F-слойными двухфазными волокнами с дополнительным внешним (F +1) слоем 2-й фазы (матрицы) и ориентированными по оси r3 –
192
можно точно определить традиционным подходом [25; 144] из решения осесимметричной связанной задачи электромагнитоупругости для одиночной слоистой ячейки или методом последовательной гомогенизации [150].
Для рассматриваемой слоистой ячейки схему последователь-
ной гомогенизации |
|
составной |
(F +1) -слойной |
|
|
цилиндрической |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ячейки представим |
|
в |
|
виде рекуррентных |
|
|
|
последовательностей |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( k = |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= k |
|
|
|
+ v |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(k +1)12 |
(k +1)12 |
|
|
|
|
|
|
|
(k ) |
|
|
(k )12 (k +1)11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
С* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) , |
|
|||||||
|
|
|
|
= С |
|
+1)1133 |
+ v |
|
|
|
(С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ k |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
(k +1)1133 |
|
(k |
(k ) |
|
|
|
|
|
(k )1133 |
|
|
|
|
|
(k )12 |
|
|
(k +1)12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
С* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
, |
||||||||||||||
|
|
|
= С |
+1)3333 |
+ v |
(С |
|
|
|
|
|
|
|
+ С a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(k +1)3333 |
|
|
(k |
|
(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
(k )3333 |
|
|
|
|
|
|
|
(k )1133 (k +1)12 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
e* |
|
|
|
= e |
|
|
|
+ v |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(k +1)311 |
(k +1)311 |
|
|
|
|
|
|
|
(k ) |
|
|
(k )311 |
|
|
(k +1)11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
e* |
|
|
|
= e |
|
|
+ v |
|
|
|
|
(e |
|
|
|
|
|
+ e |
|
|
a |
|
|
|
) , |
(2.234) |
||||||||||||||||||||
|
|
(k +1)333 |
|
(k +1)333 |
(k ) |
|
|
|
|
|
(k )333 |
|
|
|
|
|
|
(k )311 |
|
|
(k +1)12 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
h* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= h |
|
|
|
+ v |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
(k +1)311 |
(k +1)311 |
|
|
|
|
|
|
|
(k ) |
|
|
(k )311 |
|
(k +1)11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
h* |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) , |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= h |
|
|
+ v |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ h |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
(k +1)333 |
|
(k +1)333 |
|
(k ) |
|
|
|
|
|
(k )333 |
|
|
|
|
|
(k )311 |
|
|
(k +1)12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
* |
|
|
|
|
|
+ v |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ e |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
) |
, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
(k +1)33 |
|
(k )33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1)13 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(k +1)33 |
|
|
|
(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k )311 (k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
(k +1)33 |
+ v |
(k )33 |
|
|
+ h |
|
|
|
|
|
a |
|
|
+1)14 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
(k +1)33 |
|
|
|
(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k )311 |
|
(k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
= |
(k +1)33 |
+ v |
|
|
|
|
|
|
+ h |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(k +1)33 |
|
|
|
(k ) |
|
|
|
|
|
|
(k )33 |
|
|
|
|
|
|
(k )311 |
|
(k +1)13 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
где коэффициенты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a(k +1)11 = (k(k +1)12 |
+ G(k +1)12 ) / a(k +1)0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(k )1133 |
|
/ a(k +1)0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a(k +1)12 = −(1− v(k ) )C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a(k +1)13 = (1− v(k ) )e(k )311 / a(k +1)0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= (1− v(k ) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a(k +1)14 |
h(k )311 / a(k +1)0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
193 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= k* |
|
|
|
− v |
|
|
|
|
|
|
|
+ G |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k +1)0 |
|
|
(k )12 |
|
(k ) |
|
(k )12 |
|
|
|
(k +1)12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
разности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= k(*k )12 |
− k(k +1)12 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k(k )12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= C(*k )1133 −C(k +1)1133 , |
|
|
|
|
|
|
= C(*k )3333 −C(k +1)3333 ,+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
C(k )1133 |
|
C(k )3333 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
= e* |
− e |
|
|
|
|
, |
|
|
e |
= e* |
− e |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(k )311 |
|
|
(k )311 |
|
|
(k +1)311 |
|
|
|
|
|
(k )333 |
|
|
|
(k )333 |
|
|
(k +1)333 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= h* |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
= h* |
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
− h |
|
|
|
|
|
|
h |
− h |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(k )311 |
|
|
(k )311 |
|
|
(k +1)311 |
|
|
|
|
|
(k )333 |
|
|
|
(k )333 |
|
|
(k +1)333 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(k )33 = *(k )33 |
|
− (k +1)33 , |
|
|
|
= *(k )33 |
− (k +1)33 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k )33 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k )33 = *(k )33 |
− (k +1)33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
с учетом обозначений: |
k* |
k |
(1)12 |
, |
|
C* |
|
|
C |
|
|
, C* |
|
C |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1)12 |
|
|
|
|
|
|
|
(1)1133 |
|
(1)1133 |
|
(1)3333 |
|
(1)3333 |
|
||||||||||||
e* |
e |
|
|
, |
|
|
|
|
e* |
e |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
h* |
|
h , |
|
h* |
|
h , |
||||||||||||||
(1)311 |
(1)311 |
|
|
|
|
|
|
(1)333 |
(1)333 |
|
|
|
|
|
|
|
(1)311 |
|
|
(1)311 |
|
|
(1)333 |
|
(1)333 |
|
|||||||||||||||
*(1)33 |
(1)33 , |
*(1)33 (1)33 , |
|
*(1)33 |
(1)33 , |
|
|
нечетные |
слои |
ячейки |
|||||||||||||||||||||||||||||||
имеют электромагнитоупругие свойства 1-й фазы: Ck |
= C1, |
ek |
= e1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
hk = h1 , |
λk = λ1 , |
μk = μ1 , |
κk |
= κ1 |
|
для всех |
k =1,3,.., F , |
четные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
слои – свойства 2-й |
фазы: |
|
Ck |
|
= C2 , |
|
ek |
= e2 , |
|
hk = h2 , |
|
λk |
= λ2 , |
||||||||||||||||||||||||||||
μk = μ2 , |
|
κk |
= κ2 |
|
для всех |
|
|
|
|
k = 2,4,..,F +1 |
и |
|
с |
|
учетом |
||||||||||||||||||||||||||
k(k )12 |
=1 2(C(k )1111 + C(k )1122 ) , |
G(k )12 |
= C(k )1212 . |
Приведенные объемные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
доли v(k ) |
для k = |
|
гомогенизированных центральных слоев рас- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1, F |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
считываются через заданные радиусы r(k ) |
|
и r(k +1) |
концентрических |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окружностей, |
ограничивающих |
|
(k +1) -й |
цилиндрический |
слой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ячейки в плоскости изотропии, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
= (r |
|
|
/ r |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k ) |
|
|
|
(k ) |
|
|
|
|
(k +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
предельные значения радиусов: |
r(0) = 0 , r(F +1) = . |
|
|
|
|
|
|
|
Искомые эффективные модули однонаправленно волокнистого композита
194
|
k* |
= k* |
|
, |
С* |
|
= С* |
|
, |
С* |
|
= С* |
|
, |
|
||||
|
12 |
(F +1)12 |
|
1133 |
|
|
(F +1)1133 |
|
3333 |
|
|
(F +1)3333 |
|
|
|||||
e* |
= e* |
|
, |
e* |
|
= e* |
|
|
|
, |
h* = h* |
|
, |
h* |
= h* |
, |
|||
311 |
(F +1)311 |
|
333 |
(F +1)333 |
|
311 |
|
(F +1)311 |
|
333 |
|
(F +1)333 |
|
||||||
|
|
*33 = *(F +1)33 , |
*33 |
= *(F +1)33 , |
*33 |
= *(F +1)33 |
|
|
равны последним членам соответствующих последовательностей
(2.234).
Проведем численный расчет коэффициента электромагнитной связанности *33 (2.233) для полидисперсных моделей на
рис. 1.16, а–г, в сравнении с известным асимптотическим решением [11] для однонаправленного волокнистого композита с периодической структурой из пьезоэлектрических волокон PVDF в ферритовой (2.11) – (2.13) матрице.
На рис. 2.23 представлены результаты расчета (2.233) эффективного коэффициента электромагнитной связанности *33 волокнистого пьезоэлектромагнетика в зависимости от объемной доли v1 пьезоэлектрической фазы PVDF в виде волокон (I) или матрицы
(II) по известным решениям: κ*(1)33 (□), κ*(2)33 (Δ) для традиционных полидисперсных структур (см. рис. 1.16, а, б) с v1 (0;1), и новым решениям: κ*(3)33 (), κ*(4)33 (), κ*(5)33 ( • ) с объемными долями волокон v1 0,65 (I) и v1 0,35 при инверсии фаз (II). Решение κ*(2)33 (Δ) для полидисперсной структуры на рис. 1.16, б, инвари-
антно к инверсии свойств фаз. Решение κ*(1)33 (□) для полидисперсной структуры на рис. 1.16, а,
|
v1(1− v1) |
|
311e311 |
|||
κ*(1)33 = |
h |
|||||
|
|
|
|
|
||
k(1)12 − v1k12 + G(2)12 |
||||||
|
для случая (I) композита с пьезоэлектрическими волокнами в ферритовой матрице в точности совпало с решением асимптотического метода осреднения (2.85) [11] для идеальной периодической волокнистой структуры феррит/пьезоэлектрик, где разности объем-
195
ных модулей плоской деформации k12 = k(1)12 − k(2)12 , компонент тензоров электроупругих e311 = e(1)311 − e(2)311 и магнитоупругих
h311 = h(1)311 − h(2)311 свойств фаз, модуль сдвига G(2)12 2-й фазы (матрицы) в плоскости изотропии r1r2 .
v1
v
I
II
*33 , нс/м
Рис. 2.23. Коэффициент электромагнитной связанности *33 композита в зависимости от объемной доли пьезоэлектрической фазы v1 в виде волокон (I) или матрицы (II)
Таким образом, на основе проведенного анализа (см. раздел 1.3) и возможности аппроксимаций (1.98) – (1.103) корреляционных функций реальной [10] функциями модельных полидисперсных структур искомые решения для тензоров эффективных пьезоэлектромагнитоупругих свойств волокнистых композитов выражены через точные аналитические решения для традиционных и предложенных новых многослойных (см. рис. 1.16, г) полидисперсных структур. Для осесимметричного электромагнитоупругого нагружения волокнистого двухфазного композита задача расчета эффективных свойств композита сведена к решению осесимметричной задачи для одиночной многослойной двухфазной цилиндрической ячейки и, далее, к рекуррентной последовательности более простых задач на одиночных двухслойных ячейках. В расчетной схеме «одиночная многослойная двухфазная ячейка в эффективной среде» толщины и радиусы чередующихся слоев из обеих фаз вокруг
196
центрального волокна из первой фазы учитывают особенности взаимного расположения соседних волокон в реальной структуре композита. Можно провести аналогию с расчетной схемой обобщенного метода самосогласования [34] «одиночное включение (волокно) с непрерывно неоднородным переходным слоем в эффективной среде», где переходный слой также учитывает особенности взаимного расположения элементов структуры в композите. Отличие этих двух подходов состоит в том, что в обобщенном методе самосогласования непрерывно неоднородные свойства переходного слоя вычисляются через свойства, специальные локально осредненные индикаторные функции фаз и искомые эффективные свойства композита, а в полидисперсной структуре из однотипных слоистых двухфазных ячеек толщины и радиусы чередующихся однородных слоев вокруг центрального волокна из первой фазы являются параметрами аппроксимации и вычисляются из условия наилучшего совпадения корреляционных функций модельной полидисперсной и данной реальной структур.
2.7.2.2. Бинарное уточнение решения для разупорядоченных полидисперсных структур*
Фрагменты разупорядоченных полидисперсных однонаправленных волокнистых структур изображены на рис. 1.1, д–ж, рассмотрим одну из них – III (см. рис. 1.18, а), коррелированную со вспомогательной структурой I’ (см. рис. 1.18, б). На рис. 2.24, а, представлены результаты расчета нормированных корреляционных
функций (сплошные линии): k III (ρ) (○) для структуры |
III |
на |
|||
|
|
|
11 |
|
|
рис. 2.24, в’, |
k I |
(ρ) |
(◊), (+) для структуры I на рис. 2.24, а’, |
k II |
(ρ) |
|
11 |
|
|
11 |
|
(Δ), () для структуры II на рис. 2.24, б,’ и разности (штриховые линии) (), (□)
k (ρ) = kI |
(ρ) − kII (ρ) |
(2.235) |
||
11 |
11 |
11 |
|
|
при относительном объемном содержании волокон |
v1 = 0,7, |
рас- |
||
стояние ρ между точками r |
и |
r1 (1.67). Символы (◊), (Δ), |
(○), |
* Принимая во внимание исследование [55].
197
( ) соответствуют ячейке с радиусом |
R , а символы (+), |
( ), |
||||||||
(□) – ячейке с меньшим радиусом R0 |
= 0,129R кругового попереч- |
|||||||||
ного сечения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для коррелированных |
полидисперсных |
структур |
III |
||||||
(см. |
рис. 1.18, а) и |
I’ (см. |
рис. 1.18, б) используем |
специальную |
||||||
( k (3) |
) (1.88), (1.95) |
для метода |
корреляционных |
составляющих |
||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[148] нормированную корреляционную функцию 1-й фазы |
|
|||||||||
|
k |
(ρ) = |
1 |
iIII/ (r)[i |
(r ) − iI' (r )] , |
(2.236) |
||||
|
|
|||||||||
|
11 |
|
D11 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дисперсия D11 (1.15). На рис. 2.24, б, приведены результаты расчета функции k11(ρ) (●) (2.250) и ее аппроксимации (Δ), (○) в первом (Δ)
11 |
( |
) 11 |
(ρ) |
(2.237) |
k (1) (ρ) |
1− p |
k II |
и во втором (○)
k (2) |
(ρ) k (1) |
(ρ) + k (2) |
(ρ) |
(2.238) |
11 |
11 |
11 |
|
|
приближениях, где поправка (2.237) (□)
k (2) |
(ρ) p |
k (ρ) |
(2.239) |
11 |
|
11 |
|
рассчитывается через разность () (рис. 2.24, а)
k |
(ρ) = kI' |
(ρ) − k II |
(ρ) |
(2.240) |
11 |
11 |
11 |
|
|
и поправочный коэффициент p (◊) (рис. 2.24, в), найденный из
условия наилучшей аппроксимации k11(2) (ρ) (□) действительных значений функции отклонений
k |
(ρ) k |
(ρ) − (1− p)k II |
(ρ). |
(2.241) |
11 |
11 |
11 |
|
|
198
На рис. 2.24, в, приведены рассчитанные значения приведенного коэффициента корреляции (○)
p• = p + p |
(2.242) |
и его составляющих: начального p (Δ) (1.105) и поправочного p
(◊) коэффициентов для разупорядоченной полидисперсной структуры, приведенной на рис. 2.24, в,’ в зависимости от объемной доли волокон v1 .
Метод корреляционных составляющих. Тензоры эффек-
тивных пьезоэлектромагнитных и термоупругих свойств композита с полидисперсной структурой III (см. рис. 1.18, а, рис. 2.24, в’) определим на примере нахождения решения для тензора эффек-
тивных упругих свойств СIII* , решения для остальных тензоров
λIII* , μIII* , eIII* , hIII* , χIII* , κIII* , βIII* , πIII* , III* (2.17) находим
аналогично.
Запишем формулы для расчета тензоров эффективных упругих свойств композита с разупорядоченной полидисперсной структурой на рис. 2.24, в’:
СIII* = С + iIII/ ΛIII |
, |
(2.243) |
1 |
|
|
структурой на рис. 2.24, а’:
СI* = С + iI/ ΛI |
, |
(2.244) |
1 |
|
|
и структурой на рис. 2.24, б’:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СII* = С + iII/ ΛII |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.245) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
aIII |
|
|
|
|
f (1)III |
|
|
|
|
|
|
f (2)III |
|
|
|||||||||
(r) = C |
|
|
|
(r) − e |
pij |
(r) − h |
pij |
(r) |
, |
||||||||||||||||||||||
ijmn |
|
|
|
|
|
ijdb |
|
dmn,b |
|
|
|
|
mn, p |
|
|
|
|
|
|
mn, p |
|
|
|
||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
aI |
|
(r) − e |
|
|
|
f (1)I |
(r) − |
|
|
|
|
f (2)I |
(r) , |
(2.246) |
||||||||||
|
(r) = C |
|
|
|
pij |
|
h |
pij |
|||||||||||||||||||||||
ijmn |
|
|
|
|
|
ijdb |
dmn,b |
|
|
|
|
mn, p |
|
|
|
|
|
|
mn, p |
|
|
|
|||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
aI |
|
|
(r) − e |
|
|
f (1)I |
|
(r) − |
|
|
f (2)I |
|
(r) |
|
||||||||||
|
|
(r) = C |
|
|
|
|
pij |
|
h |
pij |
|
|
|||||||||||||||||||
ijmn |
|
|
|
|
|
ijdb |
dmn,b |
|
|
|
mn, p |
|
|
|
|
|
|
mn, p |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
199 |
ijmnII (r) = CijdbadmnII ,b (r) − epij fmn(1)I, p (r) − hpij fmn(2)II, p (r);
а'
k11 k11(1)
б'
k11(2)
в'
k11
k11 /r
k11(2) |
/r |
а |
б |
p p•
p
v1
в
Рис. 2.24. Нормированные корреляционные функции: k11III (○),
k11I (◊), k11II (Δ) (а), k11 (б), разности k11 (а), k11(2) (б), приведенный коэффициент корреляции p• и его составляющие: p , p
(в) полидисперсных структур (а’) – (в’)
точка r случайным образом лежит внутри некоторой фиксированной цилиндрической ячейки с радиусом поперечного сечения R , так как для рассматриваемых (см. рис. 2.24, а’ – в’) полидисперсных
200