книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность

или

4	1)*	2 , ,
З*4		4	Яч/Л ’

и при л = 2 получим выражение для критической погонной каса­ тельной силы

	2	в[!4Щ{4	.	в^Щ 4	(2.199)
	Якр~ з'/4	Ш	’	я ^ я •

Пример 2.18

►Дать оценку значения критической погонной касательной силы при кручении цилиндрической оболочки, изготовленной из изотропного материала и КМ, имеющего структуру [+<р]. Для КМ воспользоваться нитяной моделью.

	а) Изотропный материал
	Вх = ЕН;	О*	ЕНг
			(1 - Р 2)'
		1 2

Тогда согласно (2.181) получим (при р = 0,3)

	. а Г * Г _ 2 -------		^ о , 2 5 д Г А Г
41	Ы	з ,' 41 2 3'4 (1 - ц! ) /		Ш

б) Композиционный материал (см. пример 2.15)

/ ,

д кр = 0,2 3 Е к I •—I соз<р •з т 2 <р. ■

2.7.3.Осевое сжатие

Рассмотрим задачу об устойчивости тонкой многослойной цилиндрической оболочки, равномерно сжатой в осевом направ­ лении (рис. 2.67, а).

Торцы оболочки опираются на жесткие шпангоуты, запреща­ ющие радиальные смещения. При достижении осевой нагрузки критического значения оболочка теряет первоначальную форму (см. рис. 2.67, а) и переходит в другое равновесное состояние, характеризующееся существенными изгибными деформациями.

а

в

^п т т т гпг

Рис. 2.67. Сжатие цилиндрической оболочки:

а — оболочка до потери устойчивости; б—потеря устойчиво­ сти по осесимметричной форме (образование «гофр» — попе­ речной волнистости); в — потеря устойчивости по неосесим­ метричной форме (образование впадин и выпуклостей, рас­ положенных в «вафельном» порядке)

Врасчетах на устойчивость обычно анализируют два возможных состояния: первое соответствует осесимметричной форме поте­ ри устойчивости (рис. 2.67, б), второе — неосесимметричной форме (рис. 2.67, в).

Рассмотрим осесимметричную форму потери устойчивости.

Вэтом случае все кососимметричные факторы равны нулю. Де­ формационные соотношения имеют вид:

6и	_	б 2п	<1ы
е3	8> " К	1^	(2.200)
Фс5			1 х '

где ех, еу — деформации в осевом и окружном направлениях со­ ответственно; аеЛ.— изменение кривизны в осевом направлении; сох — угол поворота нормали; и, и» — перемещения координатной поверхности в направлении оси Ох и нормали 1; К — радиус обо­ лочки.

Соотношения упругости удобно представить в форме

Мх = Виех +Впву,
Му — &х + В^&у + С^Жд., 1		(2.201)
М х = Спгу + 5„геЛ,	]

где жесткостные характеристики вычисляют относительно коор­ динатной поверхности г — 0, которая отстоит от внутренней по­ верхности оболочки на расстояние

Здесь С,°, — смешанная жесткость, вычисленная относительно внутренней поверхности оболочки. В этом случае значение коэф­

фициента изгибной жесткости 2),, имеет минимальное значение

а коэффициент смешанной жесткости

С|2 = С,°, - еВ12 = С® - <7°

(2.204)

"II

Запишем вариационную формулировку рассматриваемой за­ дачи устойчивости

/

7%К\ (АЛ.8еЛ.+ Л^.бе, + Мх8эгх-Та>хЬ(йх)с1х = 0. (2.205)

о

Перемещения, аппроксимирующие форму потери устойчиво­ сти (см. рис. 2.67, б), примем в виде

=5Ш тх\

(2.206)

= итсоз тх |

где т = тп/1, т — число полуволн в осевом направлении; / — длина оболочки. Тогда согласно деформационным соотношени­ ям (2 .200) и аппроксимациям (2.206) получим

ех = - и шт $ т т х ,
1 . _
6> = и'/» ^ 5Штх»	(2.207)

х= ышт 2 51п т х ,

х = м>тт соз т х .

Аналогичным образом аппроксимируем компоненты возмож­ ных деформаций

Зе* = - 8иш/и$1 тх,

= 8м>/н -^51Птх,

(2.208)

8аеЛ.= 8и>тш2 $ т тх,

8сол. = бн^/я соз тх,

где быот, 8>у(„ — произвольные коэффициенты.

Подстановка соотношений упругости (2.201) и деформаций (2.207), (2.208) в формулировку задачи (2.205) дает после интег­ рирования уравнение

[-5 ,, тия + В12± » т^(-т5иш) +

+^-В12тит+	+С12/й2ч'да^ 8и'Я) +
+ /),,>п2м>т^(м1^6м>1Н) - Тт2у>тЬ\9П1= 0,
или
8ит [ В,1т2и„, - Вп ^		и»,,, ] +
V	~ К	)		(2.209)
+ «»„[-В ц § « „ +	+ 2СЦ ^ + Опт' - Ш 21		|	= 0.

Приравняв к нулю множители при произвольных коэффици­ ентах 8ит, 5м„ из (2.209), получим систему однородных уравнений

- В а ^ ит + (*2 2 + 2 с 12 ^ + й пт 4 - Т т 2^ , „ = 0.

Выразим из первого уравнения ит\иа1 = пт			1и получим
	V	Вп К т )
1	т2		(2.210)
Ву	+ 2С12 — + й пт4 - Т т 2 = 0,
	Ву ^ В п - В Ц В п .		(2 .2 1 1 )

Из уравнения (2.210) определяется зависимость Г от т

(2.212)

= с " " 1+ г ‘^ +2С,г1 '

Критическое значение погонной силы Т™, при котором про­ исходит потеря устойчивости цилиндрической оболочки по осе­ симметричной форме определяется минимизацией (2 .2 1 2 ) по числу полуволн от, т. е.

1т Ь * !+] ^ +2С4)-

(2-213)

Считая число от большим, минимизацию (2.209) можно вы­ полнить аналитически. Для этого определяется от, при котором

э г	2 ^ = 0 ,
Э(от)	Я2 от3

(2.214)

Подстановка (2.214) дает значение критической погонной силы, соответствующей осесимметричной форме потери устой­ чивости:

<1 2 1 5 >

Ву = Ви - & ; С1,=С,»,-С,»1 | а .

Напомним, что для многослойных пакетов симметричной структуры коэффициент смешанной жесткости С12 равен нулю.

Рассмотрим пеосесимметртную форму потери устойчивости

(см. рис. 2.67, в). Для расчета воспользуемся одним из вариантов полубезмоментной теории оболочек, в котором делается допу­ щение только о нерастяжимости оболочки в окружном направ­ лении, т. е. принимается, что

V =	(2.216)
	эу

Перемещения, соответствующие неосесимметричной форме потери устойчивости, аппроксимируем в следующем виде:

и = итпсоз тх з т пу,
у = ут„з т тх соз пу,	(2.217)
(м> = Яутпп 51 тх з т пу),
где т = /ял//; т — число полуволн вдоль оси;	= п/К; п — число
волн по окружности.

С учетом допущения о нерастяжимости (2.216) и аппрокси­ маций (2.217) запишем деформационные соотношения

	ди	_	.	_ .	_
е = — =		-тит„з т тх з т пу,
	дх
еу =0,
=	+ 1 х =			+ ”П'тп)005			008 *у '
	Э2и>		__2	.	_	. _	(2.218)
х= - —2= Япт*утпз т					тх	з т пу,
	Э2и>	1 1	Эу	п (п 2 - 1 )		уПМзтяо сзтл у ,
	ду2 + Яду			Я2
г =	Эи»= -Яптут соз тх з т пу.

Крутку % согласно полубезмоментной теории учитывать не будем. Деформационные соотношения, соответствующие возмож­ ным перемещениям 8и, 8у, записывают аналогичным образом:

8 е х = -т8иш зт тх з т пу,

бу^. = (п8итп + т8уПШ)созтх созпу,

8аех= Япт28утпзт/яхзт пу,

п[п2 - \)

у = — ^ 2— - 8 уш 51п тх з т пу,

х = - ЯШ8ут соз тх зт пу.

Соотношения упругости согласно гипотезам полубезмоментной теории представляют в виде:

Ых = Я,8„ 1

м х} = В33уху. I

(2 .2 2 0 )

м х = Вих х, [

Му жВп х у,\

где Ц, — минимальные изгибные жесткости,

0 ,^ 0 ,,- С Ц В » (/ = 1, 2).

Воспользуемся вариационной формулировкой задачи устой­ чивости

2пЛ1 \ \ [Ых8 еч. + Мху8уху + М х8 х х+МуЬэелГсох5со*)<Ыу = 0. (2.221)

0 0

Подставим в (2.221) выражения (2.218)—(2.220) и выполним операции интегрирования. В результате получим

ву-и„„ьи„, * 8ц ( я и _ + т ’ш ){пЬиш +	+	<2Ш)
«*(«*-.)
+ ОпЯ2п 2т4\>1Ш18\>11Ш+ й 22------ 3---------“ VН)15у„ш- ТК2И2т \„ п&\>		= 0.
Л4

Сгруппируем в (2.222) слагаемые при 8ит„ 8\>м„. Тогда, при­ равняв нулю множители при возможных перемещениях, полу­ чим систему однородных уравнений

(Вхт2+ В33п 2)итп + В33тп\>1т= 0,

В33тпи, В33т2 + А ,Л 2л 2/й4 + А* — ^ 4—-— ТК2п 2т2 \ = 0.

Выразив из первого уравнения

Вп'пп Вхт2 + В33п2 тп

и подставив это выражение во второе уравнение, получим

Это выражение позволяет минимизацией по числам полуволн т и числам волн п получить значение критической погонной силы Г ’р00, соответствующее неосесимметричной форме потери устой­ чивости. При больших числах т, п возможна аналитическая ми­ нимизация (2.223). Для этого функцию Т(т, и) (2.223) предста­

вим в виде
Т = аи. + Ь— +	(2.224)
и	еду + </у2

(2.225)

Положим V = х; 11= кх, где к — независимый параметр. Тогда (2.224) примет вид

=в*х+*!+з ^ л Ч а*+г И Ы Ы - (2-226)

и соответствующее значение Т будет обеспечено выполнением уравнений

{ск + 4)2

(ск + <1){ак2 + ьу

х 2

{Ь -ак2)(ск + <1)2

Исключив х, получим
4(ск + 4)(ак2 + А)				^
~Г.	. ->\, .	+	г г	=
(б -	ак2}(ск		</)2

Отсюда следует уравнение для определения к * О

к 2ас + к ■2ас! -Ьс = О,

решением которого (к > 0) будет

Ь </

а с

Стационарное значение Т (соответствующее минимуму) бу­ дет равно

'Т’НСОС_ л			1ак2 т+ УЬ _ ^2 1я2а(Я2 +Ь/а)
кр	=	4
			\7 к Т 7 = я ц с(к +<Цс)

или с учетом (2.225) получим искомое значение погонной крити­ ческой силы, соответствующей неосесимметричной форме поте­ ри устойчивости:

(2.227)

Р = Я 2 2 / Л 1 ;

= вгг/Бх -,

Замечание. Отметим, что формула для критической погонной силы (2.227) дает заниженный результат по сравнению с класси­ ческим решением, полученным по полной моментной теории

(0,447Ек2/К и 0,605Ек2/Я при ц = 0,3).

Пример 2.19

Дать оценку критических погонных усилий для многослойной композиционной цилиндрической оболочки, имеющей структуру стенки [±4570°/90°]: Л45 = к0 = А90 = А/3 (рис. 2.68, а). Как изме­ нится результат при перестановке слоев 0е и 90° (рис. 2.68, б). Для расчета воспользоваться нитяной моделью.

б

Рис. 2.68. Структуры многослойных оболочек

Выберем в качестве координатной поверхности т.= 0 внутрен­ нюю поверхность оболочки. Вычислим относительно этой поверх­ ности необходимые для расчета жесткостные характеристики.

Рассмотрим вариант (рис. 2.68, а):