книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность

решением которого при ЕХР = сопз! будет

Рх ~Е Р "*

Константу и0 определим из граничного условия ы(0) = 0, и окончательно получим и = Рх/ЕхР. Максимальное осевое пере­ мещение соответствует и(1) и равно

и	Р1
	(3.6)
	ЕХР '

Это значение соответствует абсолютному удлинению стерж­ ня А/. Из (3.6) можно получить связь растягивающей осевой силы Р с перемещением точки приложения силы

(3.7)

Сравнивая это выражение с соотношением упругости для пружины Р = сА/, где с — коэффициент жесткости, А/ — абсо­ лютное удлинение, можно заметить, что характеристика жестко­ сти упругого стержня при растяжении

ЕХЕ

(3.8)

I

Кручение

Получим основные соотношения для оценки жесткостных характеристик композиционных стержней при кручении. Рассмот­ рим деформирование произвольного замкнутого тонкостенного профиля при кручении (рис. 3.8).

Покажем, что в любой точке поперечного сечения погонные касательные усилия

N ^ .= 1 x ^ 1

А

равны. Для этого воспользуемся уравнением равновесия элемен­ та стержня. Предположим, что в одной точке сечения касатель­ ные погонные силы равны а в другой составляют И''у . Тог­ да, спроецировав все силы на ось Ох, получим

		Л ^ - Л	^ . Л = О,
	что выполняется при		= Л ^ .
		Определим результирующий		крутящий
		момент в сечении стержня от потока каса­
		тельных усилий. Выберем внутри контура
		произвольную точку О (рис. 3.9).
		Вклад в результирующий момент от ка­
		сательных сил, действующих на участке е!у,
		составит
	Рис. 3.9. К опреде­	М ^ - ё у О А - Ы ,,- 2 .5 0ВС,
		где 80вс — площадь треугольника ОВС. Обой­
	лению крутящего
	момента	дя весь контур, получим полный крутящий
		момент
		М У!9= \Н х>.0А<1у = Мху -25.,		(3.9)
		г

где Г — контур замкнутого профиля; 8, — площадь, охваченная контуром.

При упругом деформировании угол поворота сечения <р (рис. 3.8) пропорционален крутящему моменту М}|ф, длине стер­ жня / и обратно пропорционален погонной жесткости на круче­

ние С1кр, т. е.
Ф =	М кр1	(З.Ю)

Определим коэффициент приведенной погонной жесткости на кручение 01^. Для этого воспользуемся принципом возмож­ ных перемещений и приравняем работу внешнего момента

на величине возможного угла поворота 5<р работе внутренних сил на возможных деформациях:

* » « * - Я * „ * Г (3.11) ог

Воспользовавшись выражениями (3.9), (3.10) и соотношени­ ем упругости Ыху = # 33уж>., запишем

т кр1

5Ф =

* 23. ’

(3.12)

ЬУху

Д*«р

вП ‘ 25.В»

Подстановка (3.12) в (3.1 1 ) дает

г	М /кр/	^кр ЗЦ ф	. г 4у
145	С?/	23, 23,	{В 33

Отсюда п олзаем значение

С /к

(3.13)

В частном случае для тонкостенной трубы (см. рис. 3.6, а) получим

6 ^= 2 * Я > В 1У

Пример 3 ,2

►Для тонкостенного прямоугольного профиля (рис. 3.10) с использованием нитяной модели определить погонную приве­ денную крутильную жесткость (л/*,,, предельный крутящий мо­ мент и предельный угол поворота торцевого сечения.

Для вычисления мембранных жесткостей стенок профиля, как и в предыдущем примере, упростим структуру многослойных

пластинок и примем [+45$/0;]. Тогда получим

Л45 = 4А/11; Ль=7й/11.

Рис. ЗЛО. Кручение тонкостенного стержня прямоугольного про­ филя:

а — схема нагружения; б—структура сечения

Рассмотрим горизонтальную стенку В, вычислим для нее мем­ бранную жесткость

В ^ 2 Е , 1 , ± ^ е Л .

Для вертикальной стенки А будем иметь

д 4 - в м # = * 1* /н -

Определим погонную жесткость на кручение. Согласно (3.13)

получим
л( ^ ( 2 а - П 2&-11У1	_ . а2Ь2	4
ж )	= {‘‘ м й	-
Вычислим поток касательных погонных усилий		Соглас­
но (3.9)

_ " а . . " д .

у2Л ‘ 2аЬ '

Деформация сдвига вертикальной стенки А

ЛА) _ ^ху ^ х р -Н 2аЬЕ1Н '

Для горизонтальной стенки В

(в) _ ^ху _ ^ к р -П 1ху В& 4аЬЕ,А

Проверять на прочность нужно вертикальную стенку А, так как

> у ? . Вычислим деформацию е, в слоях с углами укладки ±45°:

] = УХу 5Ш ф СОЗ ф,

Л/к р 11 1

|е151= з т 45° соз 45° =

Напряжения а, будут равны

1 4аЫг

При заданном уровне допустимых напряжений а, = а, полу­ чим значение предельного крутящего момента

	Л/кв	4	аЬИах
		11
и соответствующий угол поворота
_	4аЬНах1	о,		1(а + 2Ь)	‘
”	116/ ф	~ Т Х		^

И з ги б

Получим основные соотношения для оценки жесткостных характеристик трубчатых стержней при изгибе. Дадим описание кинематики деформирования тонкостенного трубчатого стержня при изгибе. Прогиб стержня обозначим IV; нормальное переме­ щение стенки стержня — и? (рис. 3.11), касательное перемещение вдоль оси стержня — и, касательное перемещение вдоль оси у обозначим V.

Будем считать, что при изгибе сечение стержня остается плос­ ким и перемещения по окружной координате а распределяются следующим образом:

и = ©2 = ©К соз а,

V = —IV 81П ОС,	(3.14)
и ^Р Г соза,

где 0(х) — угол поворота сечения стержня; Щх) — прогиб оси стержня.

V= -И'япа

Рис. 3.11. К определению кинематики деформирования тонко­ стенного трубчатого стержня при изгибе:

а — к определению перемещения; 6 — сечение стержня до деформирования; в — сечение стержня при изгибе

Получим выражения для основных деформаций, которые воз­ никают при изгибе:

Эм	*/© о
гх = — =—		К соза,
дх	ёх	ё№		(3.15)
	Эи
			А .
	V—	= - —— + 0		з т а ,
	Ьу	У ёх	)	)

где ду = Яда . Если известны координаты точки (х, а) и функции Щх), е(х), то по соотношениям (3.15) можно определить в этой точке деформации ех, у*,..

Соотношения упругости запишем с учетом того, что окруж­ ные усилия равны нулю, т. е. Му = Впгх + В22гу = 0. Тогда

Мх = Вхех, }

(3.16)

Мху = ВпЧху>\

где Вх— жесткость стенки в осевом направлении; Вх = Вп - В\2! В22, Ви — коэффициенты мембранных жесткостей стенки трубчатого стержня.

При получении основных разрешающих уравнений, описываю­ щих изгиб трубчатого стержня, удобно пользоваться не погонными усилиями Л/р Л/ц, а приведенными силовыми факторами, такими как изгибающий момент М и поперечная сила <2(рис. 3.12).

Определим изгибающий момент М

М = 2[Ы х2Я ёа = 2|		ЛГ,Л2 со5а.ёо. = У Вх — Кг соз2а ё а ,
о	о	о

М =		(3-17)
Е /=	пК3Вх	(3.18)

— погонная изгибная жесткость трубчатого композиционного стержня.

Определим поперечную силу

(? = - 1 Мху зш а.К<1а. = | В33

+© ^зт2 а М у,

О = (7/ ^ ^ + ©),

(3-19)

— погонная сдвиговая жесткость трубчатого композиционного стержня. Как следует из полученных выражений для погонных жесткостей, наибольший вклад в изгибную жесткость (3.18) бу­ дут давать слои с укладкой <р = 0% наибольший вклад в сдвиго­ вую жесткость — с <р = ±45°.

Для получения разрешающих уравнений к соотношениям уп­ ругости (3.17), (3.19) нужно добавить уравнения равновесия. Рас­ смотрим малый элемент стержня (рис. 3.13), нагруженный рас­ пределенными погонными силами д Н/м и реакциями отброшен­ ных частей стержня.

б	Рис. 3.13. Равновесие элемен­
	тарного участка балки при
	изгибе

Приравняв нулю сумму проекций сил на вертикальную ось г и сумму моментов относительно точки А, получим

ад_

ёх

(3.21)

ах

Таким образом, относительно четырех неизвестных IV, 0 , 0, М имеем четыре дифференциальных уравнения (3.17), (3.19) и (3.21). Разрешив эти уравнения относительно производных, по­ лучим разрешающую систему дифференциальных уравнений

*9.

ёх

(3.22)

ёе м_

ёх ~ Её*

ё№ Л 0

------= -0 + — .

ёх СГ

При постоянных жесткостях ЕЛ, ОР и нагрузке я достаточно просто проинтегрировать систему (3.22) и получить обшее решение

<2(х) = -дх + О0>

М (х) = - Ц - + ()0х + М0,

(3.23)

л _ _

, 9о*2 . М0х ,

^Ш 2 Ы ' Е1

Константы (?0, М0, ©„, определяются конкретными гра­ ничными условиями задачи. При х = 0 могут быть заданы два граничных условия:

либо ЩО) =	либо 6(0) = 0О;
либо 0(0) = 0 О, либо Л/(0) = Л/0.
Аналогично, при х - I могут быть заданы:
либо Щ1) = К	либо 0(1) = О,;

либо ©(/) = 0/, либо М(1) — М

Пример 3.3

►Для консольно защемленного стержня (рис. 3.14), нагружен­

ного при х - / поперечной силой 0 и изгибающим моментом М , определить перемещение Щ1) и угол поворота ©(/). Получить матрицу жесткости. Погонные жесткости на изгиб ЕР и сдвиг ОР считаются заданными.

Как следует из расчетной схемы (см. рис. 3.14), граничными условиями задачи будут:

при х = О	ЩО) = 0; 0(0) = 0;
при х — I	(?(/) = <2; М(1) = М.	х
Рис. 3.14. Изгиб консольно защемленного стержня		*<г-7 7 7 7 7
		О

Запишем эти граничные условия с использованием общего решения (3.23) при отсутствии погонной силы (? = 0)

И^о =0; ©о = 0;

0О=0; м 0+<20[ = м.

Полученные четыре уравнения определяют все константы:

Щ = 0, 0 О= 0, (Э0 = 0, М 0 = М - (?/. Подставив эти константы в общее решение (3.23) (при ц = 0), получим

0 (*) =0;

В сечении х = I прогиб и угол поворота будут равны соответ­ ственно

012 Ш

2ЕГ + Е 1'

или в матричном виде