книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность
..pdfгде е1Г = °ДГ; е2Г = а 2ДТ — температурные составляющие де формаций; ° (/ = 1,2) — коэффициенты линейного температур ного расширения (КЛТР) вдоль осей 1, 2 ОКМ; АТ — изменение температуры от номинального значения (при котором принимает ся, что температурные составляющие деформаций равны нулю; как правило, за номинальную температуру принимают 0° или 20е С). Если соотношения упругости (3.77) обратить и выразить напря жения, то получим следующие соотношения (см. (2.53)):
о, = Е ^ + Е ^ В . - О ^ , ' |
|
02 = 1^21^1 + ^2е2 ~ а2Г» |
(3.78) |
Т12 = ^12712» |
|
г, = Е' — (1. 2); а,г =(г.а!+Е ,№ 2)&Т (1, 2);
1 “ 1*121*21
(Е,Ц21= ^ , 2).
Переведем эти соотношения в оси конструкции (система ко ординат х , у) (см. рис. 3.5). Тогда согласно (2.56), (2.57) для слоя с равномерной симметричной укладкой (в этом случае считает
ся, что |
= 0) получим |
|
|
л - ^ И 8 д + ^12е > “ а дГ> |
|
|
= Ех2гх + Е22гу - а уТ2 |
(3.79) |
Еи = Е хс4 + Е2з* + 0 12з2 + Ех\12{1з2с2 (1, 2);
Е12 = (Ё, + Ё2) 32с2 - 0 Х2з\ + Ё,р21 (а4 + с4);
Е2г = (Ё, + Ё2)з2с2 + 0 12с2 - Ех\1212з2с2;
®дт = а 1Тс2 + а 2ГЛ |
(3.80)
с уТ = о 1Тз2 + а 2гс2,| л1= 51П <р; с2 =соз2(р;
Получим выражения для погонных сил. Согласно определе нию (см. (2.58))
Мх |
= |
(*> У). |
Л |
"I, |
(3-81) |
М*у = / ^ |
= Ё т ^ Л , |
где к — толщина стенки стержня; п — число слоев; к,- — толщина слоя с укладкой ±ср,; ах, ау, т^,, соответствуют напряжениям (3.79) для /-го слоя. Записав напряжения согласно (3.79), полу чим следующие выражения для погонных сил (соотношения уп ругости для многослойного пакета с учетом температурных со ставляющих деформаций):
/V, = Вигх + Впгу - |
|
|
|
Му = В12ъх + Вп гу - ЫуТ, | |
(3.82) |
||
= В „ 1 „ , |
|
\ |
|
Л ц = Х * |А |
(11, 12, |
22, 33) |
|
— мембранные жесткости; |
|
|
|
Мхт= |
МуТ = |
|
(3.83) |
1=1 |
|
1=1 |
|
— температурные составляющие погонных сил;
ляются согласно (3.80) при <р = ср,.
С учетом того, что для стержня, работающего на растяже
ние-сжатие, погбнные силы 7^., |
равны нулю, из соотноше |
ний упругости (3.82) получим: |
|
Суммарная осевая растягивающая (или сжимающая) сила
Р = \Ы хФу = \В хгх(1у-[М Т(1у, |
(3.86) |
||
г |
г |
г |
|
где Г — контур сечения. Для случая, когда все точки сечения деформируются одинаково, из (3.86) получим искомую связь осе вой силы Р с осевой деформацией е*:
Р - ЕхРгх - Рт, |
(3.87) |
ЕхГ = \В хФу; Рт= \И т<1у. |
(3.88) |
ГГ
Приведенный коэффициент линейного температурного рас ширения композиционного стержня а° можно определить, пред ставив Ртв виде
Рт = Ех Еа°АТ |
(3.89) |
Тогда
а" = Рт/{ЕХЕЬТ).
Например, для тонкостенного профиля круглого сечения при равномерном (по у) нагреве из (3.88) получим
ЕХЕ = 2пКВх; Рт= 2пШ т.
В общем случае, когда по у нагрев стержня неравномерный, стержень будет изгибаться, и для описания его деформирования требуются другие соотношения, учитывающие деформации изгиба.
3.4. КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФЕРМЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Получим характеристики отдельного стержневого элемента ферменной конструкции (рис. 3.34).
Условно присвоим торцам стержня х = 0 и х = I номера 1 и 2 соответственно. Эти торцы в дальнейшем будем называть узла ми (по терминологии МКЭ). Будем считать, что в узлах стерж ня действуют силы Г(1) и /(2) (например, реакции отброшенных частей фермы). Перемещения узлов вдоль оси стержня обозна чим и(1) и и(2).
Рис. 3.34. Схема стерж невого конечного эле мента ферменной конст
/рукции
Для стержня, находящегося в равновесном положении, мож но сформулировать принцип возможных перемещений: работа внутренних сил на возможных перемещениях равна работе вне шних сил на возможных перемещениях. Математическая запись этого принципа для рассматриваемого случая будет выглядеть следующим образом:
\ ЪгхРЛх = 5и(1)г0) + бир)/р), |
(3.85) |
о |
|
ЛЬи |
|
бе, |
|
Лх ' |
(3.86) |
Р = ЕхЕг; ~Рт, |
|
Ли |
|
Е |
|
Лх'
Здесь и и бы — истинное и возможное перемещения; Рт— темпе ратурная составляющая осевой силы (см. (3.83)); б* и 5ех — ис тинная и возможная деформации стержня.
Подстановка (3.86) в (3.85) приводит к уравнению
<3-87)
В итоге задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти такую функцию и(х), которая удовлетворяла урав нению (3.87) при любых возможных 5и.
Положим, что жесткостная характеристика ЕХР и распределе ние температуры (а следовательно, и величина Рт) не изменяют ся по длине стержня. Приближенное решение (3.87) будем ис кать среди линейных функций. Для удобства вычислений линей ные аппроксимации функций и и бы запишем в виде
- « И Н т - |
(3.88) |
где и(1) и ы(2) — перемещения узлов; 8ы(1), 8ы(2) — возможные пере мещения узлов (т. е. произвольные числа). Соответствующие (3.88) деформации получим дифференцированием и и 5и:
. - г - т |
К » " * ) - |
(3.89) |
6в' " ^ Г |
= 7(5“<!) ' 5“с))' |
|
Подстановка (3.89) в формулировку задачи (3.87) даст урав нение
& < о [ ^ К “ им) + ?г~'а>] +
(3.90)
+8ир) |
+«ад) - Р г - 'го]=°‘ |
Поскольку в (3.90) 5и(|) и 8«(2) могут принимать произвольные значения, следует приравнять нулю выражения, стоящие в квад ратных скобках. Выполнив это, получим искомую связь узловых реакций /(1), /(2) с узловыми перемещениями и()), ы(2). Запишем эту связь в матричном виде:
'(1) |
_ ЕХР ' 1 |
-Г |
“(0 |
||
|
1 |
-1 |
1 . |
(3.91) |
|
м . |
“(Ч. |
||||
|
Матрицу
(3.92)
называют матрицей жесткости конечного элемента, а векторстолбец
Р' = [-Рт РТ]Т |
(3.93) |
— вектором приведенных узловых сил.
Рассмотрим простейшие частные случаи. Определим темпе ратурные смещения и усилия в стержне, когда:
1) стержень закреплен в сечении (1) (см. рис. 3.34) ы(1) = 0;
сечение (2) свободно, г(2) = 0; |
|
2) стержень закреплен в обоих сечениях и(П = |
(2) = 0. |
Для первого случая закрепления (при и(1) = 0, ((2) - 0) из (3.91) получаем
'(1) = " ^ - " ( 2 ) + Р Т> 0 = |
~ ? Т- |
Отсюда
,_ М _ ЕХР '
или с учетом (3.84)
ы(2) = авД77; /(1)=0.
Для второго случая закрепления (ы(1) = и(2) = 0) получим /(1) = Рт, (12) = - Р т(см. рис. 3.34), т. е. стержень равномерно сжат и осевые перемещения отсутствуют.
Рассмотрим преобразования характеристик конечного элемен та (матрицы жесткости и вектора узловых сил) при переходе от местной (локальной) системы координат (Ох) к глобальной (О^ХзХз), как показано на рис. 3.35.
Для более компактной записи воспользуемся матричной сим воликой. Кроме обозначений (3.92), (3.93), введем в рассмотре ние векторы-столбцы истинных перемещений я' и возможных перемещений 8я':
|
8я' = |
(3.94) |
Тогда формулировку принципа возможных перемещений (3.90) |
||
можно записать следующим образом |
|
|
|
8я'т ( К 'я '- Р '- 4 ') = 0, |
(3.95) |
|
где V = [/(1) /(2)]^ — вектор-столбец |
|
|
узловых реакций. Штрихом специ |
|
|
ально помечена принадлежность к |
|
|
местной системе координат О'х (см. |
|
|
рис. 3.35). |
|
*х,(У,) |
Рис. 3.35. Стержневой конечный элемент |
|
в пространственной системе координат |
В пространственной системе координат ( О х ,^ ) перемеще ния узлов (1) и (2) можно задать проекциями осевых смешений ы, и и2 на оси 0*!, 0*2, 0х3. Перемещения вдоль этих осей обозна чим Уи У2, У3 соответственно. Тогда можно записать проекции узловых перемещений в виде
^1(/) “ |
’ ^2(0 “ и(//г5 |
УЦ1) ■ иф (' - Ь |
2). |
(3.96) |
/, =С05(х, |
х,); /2 =соз(х, |
х2); /3 =соз(х, |
х3) |
|
— направляющие косинусы, определяющие угловую ориентацию стержня в пространстве:
(3.97)
*,(,), х,(1), х3(1) — координаты начального узла стержня (1); х1(2), х ^ , Хз(2) — координаты конечного узла стержня (2); I —длина стержня.
Из соотношений (3.96) можно получить
V ' + |
* V » |
- "« ('? + '> + '>) (>' - |
1. 2). |
(3.98) |
Воспользовавшись (3.97), легко доказать, что |
/,* + /2 + /2 = I. |
|||
Тогда уравнение (3.98) упростится |
|
|
||
% |
= * У - + |
+ У* Ь ( ' = 1> 2)- |
|
<3" > |
Полученное равенство позволяет вычислить осевое смеще ние /-го узла, если известны проекции этого смещения на оси 0х„ Охз, 0х3. Равенство (3.99) можно рассматривать как правило, позволяющее выразить узловые перемещения в местной системе координат через узловые перемещения в пространственной сис теме координат. С использованием (3.99) запишем
9' = Тч, |
(3.100) |
|
/3 |
о |
о |
о |
/, |
/2 |
Вернемся к исходной формулировке задачи (3.95). С учетом (3.100) и аналогичного преобразования бд' = Тбд уравнение (3.95) можно записать через новые обобщенные перемещения
5дтТт (К' Т д - Р '-* ') = <>•
Из полученного уравнения следует |
|
= К д -Р , |
(3.101) |
* = Т V ; Р = ТтР'; К = ТтК ' |
Т. |
Матрица К представляет собой матрицу жесткости стержне вого элемента, вычисленную в пространственной системе коор динат. Вектор-столбец Р содержит приведенные узловые силы (от температурного воздействия), согласованные с новыми обоб щенными перемещениями д. Поскольку в качестве компонент вектора-столбца я выступают проекции узловых перемещений на оси 0х„ сопряженными силовыми факторами, выступающими в качестве компонент вектора-столбца Р, будут соответствующие проекции. Аналогичным образом упорядочены компоненты век тора-столбца сил реакций 1 В развернутом виде матрицу жестко сти стержневого элемента и вектор приведенных узловых сил можно представить следующим образом:
|
' Ч Уз Уз I |
-V : - V ,' |
|
~к |
|||
|
Уз |
Ч |
44 г 'А |
- Ч |
-Уз |
|
|
к ^ |
Уз Уз Ч !-Уз -У з -Ч • р _ р |
~к |
|||||
-Ч |
- Ч |
-У з! Ч |
Уз |
‘,4 |
>Г ГГ |
к |
|
|
-44 |
-У з! Уз |
Ч |
44 |
|
к |
|
|
- у , -у, |
-Ч | у , |
у , |
1} . |
|
.к . |
Матрицу жесткости стержневого элемента плоской фермы по лучают преобразованиями, аналогичными рассмотренным. В ре зультате имеем (для системы координат О х^)
' Ч |
кк |
\ |
-Ч |
~кк |
Р = Рт ~к |
|
кк |
ч |
\-к к |
-ч |
(3.103) |
||
-ч |
-кк |
: |
Ч |
кк |
|
|
гкк -ч : Уз Ч ] |
и |
|
Сборку отдельных конечных элементов и определение узло вых перемещений ведут с помощью стандартных процедур МКЭ.
Пример 3.9
►В качестве примера рассмотрим расчет плоской конструк ции, состоящей из трех стержней (рис. 3.36). Нумерация и коор динаты узлов приводятся в табл. 3.1.
Таблица 3.1. Система узлов плоской конструкции |
|
|
|||||
Номер |
Номер узла |
|
Координаты узла |
|
|||
началь |
кояеч- |
начального |
конечного |
|
|||
стержня |
|
||||||
|
ного |
ного |
*■ |
хг |
X, |
Х2 |
|
1 |
1 |
2 |
0 |
I |
I |
0 |
|
2 |
3 |
2 |
I |
Ь |
1 |
0 |
|
3 |
4 |
2 |
21 |
1 |
I |
0 |
|
В узле 2 приложены силы Рх, Р2, |
|
|
|
||||
действующие вдоль осей 0х(, Ох,. В ре |
|
|
|
||||
зультате нагрева во всех стержнях уве |
|
|
|
||||
личение температуры составляет АТ |
|
|
|
||||
градусов. Жесткостные характеристи |
|
|
|
||||
ки стержней одинаковы и равны ЕХР; |
|
|
|
||||
коэффициенты линейного темпера |
|
|
|
||||
турного расширения равны а*. Узлы |
|
|
|
||||
1, 3, 4 закреплены. Требуется опре |
|
21 *Х1 |
|||||
делить перемещения узла 2. |
|
Рис. 3.36. Расчетная |
схема |
||||
Согласно исходным данным (см. |
|||||||
плоской ферменной конст |
|||||||
табл. 3.1) |
вычислим по соотношени |
||||||
ям (3.97) длины стержней и направ |
рукции |
|
|
||||
ляющие косинусы (табл. 3.2). |
|
|
|
|
|||
Таблица 3.2. Геометрические характеристики стержней |
|
|
|||||
Номер стержня |
Длина стержня / |
|
Направляющие косинусы |
|
|||
|
/, |
/2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
ь Л |
|
Л /2 |
-Л /2 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
3 |
ь Л |
-Л /2 |
-Л /2 |
Вычислим (3.103) для всех стержней коэффициенты матриц жесткости и векторов приведенных узловых сил:
• для первого стержня
1 |
-1 |
| -1 |
Г |
|
- 1" |
|
|
|
; |
р® = р Ц . |
1 |
I 4 -1 |
1 |
1 1 -1 |
2 1 |
||
.1 |
-1 |
! -1 |
1 . |
|
1. |
• для второго стержня
|
|
'о |
о |
[о |
о' |
К® |
8 V |
0 |
1 |
| 0 |
-1 |
I |
0 |
0 10 |
0 |
||
|
|
0 |
-1 |
10 |
1 |
• для третьего стержня
1 1 '-1 -Г
ЕхГ у12
К®
I |
4 |
1] 1 |
1! 1
|
'0 ' |
|
о! и |
1 |
|
0 |
||
|
||
|
-1 |
Р (3) = РТ ^
После сборки отдельных элементов получим разрешающую систему уравнений относительно искомых перемещений К„ К, узла 2 в виде
ЕХЕ *
1
, °
Отсюда
4 г V .
“ Е ХР ’
• ' |
гк п |
II |
Г— |
А — 1 |
|
|
'"Зо" 1 |
+ |
■Л)]-
Как и следовало ожидать, температурные деформации не ока зали влияния на горизонтальное смещение Ух. ■