книги / Функции комплексного переменного и их приложения
..pdfY
|
|
|
Г, |
О |
X |
о |
и |
|
|
Рис. 2.31 |
|
сохранения углов между линиями и постоянством растяжений (рис. 2.31).
Это означает, что: |
|
|
|
1) если при отображении со = / |
(z) кривые у, и у2 перехо |
||
дят соответственно в кривые Г, |
и |
Г2, то ср между касатель |
|
ными кх и к2 к кривым у, |
и у2 |
в точке z0 будет равен углу \\i |
|
между соответствующими |
кх |
и |
кг к кривым Г( и Г2 |
вточке со0;
2)если в плоскости комплексного переменного (z) возь мем бесконечно малый круг с центром в точке z0, то в плоско
сти (со) |
ему будет |
соответствовать бесконечно малый круг |
с центром |
в точке со0 |
Поэтому говорят, что конформное ото |
бражение обладает свойством консерватизма углов и подобия в малом.
Если при отображении <в = /( z ) углы между соответст
вующими направлениями равны не только по величине, но и по направлению отсчета, то такое отображение называется кон формным отображением первого рода. Конформное отображе ние, при котором углы сохраняются только по абсолютной ве личине, но направление их отсчета изменяется на проти воположное, называется конформным отображением рода [9].
Простейшим примером конформного отображения первого рода является отображение со = z, а отображение второго рода —
отображение со = z
Условимся в дальнейшем рассматривать только конформ
ные отображения первого рода.
Остановимся кратко на общих теоремах теории конформ ных отображений. Подробное их изложение и доказательства можно найти в работах [1, 4, 7].
1. Теорема Римана. Существует аналитическая функция со —/( z ) , отображающая взаимно-однозначно и конформно од
ну односвязную плоскую область D на другую G , если только ни одна из этих областей не совпадает со всей плоскостью с од ной выколотой точкой или всей расширенной плоскостью.
Имеется бесконечное множество аналитических функций, осуществляющих отображение области D на область G Един ственность отображающей функции со = /( z ) будет обеспечена, если потребовать, чтобы выполнялось одно из следующих
условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) заданная точка z0 области D |
перешла в заданную точку |
|||||||||
со0 |
области |
G , а линия, выходящая из |
z0, повернулась на дан- |
||||||||
ный угол а(со0 = / ( z 0), a rg /'(z 0) = а) ; |
|
|
|
||||||||
|
б) точка z0 области D |
и точка |
z, |
границы у |
перешла со |
||||||
ответственно в точку |
со0 |
области |
G |
и |
в точку |
со, |
границы |
||||
г |
(®о = /(*< > ), |
| = |
/ ( |
* , ) ) |
; |
|
|
|
|
||
|
в) три |
граничные |
точки |
z,, |
z2, |
z3 |
области |
D |
перешли |
||
в три граничные точки |
со,, |
со2, |
со3 |
области G (c o ,= /(z ,), |
|||||||
ш2 = / ( гг). |
~ f { zз)) |
. ПРИ этом, если при движении по гра |
|||||||||
нице у от г, и z3 через z2 область D |
остается слева (справа), |
||||||||||
то при движении по границе Г от со, к со3 через ©2 |
область G |
||||||||||
также должна оставаться слева (справа). |
|
|
|
|
|||||||
|
в случаях б) и в) функция /( z ) |
предполагается непрерыв |
|||||||||
ной в замкнутой области D |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Принцип симметрии. Пусть область D, содержаща |
в составе своей границы некоторый прямолинейный отрезок у |
|
(конечной |
или бесконечной длины), отображается функцией |
со = / (z) |
на область G так, что у переходит в прямоугольный |
отрезок Г, входящий в границу области (рис. 2.32).
Обозначим соответственно через / и L прямые, на кото рых лежат отрезки у и Г Принцип симметрии утверждает: ес
ли функция со = / (z) аналитична в области D, а также во всех внутренних точках граничного отрезка у, то эта функция ана
литична также в области D*, симметричной с D относительно прямой I , и обладает тем свойством, что любые две точки z, и z2 (из которых одна лежит в D ), симметричные относительно /, отображают в точки со, и со2, симметричные относительно прямой L.
Проиллюстрируем применимость рассмотренных выше теорем на конкретном примере.
Пример 1. В области D , ограниченной контуром у :
х2 + у 2 - 2 х = 0 , задана функция со = 3z + /.
Вкакую область перейдет D при отображении, осуществ ляемом этой функцией?
Решение. Пусть |
z = x + iy, |
со- u + iv Тогда соотношение |
co = 3z + z перепишем |
в виде |
w+ /v = 3x + z(3y + l), так что |
и = З х , v = Ъу +1. Отсюда * = у , у - — . Контур у отобразим
на контур Г :
fuY |
+fv_1l - 2 - j - 0 или ( и - З )2 + ( v - l) 2 = 9, |
- |
|
Ь ) |
1 3 J |
т.е. окружность радиусом R =3 с центром в точке
Положительное направление обхода контура у соответст
вует положительному направлению обхода контура Г В этом можно убедиться, задав контуры параметрическими урав нениями
у :JC= I-ьcosср, |
y = sincp, 0 <ср<2я, |
r:w = 3 + 3coscp, |
v = 3sincp + l, 0<ср<2я. |
Согласно принципу взаимного однозначного соответствия границ область D отобразится в область G - внутренность ок ружности, ограниченной контуром Г
Конформные отображения, осуществляемые основными элементарными функциями, подробно рассмотрены в работах [2, 4, 6, 7]. В рамках рассматриваемой работы остановимся лишь на функции Жуковского.
Функция вида
I f |
П |
(2.58) |
со = — Z + - L |
||
2 ч |
z ) |
|
являющаяся аналитической во |
всей плоскости, |
кроме точки |
z = О, где она имеет полюс первого порядка, называется функ
цией Жуковского. |
|
Производная функции Жуковского со' = 1- |
ф0 , при |
|
z 2) |
z * ± 1, а значит, отображение, осуществляемое этой функцией, везде конформно, кроме точек z * ± 1. Функция (2.58) отобража ет конформно область |z| < 1 на всю плоскость со, разрезанную
по отрезку [ - 1,1] действительной оси. Граница области - ок ружность |z( = 1 —отображается на этот отрезок, причем верхняя полуокружность отображается на нижний, а нижняя - на верх ний край разреза. Аналогично область |z| > 1 отображается на
второй экземпляр плоскости |
со, разрезанной по отрезку |
[ - 1,1], |
|||
действительной |
оси, причем |
верхняя |
полуокружность |
||
|z| = 1, Im|z| > 0 |
отображается на верхний берег, а нижняя полу |
||||
окружность |z| = 1, Im|z| <0 |
- |
на нижний |
берег |
разреза |
|
(рис. 2.33). |
|
|
|
|
|
Всякая окружность радиусом R |
1 отображается функцией |
||||
(2.58) в эллипс с полуосями |
|
|
|
|
|
1 ( |
О |
, |
, |
1 „ |
1 |
а - — |
R |
ъ= —R ---- |
|||
2 1 |
|
|
2 |
R |
|
и фокусами в точках (—1;0) |
и |
(1;0). Лучи argz = cp (кроме |
|||
Ф = 0;±-^;я) отображаются |
на |
соответствующие ветви ги |
|||
перболы |
|
|
|
|
|
^_____
cos2cp sin2 ср
71
Лучи arg z = 0, arg z = ± —, arg z = п отображаются на два
жды пробегаемые бесконечные отрезки действительной или мнимой осей.
Пример 2. Пользуясь функцией Жуковского, найти образ области
Решение. Подставим z - r - e iy в функцию Жуковского
и —— г + — coscp,
2 V |
г ) |
|
1Г |
О |
• |
V = — Г----- Sin ф. |
||
2 V |
г) |
’ |
Обходя контур сектора в положительном направлении ОАВО (рис. 2.34), получим: отрезок ОА перейдет в бесконеч
ный отрезок действительной оси, |
пробегаемый от и - +оо до |
и = 1; дуга АВ окружности |z| = 1 |
перейдет в отрезок действи |
тельной оси А'В’, а отрезок ВО перейдет в кривую
или w2 —v 2 —— (гипербола).
Согласно принципу взаимно-однозначного соответствия
границ, заданный сектор переводится |
функцией Жуковского |
в область |
|
V2 |
v < О |
и >— , |
|
2 ’ |
|
В заключение пункта Д. 2.4 остановимся на очень важном для прикладных задач конформном отображении прямоуголь ника на полуплоскость [6].
и
о
Рис. 2.34
Пусть в плоскости (Q) дан прямоугольник АВВ'А с вер
шинами в точках и - а , а + Ы, - а + Ы , где а,Ь - некоторые положительные числа.
Требуется конформно отобразить этот прямоугольник на верхнюю половину плоскости (Z ).
Как известно из теории функций комплексного переменно го, искомая отображающая функция непрерывна вплоть до гра ницы. Если обозначить через с, (/ = 1, 2,3,4) точки действитель
ной оси, являющейся образами вершин прямоугольника, то по известной формуле Шварца-Кристоффеля [2]
(2.59)
На основании общих теорем отображающая функция впол не определится, если задать образы трех граничных точек пря моугольника. Потребуем, чтобы точкам и = -а,0,а (рис. 2.35) отвечали точки z = -1,0,1 Этими требованиями определяются
три из констант, а именно:
с - 0, с3= - 1, с4=1.
Рис. 2.35
Таким образом, (2.59) запишется:
с'и = ) |
^ |
. |
(2.60) |
По принципу симметрии Римана-Шварца [4] функцию и можно аналитически продолжить через отрезок [-1,1] действи
тельной оси плоскости (Z ).
Получим прямоугольник, симметричный данному относи тельно оси (нижний прямоугольник), и формула (2.60) даст ото бражение на этот прямоугольник нижней полуплоскости. Это же отображение получим, если в (2.60) заменим и на. - и , a z на -z. Но если
-с'и = f |
d* |
0 yj(x2 - l ) ( x - c }) { x - c 2)
TO
с'и = j |
^ |
---- . |
(2.61) |
°\l(x2~l)(x+ ci)(x+ ci)
В силу единственности отображающей функции при принятом соответствии трех граничных точек функция (2.60) должна быть тождественна с (2.61), откуда следует, что
{х ~ с\){х ~ сг) = (х + с\){х + сг) и, следовательно, с2 = -с,
Таким образом,
|
|
( х - с , ) ( х - с 2) = х 2 - с ? |
|
||
и, заменяя |
с, на |
1 |
, |
можно считать положительным |
|
—, |
где к |
||||
|
|
к |
|
|
|
и меньшим |
единицы, |
представим отображающую функцию |
|||
в виде |
|
|
|
|
|
|
^ |
_ |
1 г|. |
d x |
(2.62) |
|
|
|
|
|
Теперь имеем всего два параметра: с и к Для их опреде ления имеем следующие уравнения:
d x
(2.63)
(2.64)
О
Разделив (2.64) на (2.63), приходим к уравнению для оты скания к :
Кdx
(2.65)
д’(•______ dx_______
Если А: определено, то с найдем из уравнения (2.63) (или (2.64)).
Исследуем теперь уравнение (2.65). С этой целью преобра зуем интеграл*
*j. dx
Пусть
и принимая, что 0 < у < 1 при > х > 1 в силу (2.66),
к
k'dy kdx
V i - * v
Кроме того, так как ку/х2 -1 = к 'ф - у ~ , то
Таким образом, уравнение (2.65) принимает вид
a |
‘f |
(2.67) |
dx |
°V(1-A:V)(i_jf2)
Справа мы имеем отношение полных эллиптических инте гралов первого рода к1 и к для модулей к' и к (см. п. 2.5). Ко
гда к |
растет от 0 до |
1, правая часть изменяется монотонно |
от со |
до 0. Отсюда видно, что для любого значения отношения |
|
b |
|
, ч |
— существует такое к |
из интервала (0,1), которое удовлетво- |
|
а |
|
|
ряет уравнению (2.65). Следовательно, отображающая функция имеет вид
а 2, сЬс
(2.67')
W ( ' - * v ) ( . - , 2)
Если в (2.67') принять для простоты а = к, b = к’, то имеем функцию