книги / Функции комплексного переменного и их приложения

-k\CACB +k2CRCs ,

kxCACB+ k2CRCs,

~k\CACB + k2CRCS,

dCA _ dt

dCя _

-

dt

(3.24)

dCs_ _ dt

dCи _

— k{CACB + k2CRCs,

l dt

где k\, k2 - константы скоростей соответственно прямой и об­ ратной реакций; СА, Св, Сд, Cs - концентрации соответствующих веществ.

Ставится задача определить кинетические кривые для из­

вестных	констант скоростей		к{ =0,5;		к2 =0,25 и начальных
концентраций реагентов:
СА0) = Св0) = 1 (нормальные концентрации);
С}°} =С(.0) = 0		(в начале реакции			вещества R и S		отсут­
ствуют).
Следуя работе [17], введём степень превращения х(0								ос-
новного	исходного	вещества		А в момент		времени	t	(при
С{Г = О:
	%(0 = Сл(0г!		^	(t) = (1 - с , (0).			(3.25)
Если	принять	условные		обозначения		СA(t) = y(t) =

= у{х) = y \ t = x и учесть (3.25), то систему (3.24) можно преоб­

разовать к виду
— + (&, - к 2) у 2 + 2к2у - к 2 =0.	(3.26)
dx

Уравнение (3.26) есть частный случай общего уравнения Риккати типа

	— + bx(x)y2 + b2 (x)y - b3 (x) =0,							(3.27)
	dx
	где bx(*) = bx=k2 - k x;		b2(x) = b2 = 2k2;				b3(x) = b3 = - k 2 = const.
	Тогда уравнение (3.26) допускает разделение переменных,
	которое позволяет сразу получим общий интеграл
					dy
			b,y2 + b2y + b ,
	Для нашего случая
	с - х = J				dy			(3.28)
			(к, к2)у +2к2у к2
	Преобразуем квадратный трехчлен знаменателя (3.28) пу­
	тем выделения полного квадрата:
	(*i ~к2) у 2 + 2к2у - к 2 = (кх- к 2)					У +к \ - к 2 j		кгк\
								(кх- к 2)
					\
	Используя табличный интеграл вида
	,	г	бы	1	In	и - а	+с,,
	1=	Г—=----т =				и + а
		и 2- а 2		2а
	получим для (3.28)
	1 =	J-	d \ У			+ к}	к2
	(*1 к2)		У +				7*2 *i
					к2 j		(кх - к2
			к]

Подставим исходные данные в уравнение (3.28): 7*i -к2 =70,5-0,75 = 0,35;

k2 -yfQTy	_ 0,25-0,35
кх- к 2	~ 0,5-0,25 '
к2 ■*"yjк2кх ^ 0,25 + 0,35
кх- к 2	~ 0,5-0,25

Получим с —JC= 1,43 - In У-0,4 у + 2,4

Найдем теперь постоянную С] из начальных условий у(0) = 1; отсюда С, = 1,43-lnO, 176 = -2,47.

Выражая у как функцию от х, получим

0,4 + 0,118-е~°’7*

1-0,49-е43'7-'

Сделаем окончательную замену

0,4 + 0,118-е~°'7'

1-0 ,49-е'0'7'

Взаключение отметим, что рассмотренные задачи п. 3.2 привели нас к трансцендентным функциям, взятым над полем

действительных чисел.

3.3. Некоторые нелинейные системы дифференциальных уравнений первого порядка

вприкладных задачах химической кинетики

Врамках этого пункта остановимся лишь на задачах, встречающихся в химической кинетике, которые классифициро­ ваны в табл. 3.1. При этом будем придерживаться общих заме­ чаний, сформулированных в п. 3.1.

Задача 1. Найти концентрации С|} С2, С3 реагирующих веществ для реакций типа I табл. 3.1 при постоянной температу­ ре Т =Т0 = const и приведенных скоростях реакций К* - К \ =

= К] = 1 для заданных начальных условий:

^ ( 0 ) Л ; у2(0) = ^ ; у3(0) = | .

С учетом табл. 3.1 составим следующую систему:

dу,

- ± = -у 2+У3,

ах

^ = У ? ~ У г - r , ( 0) = Уг(0) = J , У,(0) = J

(3.29)

dy3

dx = ^i -З'з-

Легко проверить, что система (3.29) удовлетворяет услови­ ям теорем Пеано и Осгуда. Следовательно, она разрешима.

Решаем эту систему методом интегрируемых комбинаций [9]. Вычитая из первого уравнения (3.29) системы второе и складывая с третьим, получим

— -	=	0. Отсюда у, у 2 + у 3 =с,.	(3.30)
dx	dx	dx
Используя это равенство, находим
	у, =с, +с2ех,
	<у 2 =С\ + (2с,с2х + с3)ех + с\е1х,		(3.31)
	Уъ=У7-У\+С\'

Выделим теперь из общего решения системы (3.31) частное решение, используя начальные условия (3.29)

Г1 2 - с 2 +С|,

<^ = с ? + с з - с 2,

(3.32)

Решение системы (3.32) дает с, =1;	с2 =	с3= —
Подставим найденные значения с,,	с2 и с3 в систему (3.31)

Л “ 1- * + — е - х - - * е - 2 * ,

ч

у 3=1-хе-х - - е ~ 2х

34

Сучетом обозначений кинетики химических реакций полу­ чаем ответ:

с,(0 = 1-0,5<Г',

<c2(0 = l-Oc + 0,5)e''-0,25e"2\

(3.33)

c3(t) = 1-хе~‘ - 0 , 25е~2'

Задача 2. Задача о нахождении концентраций реагирую­ щих веществ как функций времени t при постоянной темпера­ туре и приведенных скоростях реакций (равных единице).

Остановимся на задаче второго типа системы (3.6) из табл. 3.1. Система имеет вид

а^у- = ф - с ) у 2у 3,

QX

. Ь^ = (с - а )у 1Уз,	(3.34)
ах
с ~т^ = (а ~Ь)У\У2,
due
где у {, у 2, у 3 - концентрации реагирующих веществ,	t = х -

время, а, Ь, с - некоторые действительные произвольные пос­

тоянные.

ешаем систему, как и в случае задачи 1, методом интегри­ руемых комбинаций. Система (3.34) удовлетворяет условиям теорем Пиано и Осгуда, следовательно, она разрешима. Умно­ жим первое уравнение системы (3.34) на у х, соответственно

второе ~на у 2 и третье - на у ъ и сложим. Приходим к первой комбинации

dy	dy
dx	dx	dx:
Отсюда
аУ\ + by2 + су2 —c ,.			(3.35)

Составим теперь вторую интегрируемую комбинацию, для чего первое уравнение системы (3.34J умножим на а , второе

уравнение умножим на Ъ и третье уравнение умножим на с и сложим

a V , ^	+ 6!>!	^	+ c1> , ^	= 0.
Hr	2	дх	J
Отсюда			dx
a 2y l + b 2y l + c 2y l = c 2.				(3.36)

Объединим полученные комбинации в систему

\ау2+Ьу\ +су2 =с„

(3.37)

\ a 2y 2+b ly 2 y c 2y l = c 2.

Для простоты дальнейшего изложения положим в системе (3.37) о = 1; b = - 1; с = 2. Тогда система имеет вид

у] - у 2+ 2у\ = с,,

(3.38)

у \ + у \ + *у\ =с2.

Решаем систему (3.38) относительно у 2 и у3. Складываем пер вое уравнение системы со вторым

2у] + 6уг	= с, + с2,	_Cj+c2 - 2 у,2	(3.39)
		отсюда у\ =

Умножим теперь первое уравнение на 2 и вычтем из второ­ го, получим

- у ] + Зу2 = с 2 - 2сI. отсюда у\ =^ —2с-' +- У] . (3.40)

Тогда из (3.39) и (3.40) найдем

у з =± 1	<	; Т2 =±1	\сг - 2 с {+у,
			(3.41)

Условимся в дальнейшем в равенстве (3.41) выбирать только положительные знаки. Найденные значения у 2 и у3 подставим в первое уравнение данной системы

	dyL = _3 /с, + с22yf				\с2- 2 с х+уI2	(3.42)
	dx				3
	Возведем в квадрат равенство (3.42) и преобразовав
	получим
	4У|	= 1 ( с\ + С2 ~ 2У\ )(С2 ~ 2с\ +У\)-				(3-43)
	dx
	Для уравнения (3.43) введем обозначения
		\с,+с2=а,
		[с2 - 2 с( = Ь.
	С учетом обозначений уравнение (3.43) запишется так:
			f г,	\	. ab
		( y \ ) 2 = y t -	61	L	У, + у	(3.44)
			—+ 6
			2

Если теперь ввести дополнительные обозначения

	то равенство (3.44) можно записать так:
	(т!)	= У\ + АУ\ +В		(3.45)
	Пусть правая часть (3.45)	есть	функция Ц>(У\) = У? + АУ\ +В-
	Если подвергнуть у , дробно-линейному преобразованию [6]
	а и, + р			(3.46)
	уи]+6 , D =
	то рациональная функция	ф(>,1)	превратится в некоторую ра­

циональную функцию от и, и корня квадратного из какого-то нового многочлена. При подходящем подборе чисел а , Р, у

и 6 можно получить этот многочлен в виде

'¥ (и\) = Ъ0и? + 46lwI3 + 662м,2 + 4Ь3у + Ь4

(3.47)

Коэффициентами преобразования (3.46) естественно рас­ порядиться так, чтобы новый многочлен имел особо удобную форму. Такой формой является каноническая форма, записанная в виде

'r(«,) = 4 « ! - g 2u , - g 1.

(3.4S)

В (3.48) g 2 и g 3 назовем инвариантами, которые определяются

через коэффициенты функции	равенства (3.47)
ёг ~ Ъ0Ъ4- 4Ь}Ь3+ ЗЬ2,		(3.49)

КЬ2

ёг =

Ъг Ъг

Ъ2 Ъъ ЪА

Введем величину

g\

g l - v g l

и назовем ее абсолютным инвариантом.

Таким образом, мы показали, что уравнение (3.45) может

быть преобразовано к дифференциальному уравнению
/ , 2 = 4 ^ - g 2y , - g 3,	(3.51)

которое приводится к функции Вейерштрасса х(х)- Из этого уравнения вытекает, что

Х = ± 1 I з ^	(3.52)
V4Ti - g 2yi~g3

где у х= х(* + С*), х{х) - функция Вейерштрасса.

Интеграл (3.52), называется эллиптическим интегралом первого рода, рассмотрен нами в пункте Д. 2.4.

Зная решение у^ формулы (3.52), не составит труда найти у2 и уз системы (3.34). Таким образом, задача полностью решена. Отметим то обстоятельство, что функция у(М|) - есть многочлен четвёртой степени, не содержащий кратных корней.

В заключение этого пункта остановимся на частных слу­ чаях полученного уравнения (3.43)

Пусть —= b , тогда можно записать

Ш

= ( * - л г) или^ = ± (г’- л 2)

(3'53)

и уравнение распадается на два уравнения (случай кратных корней)

i6dx-‘ = b - y ; ,

			4уi _ .. 2			,
			~7~		У\ ~ b
			ax
Решаем сначала уравнение (3.54)
			dyx		-\dx + c'3
		^ У\~Ь
(интеграл типа {	dи		= — In		u - a		* \
					ил-a	+ c ).
и12- a 2			2a
1	In	Уl	-4ъ	——x + c
Отсюда
24b		УI	■ 4b

Выразим y\

1+ c3e -2уГЬх

Уi = l - c 3e - 2 y f b x 9

(3.55)

(3.56)

c ' l S

где съ —z?е 3

Функция у i будет существовать при условии, что

1 - съе~2'^’х Ф 0, отсюда с3е~2^ х Ф 1.

С учетом введенного обозначения Ь = с2 - 2с, окончатель­

но получим
		1 + с3е~2'1с2~2с'х
	У\ =		(3.57)
		\ - с ге~2^Сг~1с'х
Найдём
Пт	у | =	1 + с,е°	1 + С-, = с = const,
д:—>0		1 -с 3е	1 -с 3
		Xlim- t - K O ^	1+ 0
			~~\—о = 1‘
			1—0