книги / Функции комплексного переменного и их приложения

щую через начало координат параллельно вектору скорости на

бесконечности, и окружность х2+ у 2 = R2 В точках ±Re,a пе­ ресечения этих линий скорость

Ае~а‘ ■й3

/• (* ) = .V"

Z2

обращается в нуль, во всех же других точках плоскости она от­ лична от нуля.

1.2.2.Гидромеханическое истолкование простейших особых точек

Вэтом пункте остановимся на истолковании простейших особых точек аналитической функции как источников стоков или вихрей. Сначала рассмотрим логарифмическую особенность (точку разветвления бесконечного порядка).

Пусть / (z) = Ln z ; эта многозначная функция определена

в области 0 < |z| < оо , имеет однозначную производную

/'( z ) = — и, следовательно, может рассматриваться как ком- z

плексный потенциал некоторого установившегося течения жид­ кости. В данном случае потенциал скоростей однозначен:

ф(х,.у) = In|z[, а функция тока многозначна: ц/(*,>>) = Argz Линии равного потенциала In|z[ = const или |z| = const

представляют окружности с центром в начале координат, а ли­ нии тока - прямолинейные лучи Argz = const, так как скорость

в точке z есть

' w - i - i ? ’

и, следовательно, направлена по лучу Argz = const от начала

координат к бесконечно удалённой точке со скоростями весьма большими вблизи начала и весьма малыми вдалеке от него

k ' M b n . Такая картина заставляет рассматривать одну из

точек разветвления функции Lnz , а именно точку z = 0, как ис­ точник жидкости, а другую z = со как сток жидкости.

Чтобы определить мощность источника или стока, подсчи­ таем поток жидкости, протекающей через произвольную окруж­ ность у с центром в начале координат. Этот поток [7]

f- V dx + Udy = Im \ f '( z ) d z	(1.8)
Y

Отсюда сделаем вывод: через окружность сколь угодно ма­ лого радиуса с центром в начале координат протекает за одну секунду количество жидкости, равное 2п. Полученное число рассматриваем как мощность источника z = 0, откуда жидкость выбрасывается с бесконечно большой скоростью, или как мощ­ ность стока z —оо, где жидкость исчезает (с нулевой скоро­ стью).

Если вместо функции Lnz рассмотреть в качестве ком­ плексного потенциала функцию F(z) = -/L nz, то потенциалом

скоростей будет функция ср(х,у) = ReF(z) = Argz, функция то­

ка	v|/(jc,y) = Im F(z) = —ln|z| и скорость в точке z будет равна
i	IZ . В этом случае линии равного потенциала есть прямо­
z

линейные лучи, выходящие из начала координат, а линии тока - окружности с центром в начале координат.

IZ

Так как скорость —г- направлена в положительную сторо­

ну по касательной к соответствующей окружности, то каждая частица жидкости движется по окружности с центром в начале координат, обращаясь вокруг него в положительном направле­ нии (против хода часовой стрелки). Скорость частиц попрежнему весьма велика вблизи начала координат и весьма мала вдали от него. Вследствие этого время, затраченное на пробег

окружности, есть 2кг	1	2
	: —= 2кг	и, следовательно, растёт про-
	г

порционально квадрату радиуса окружности. Можно показать, что источники и стоки в этом случае отсутствуют. Для циркуля­

ции скорости вдоль произвольной	окружности	у с	центром
в начале координат получаем величину
Jt/dx + Vdy =Re J/'(z)dz	=	2к.	(1.9)

Так как величина циркуляции остаётся одной и той же как для окружностей |z| = г сколь угодно малых радиусов, так и для

сколь угодно больших, то и начало координат, и бесконечно удалённую точку можно рассматривать как вихревые точки рас­ сматриваемого течения, а величину 2к —как интенсивность вихревой точки (той или другой).

Перейдём теперь к случаю источника и стока любой мощ­ ности т, помещённых в двух заранее заданных точках плоско­ сти, или к случаю двух произвольно расположенных вихревых

точек с данной интенсивностью Г

Первым соответствует комплексный потенциал — Ln-—-

(а -		Ъ	-		2к	z - b
	источник,			сток), вторым - комплексный потенциал
Г	z —а	Ъ	-	ч	_г	точках
---- Ln------ (я,				вихревые точки).	При заданных
2к1	z - b
z = я,	z = Ъ общая картина линий равного потенциала и линий

равного тока в этом и другом случаях одинакова (рис. 1.2). Од­ нако в первом случае линиями тока являются дуги окружностей, соединяющих точки а и 6, а линиями равного потенциала - ор­ тогональные к ним окружности. Во втором случае, наоборот, последние линии являются линиями тока, а первые - линиями равного потенциала.

Рассмотрим теперь комплексный потенциал, равный сумме двух указанных выше:

( U 0 )

2л z - b

Для него точки а и Ъ можно рассматривать как вихреисточники,

аименно как совмещение источника (или стока) мощности т

свихревой точкой интенсивности Г Здесь потенциалы скоро­ стей и функции тока равны соответственно

	т	z - а	Г	z - а
	I n	+ — Arg----
		z - b 2п		z - b
У{х.у)	т Arg z - а			z - а
	2л	z - b		z - b

Линиями равного потенциала и линиями тока являются два вза­ имно ортогональных семейства, так называемых двойных лога­ рифмических спиралей, навивающихся на точки а и Ь. На рис. 1.3 изображены три кривых одного семейства и одна кривая другого семейства.

Перейдём теперь к гидромеханическому истолкованию по­ люса аналитической функции.

Пусть

= (TW- IT )	z _ a	( 1.11)
Z 7E	Z — О

комплексный потенциал, соответствующий двум вихреисточникам в точках а и Ь. Представим (1.11) в виде

,_ч _ (w -/r)(f> -g )	Ln (z - а) - Ln (z - b)
2n	b - a

будем считать, что b стремится к пределу а и при этом m - iT стремится к бесконечности так, что произведение

(я ? -/г )(6 - а ) будет иметь конечный, отличный от нуля пре­ дел Reia Тогда в результате предельного перехода получим

	функцию
	F(z)	Re”	1	( 1.12)
		2 к	z - а

имеющую единственную особую точку, а именно простой по­ люс в точке z = а. Отсюда простой полюс можно рассматривать как слияние двух вихреисточников с одинаковыми, неограни­ ченно возрастающими интенсивностями.

Тот же результат можно получить, если отправляться толь­

ко от источника и стока	= о) или только от вихревых точек
(га = 0).
Полагая z - а = р • е1д	запишем	потенциал скоростей
и функцию тока в виде
— / ч ^ -=/	\ R cos(a-0)
<D(z) = ReF(z) = — • —		p
	Z n
		(1.13)

z к

p

Рис. 1.4

Из (1.13) следует, что линии равного потенциала и линии тока

R cos(a-0)

---- ------ ------ - = const,

2л	р
R_	sin(a-0)
2л	= const
	Р

представляют собой два семейства ортогональных окружностей

р = с, cos(a-0), p = c2sin(a-0).

Причём окружности первого семейства (линии равного потен­

циала) касаются в точке а вектора iRe'a , выходящего из этой точки, а окружности второго семейства (линии тока) касаются в той же точке вектора Reia (рис. 1.4).

1.2.3. Общее решение задачи об обтекании кругового цилиндра

Пусть требуется найти комплексный потенциал для тече­ ния жидкости в области \z\ У R в предположении, что скорость

в бесконечно удалённой точке есть U + iV и в области

/?-<|z| -<оо отсутствуют источники, стоки и вихревые токи. То­

PNRPU

гда для производной /'( z ) комплексного потенциала, являю­

щейся сопряжённой со скоростью в точке z, получим, что она должна быть однозначной аналитической функцией в области

7?^|z|^oo, принимающей конечное значение U - i V в беско­

нечно удалённой точке. Следовательно, бесконечно удалённая точка является правильной для неё, в результате получим

/ '( z ) = t / - / r + 4 - + 4 +4 + -

		Z	Z	Z
откуда
f { z ) = { u - i V ) z + AxL			n z - ^ - ^ - . . .		(1.14)
В равенстве (1.14) приняли постоянную интегрирования
равной нулю.	Чтобы	получить	из	(1.14) функцию	тока
v|/(z) = Im /(z ),	положим
z = г •е'0,	Ах= а, + (Ъ,, А2 - а 2 + ib2, А3 = а3 + ib3....
Будем иметь
ц/(ге'в) = C/rsin0-Frcos0 + <3|9 + i, Inг + — sin 0 -
b	o		b
— —cos 0 + —^r-sin 20--- ^-cos 20 + ...=
r		2r2	2r2
		b + Vr2		Ur2
= ax- 0 + fe, ln r— ------- cos0 + <32 н------ sin 0 -
		r		r
	—-Vcos 20 + —Vsin 20 - ...
	2r2	2r2

Так как окружность \z\ = R является одной из линий тока, то

функция у(ге'е) должна сохранять постоянное значение при

r - R и любых значениях 0. Из найденного разложения для

сходящегося при г у R, следует, что мы удовлетворим

поставленным условиям, если положить

а,= 0, b2+VR2 =0, а2 + UR2'= 0; ^ = 0, а2= 0,...

При таком выборе коэффициентов получим

/ (z) = ibxhnz +yJ - iv)	( u +iV^R2
	9
	Z

где б, - произвольное действительное число.

Для производной /'( z ) составим выражение

ib	-	-	( u +iv )R 2
f { z ) = —	+ U - i V - - ------ (1.15)
z			z
откуда находим
Jf ( z ) d z =		J - ^ ^ = -2716,.
|z|=r		|z|=r	2

Поэтому поток жидкости через окружность |z| = r равен нулю,

а циркуляция скорости вдоль той же окружности равна -2кЬх.

Подбирая подходящим образом Ьи можно получить любое,

наперёд заданное значение циркуляции Г: —27 С = Г , откуда

р			можно записать в виде
ibx= ---- : Следовательно, /( z )
2ni
------	f		iV)z +	(u + iV)R2	(1.16)
f ( z ) =-----hnz + \U -				- ---------- J- — + c ,
	2 n i	v	'	z

где введена ещё произвольная постоянная С.

Комплексный потенциал представляется здесь в виде сум-

Г .

мы чисто циркуляционного течения -----Lnz , соответствующе2я/

го вихрям с интенсивностью Г в начале координат и в беско­ нечно удалённой точке, и течения без циркуляции

(Tj + iV)R2

\U - iV)z +--------- -— , найденного в п. 1.2.1.

Покажем теперь, что формула (1.16) даёт наиболее общее решение задачи об обтекании цилиндра с заданной скоростью

U + iV	в бесконечно удалённой точке и с заданной циркуляци­
ей Г	Пусть	(z) - комплексный потенциал, удовлетворяю­
щий тем же условиям. Тогда разность			/ j '( z ) - / '( z ) , сопряжён­
ная с	разностью скоростей частиц		жидкости, участвующих

в первом и во втором движениях, является однозначной анали­

тической функцией в области |z|>-i?,	обращающейся	в ноль
в бесконечно удалённой точке. Следовательно,
Ш ~ Г ( г )	+ ...
откуда
\(f;(z) - f'{z))d z = l ^	= 2nicl,	(1.17)
Y	Y Z

где у - произвольный замкнутый контур, содержащийся внутри

окружности |z| = R .

Так как циркуляции двух скоростей вдоль у должны быть равными между собой, то

R e j ( /7 ( z ) - / (z))dz = -2 тс Im <:,*=(>,

у

т.е. сх является действительным числом.

Для разности комплексных потенциалов /J ( z ) - /( z ) по­

лучим

f\{z) - f { z) = co+ci L n z ~ —	2z	О-18)
z

и для разности их мнимых частей, т.е. функции тока, 8(r,e) = Im (/;(z)- /( * ) ) =

= у0 + с ,0 -— cos0 + — sin9 --^-cos29 + -^y sin 2 0 -...							(1.19)
г		г	2г~		2г
где через р обозначены действительные					и через у7	мнимые
части коэффициентов Cj.
По смыслу задачи окружность				г = R	должна быть линией
тока для каждого из рассматриваемых течений,						поэтому
8(r,0) = const = с. Но из разложения (1.19) для 8(г,0)						следует,
что 8(г,0)-с,0	есть однозначная функция от z = r-e'e					В част­
ности, однозначной		функцией 0		должна быть и		функция
5(R, 0) - с, 0 = с - сх0 , откуда следует, что с, = 0.
Итак,
5(r,0) = у0 - — COS0+ — sin0--^r-cos20 + -^r-sin20 -__
	г	г	2г		2г
Мы видим, что 8(г,0)			- однозначная гармоническая функ­
ция в области	r>- R,	сохраняющая		постоянное значение			С на
окружности г -	R.
Отсюда следует, что 8(г,0) = const, а поэтому и аналитиче­
ская функция	/ ] ( z ) - / ( z ) ,		мнимой частью которой			является
8(г,0), есть постоянная. Итак,
, ,		Г	/ -	-ч	(u + iv )R 2
/i(z) = /( z ) + C' = -----Ln z + ( u - i v ) z + ±---------— + C",
		2ni	v	'	z

что и требовалось доказать.

Для потенциала скоростей и функции тока течения, опре­ деляемого (1.16), имеют место следующие выражения: