книги / Функции комплексного переменного и их приложения

( 1.20)

Следовательно, уравнения линий равного потенциала и линий тока имеют вид

При Г = 0 мы рассматривали эти уравнения в п. 1.2.1, при

Г ф 0 - это трансцендентные кривые, вид которых зависит от

соотношения между Г и [/ + /7 Пусть V - 0 (к этому соотно­ шению можно прийти посредством поворота осей координат), найдём критические точки течения, т.е. те точки, в которых ско­ рость обращается в ноль. Из выражения скорости

следует, что эти точки удовлетворяют квадратному уравнению

- 2	р _	^ = z - R 2 = 0 ,
Z	----= z —R2 = 0 или z1 +
	2niU	2%iU

откуда

z

ются чисто мнимыми, причём из соотношения z, • z2 = -JR2 вид­

но, что только одна из них лежит вне окружности |z| = R, т.е об­

ласти, занятой жидкостью. Линии тока для этого случая изобра­ жены на рис. 1.5.

Если	Г\ = 4nR\U , то	получим лишь одну критическую
точку, лежащую на пересечении окружности			z =/? с мнимой
осью (рис.	1.6). Наконец,	при Г<4 л/ ? U	существует, как

и в случае потока без циркуляции, две критические точки, ле­ жащие на окружности |z| = /? симметрично относительно мни­ мой оси (рис. 1.7)

± \R2 -	\ 2	Г
		+ i
4nU		4л: С/*

Задача, рассмотренная в п. 1.2.3, будет конкретизирована

идополнительно исследована в п. 2.3.1 прикладных задач.

1.3.Определение подъёмной силы крыла самолёта

Вкачестве второй классической задачи рассмотрим задачу аэродинамики по определению подъёмной силы крыла самолё­ та. Эту задачу обобщим на основании п. 1.2.3.

Пусть L - замкнутая жорданова кривая плоскости (Z) [20];

требуется построить комплексный потенциал потока жидкости

(газа), обтекающего L и имеющего заданную скорость	U +iV
в бесконечности. Отобразим конформно (см. п. Д. 2.4)	внеш­

ность L на внешность единичного круга |/| > 1 так, чтобы точка

г = оо перешла в точку t =да.

Пусть t = F{z ) - функция, осуществляющая отображение.

В окрестности точки z - оо она будет иметь разложение вида

F[z) = c,z + с0 + —	+ -~Y +...	(1.21)
z	z

где в (1.21) с, ^0.

Положим для определённости, что коэффициент сх есть

действительное положительное число, т.е. ^'(о о ^О . Указан­ ными условиями F {z) определится единственным образом.

Чтобы свести этот случай к отображению внутренности жорда-

новой	кривой на внутренность					круга,		достаточно		прибегнуть
к вспомогательным			отображениям				z = —-— , где			z0 - точка,
								z - z 0
		r	и t	,	1
лежащая внутри L,
При этом отображении искомый комплексный потенциал
/( z )	перейдёт в комплексный потенциал потока, обтекающего
единичный круг и, следовательно, будет иметь вид
			/ м = / ( ^ ' ( 0 ) = ч > ( ' ) =
			-Lnt + l u - i v ) t						+С	( 1.22)
		2 71/			\	>			t
(см. формулу 1.10).
Так как
		ф.Н	= т7„,г = 4			4	= _	Ь £ _ ,
					f ( « )		F'W -')F(I )
то найденную функцию перепишем в виде
, / ч		Г	/ .		U - iV		. .		U + iV	+ С . (1.23)
f		= ^ ~ LnF{^			+ w ~ T ' F (2У+
		2m			F (со)				F (oo)-F(z)

В формуле (1.23) помимо произвольной постоянной С, не иг­ рающей никакой роли, фигурирует ещё действительный коэф­

фициент Г Покажем, что его следует выбирать равным цирку­ ляции скорости потока вдоль любой замкнутой кривой, заклю­

чающей внутри кривую	L, например, вдоль образа уг
окружности |г| = г > 1 при	отображении z = F~x(/) . В самом
деле [7]

J / ' (z) dz =Var/ (z) = — VarArg F (z ).

у

Уг

2 n уг

Но когда z обходит уг однократно в положительном направле­ нии, t = F ( z ) обходит окружность |/| = г однократно в том же направлении, поэтому

VarArgF (z) = 2п и	J/'(z)d z = r ,
gr	Уг

откуда и следует наше утверждение.

Итак, поток жидкости, обтекающий контур L, определяется формулой (1.23), где Г - циркуляция потока, U + iV - скорость в бесконечно удалённой точке и F(z) - функция, конформно

отображающая внешность контура L на внешность единичного круга так, что

/г(оо) = оо и F /(oo)>0.

Применим эту формулу к нахождению комплексного по­ тенциала потока, обтекающего профиль Жуковского - Чап­ лыгина.

Чтобы построить такой профиль, рассмотрим две окружно­ сти у и у' плоскости £,, одна из которых у проходит через точ­ ки ±1 и касается окружности у' изнутри, в точке 1.

При отображении z = ~	1 )
	£ + — (см. п. Д. 2.4) окружность
	и

у перейдёт в дугу 8 окружности с концами ±1 и внешность у конформно отобразится на внешность 8. Следовательно, ок­ ружность у' отобразится взаимно однозначно на некоторую замкнутую кривую 8', принадлежащую внешности 8 (за ис­ ключением одной точки z = 1, общей с 8). Так как z = 1 являет­

ся образом точки Е = 1 и — = —' - V	-1 имеет простои
^ 2 V	J 2 s

нуль в этой точке, то углы с вершиной в точке Е, = 1 должны увеличиваться вдвое при рассматриваемом отображении. Но угол между у и у', по условию, равен нулю. Поэтому 5 и 8' должны также образовывать в Точке z = 1 угол, равный нулю. Вид кривой 8' представлен на рис. 1.8, это и есть профиль Жу­ ковского - Чаплыгина. Его вид и размеры можно изменять, вопервых, изменяя окружности у и у', а во-вторых, применяя преобразование подобия.

Чтобы применить формулу (1.23) к отысканию потока, об­ текающего построенный профиль, остаётся найти функцию, конформно отображающую внешность кривой 8' на внешность

единичного круга. Но функция 2 = ~ * 1 конформно ото- 4.

бражает внешность окружности у' на внешность кривой 5'. При этом она преобразует точку ^ = оо в точку z = оо и производная

её в точке ^ = оо имеет значение ^ . Если центр окружности у'

находится в точке а, а радиус равен р, то функция * = - ( £ - а)

Р

отображает внешность у' на внешность единичного круга. По-

этому функция	Z = —		(р/ + а) •	отображает внешность
			рм -а
единичного круга		на	внешность	5' так, что	г = оо	переходит
в точку z = оо	и	производная в		бесконечно	удалённой точке
имеет положительное значение				Следовательно,		t = F (z ) яв­

ляется обратной по отношению к построенной функции, т.е.

F(z) = —[ - a + z + Vz2 - l ] , причём мы должны взять ту ветвь

р \ I

функции F ( z ), которая обращается в бесконечность в беско-

2

нечно удалённой точке [19]. Для неё имеем F'(oo) = —. Тогда

искомый комплексный потенциал имеет вид				Р
		—(-a + z + Vz2 -
/ 0 0 = 2т.Ln IP1
U - iV (				(1.24)
+--------	- a + z W z 2 - l ) +
2	V		)
Р2(й + iv)			. +C.
+—-----v		'
2^-a +z + \jz2-1 j
Отсюда
(
_Г___		U -iV
2ni _ a+ z +		2	2(-a+z + Vz2- l ) ‘	(1.25)
^ г2_1
V
1+

\lz2 -\

Чтобы производная /'( z ) , а следовательно, и скорость были ограниченными вблизи задней кромки крыла, т.е. вблизи точки

z = 1, необходимо ввести следующие условия, связывающие ве­ личину циркуляции Г со скоростью U + iV и параметры а и р, определяющими вид крыла:

Г	1	U - i V	P2\ u	+ iV)	(1.26)
----------------2 л/	1- а	+ --------------------	i--------	Т -
		2	2(1- а )
Из (1.26) получим
Г = л/		(u + iv)	(U - iV )( 1 -а ) .
		1 - а

)

Из рис. 1.8 видно, что 1 - а = ре ,6; полагая ещё U + iV = Ael>p,

получим

Г = -2 n H p s in (0 + (p )

(1.27)

Следовательно, формула (1.24) окончательно имеет следую­ щий вид:

Ар	2sin (0+(р)
/( * ) 2	Ln^pe '0 - l j + z + Vz2 -1 j +
+	е-;ср	(1.28)
	l) + Z +
	Р
+р,<р----- :------- 1---- т =		\ + С
	ре 'в -1 + Z + A/ Z2 - 1 J

Вычислим в заключение этого пункта результирующую силу давления потока на крыло (подъёмную силу крыла самолёта), отнесённую к тому слою газа с высотой, равной единице, для которой проведены все выкладки. Обозначим её проекции на оси координат через X и Y (так как движение плоское, то эта си­ ла параллельна плоскости (ХОК). Используем общую формулу Чаплыгина [20]

X - i r = j j ( f ' ( z ) ) 2dz,	(1.29)
Z С

где d - плотность газа, С - какая-либо замкнутая спрямляемая кривая, содержащая внутри обтекаемый контур.

Для вычисления интеграла (1.29) достаточно взять вычет

функции	(/'(z ))2	относительно бесконечно удалённой точки.
Тогда в окрестности бесконечно удалённой точки имеем
	= Л2Р2 |			2sin (е+ф)		___________1___________
						ре-'6 -1 + z +%/z2 -1
							Ч2
	- / ф					1
	+ --------- Р‘ 6?/ф
	Р			ре 10 -1 + z + Vz2 -1 j				(1.30)
	1+	Л2		-А? рк	-'ф	isin (9+ ф)	+ . . .
				----- +
	4 7 ^ ]				Р	z
2 +		= А е~Ъч + НА2 ре~'9 sin(0+ 9)-						1
	-							—+ . . .
	2z2							z
Из (1.30) следует, что искомый вычет есть
	res(/'(z))2 = -2iA				е~,(р ■sin (9 + (р),
и тогда для подъёмной силы крыла получим выражение
	X - i Y		- -27t/y42dpe""l>• sin (0 + ф ),
или по формуле (1.27)
	X - i Y		= iAe~l4frd = i(U - iV) • Fd,
и, наконец,
		Х + /У = - /( [ /+ /F)-Fd.						(1.31)

Из (1.31) следует теорема Жуковского: подъёмная сила крыла самолёта ортогональна к скорости потока в бесконечно удалённой точке и по величине равна произведению этой скоро­ сти на циркуляцию скорости и на плотность газа.

1.4.Расчет тока и напряжения

вдлинной линии электропередачи без потерь

Предположим, что в рассматриваемой длинной линии элек­ тропередачи самоиндукция и утечка тока настолько малы, что ими можно пренебречь (такая линия в электротехнике называет­ ся линией электропередачи без потерь).

Предположим, что к началу х = 0 длинной линии, зазем­ лённой на конце х = I , подключено в момент времени t = 0 по­ стоянное напряжение Е.

Требуется определить ток i и напряжение U в любой точке линии и в любой момент времени t.

Выкладки проведём, опираясь на работу [19]. Так как, по

	предположению, L = c =0, то		составим следующую	систему
	дифференциальных уравнений в частных производных:
	di(x,t)	dU(x,t)
	дх	д1	(0 < x< t,t> 0 ) .	(1.32)
	dU(x,t)
		= Ri(x,t
	дх
		V

Вследствие заземления ток и напряжение во всех точках линии до момента t = 0 равны нулю (начальные условия):

i(x,t) = 0 (t <0), U(x,t) = 0(t<0).

Составим краевые условия задачи

U(0,t) = E(t>0),U(l,t) = 0.

Предположим, что С/(х,г) и

как функции перемен­

ной t (и для любого х(0 <* < /) ) удовлетворяют всем требова­

ниям, предъявляемым к оригиналам: