книги / Функции комплексного переменного и их приложения

= CpU(x,p),

= Rl(x,p),

<Mev .

1)имеют вместе со своими первыми производными по х и t

влюбом конечном интервале времени конечное число точек разрыва непрерывности и притом только первого рода;

2)тождественно равны нулю при t -<0 ;

3)существуют два таких числа М >- О, S0 >- 0, что для лю­

бого х(0<х</) выполняется неравенство
\u(x,t)\<MeSa',	dU(x,t)	dU(x,t)
	< MeV	< Mes"',
	дх	dt

di(x,t)

i(x,t)\<MeSo',

Эх

Тогда, применяя к системе (1.32) преобразования Лапласа [19], получим систему уравнений

d1(х,р)

dx

(1.33)

dU(x,p) dx

где 0<д:</, а символами l ( x ,p ) и U(x,p) обозначены изо­ бражения (по Лапласу) функций i(x,t) и U{x,t). Краевые условия тогда имеют вид

и { о ,р ) = ~ , U (1,р) = 0.

р

Исключая из системы (1.33) 1{х,р), получим дифферен-

циальное уравнение
d2U(x,p)	(1-34)
-RCpU(x,p) = 0.

дх2

Решая уравнение (1.34) и используя краевые условия, получим

U(x,p) = cleyx + с2е~ух,

где

			Р2,			Е	с,еуе+с2е-уе =
					с, +с2 =—,
						Р
	Сх =		еус		С-* —	Е	е~ус
		уе _ „~уе				р	Уе _ 0-У*
	р	е'	- е				е' - е
тт,	л	Е	еу{,-х)- е - у(,-х)			Е	shy (/ - л )
U \ х , р ) - -----------------------		р	еус- е - уе			= -----------------	=
v	’					р	shyI
							1Л
			sh	у[Ёе(1 - х ) - р 2

Е_

Р

i Л

sh 4 R^I -

Для нахождения оригинала полученной мероморфной от­ носительно р функции воспользуемся теоремой разложения [4]. Из равенства

shy (/ —лс)			shy(Z-x) 1 - х		(1.35)
lim----- ------ - = lim----- ------ - = ------
р~*о	shy/		у->° shy/	/
видно, что для U (х,у?) точка			р =0 есть полюс первого порядка
с вычетом, равным	Е ( 1—Л		. Остальные полюса U(x,p) явля-
	V	/ J
ются нулями функции		sh у 1. Из уравнения		sh у 1= 0	находим
эти нули:
еу>- е~у1= 0,			е2у1 - 1, 2у/ - 2uni,
где п - любое целое число.
Тогда получим соотношение
			п 2п 2

l2Rc

Все нули sh у 1 простые, поэтому U(x>p) имеет лишь простые

полюса [4]. Найдём теперь вычет U (*,/?) в точке рп:

(psh yl) =shy/ + pi	chуl = shy/ + —ychyl
P		2
При p = pn имеем
sh yl =0, ch yl = ch (rmi) - *		- = cos mi = ( - i )"
		T (' - •*)' —r('-*
shy(/- * ) = s h y ( / - x ) / = -		-------- у -------

= /sin— (/- x ) =7sinf п к - — :

.	ПКm	./	-\n+l		. ШС
- - I COSnrtSin	— JC=	z ( —1)			s in — X.
	/	v	'		l
Поэтому, используя	формулу			re s[/(a )J=			ф(а)
						res
cp(a)							M a)
■; ;■, получим
g(")
./	1\/J+1 .		mi
/ ( - 1)		-sin — X			2 .	mi	X.
res [U (x,P, ) ] - - E - r —			J	-	-= ----- sin —
					ЛТС	l

5 T

Отсюда сразу найдём решение

		■	ПК	J , ^
U(x,t) = E	X	2 » s,n — x		(1.36)
	1 - 7 - - S		J ---- e
	/	7t„=|	Л

Заметим, что так как все члены ряда (1.36) имеют экспо­ ненциальный множитель, то ряд сходится для любого t > О очень быстро и вычисления с помощью (1.36) провести очень просто.

Из уравнения

dU (x,t)

дх

найдём силу тока
	ч	Е	1	2 “	пп	-7~л
			-------->		cos—	х - е кс1
			I	i t x	I
		Е_	00		YI7Г	------/.V I^	(1.37)
			l + 2T cos— х-е			Rcl
		RI	£\		I	J
При переходе к пределу в (1.36), при / - » со, U(x,t) стре­
мится к Е	х^ , a i(x,t) -			к — . Такой случай в электротех­
нике называют установившимся режимом, а сами							функции

U(x,t) и i(x,t), найденные по формулам (1.36) и (1.37), пред­

ставляют собой переходный режим.

ГЛАВА 2 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.1. Предварительные замечания

Анализ большого количества прикладных задач показал, что все они могут быть описаны некоторой комплексной функ­ цией вида

F(x,y,z,t) = Fx(x,y,z,t) + F2(x,y,z,t) ,

(2.1)

где Fx(x,y,z,t) - называют статической составляющей силовой

функции; F2(x,y,z,t) - динамической составляющей силовой функции.

Рассмотрим частные случаи равенства (2.1).

Пусть F2(x,y,z,t) = 0 и : = 0, / = 0, тогда (2.1) запишется

F(x,y) = Fx(x,y).

Рассматриваемый класс задач характеризуется тем, что век­

торная функция Fx(x,y)		задает в некоторой области D на плос­
кости векторное	поле, не зависящее от времени		/, и связана
с потенциальной	функцией Ф(х,у) поля линейной зависимо­
стью вида
Л(х,у) = Р^габФ(д:,у), (x,y)eD ,			(2.2)
где коэффициент	Р е R	связан с физическим	содержанием
задачи.
Если F \(x,y,z,t) = 0, то равенство (2.1) принимает вид
	F(x,y,z,t) = F2(x,y,z,t).		(2.3)

Рассматриваемый класс задач связан с динамическими про­ цессами в системе. К таким задачам (если считать функцию

F2(x,y,z,t) скалярной) можно отнести, например, задачи, свя­ занные с кинетикой сложных химических реакций.

Проведем подробный анализ соотношения (2.2).

1. Для задач гидромеханики идеальной несжимаемо жидкости:

F\(x->y) —описывает векторное поле скорости, Р = 1 2. Для стационарных задач теплопроводности:

F\(x,y) - описывает векторное поле плотности теплового потока; Ф(х,у) - функция распределения температуры Т в об­ ласти D; Р = -X (коэффициент теплопроводности той среды, ко­ торая заполняет область D).

3. Диффузия в среде некоторой примеси:

Ф(х,^) - характеризует распределение в области D кон­ центрации этой примеси;

F\(x,y) - вектор плотности потока примеси; р = -ц (коэффициент диффузии).

4. Просачивание через область D газа или жидкости: Ф(х,у) - функция распределения давления в D ;

F\{x,y) - вектор скорости частиц жидкости или газа в среде;

Р= X - (коэффициент фильтрации).

5.Для электростатического поля:

F\(x,y) - вектор напряженности;

Ф(х, У) ~ распределение в области D потенциала этого поля;

p = - i .

Помимо (2.2) для рассматриваемого класса задач справед­ ливо равенство

divFi(^,y) = 0, ZG D,

(2.4)

которое отражает закон сохранения рассматриваемой физиче­ ской субстанции в окрестности произвольной точки области D. Для задач гидромеханики и диффузии - закон сохранения массы жидкости или примеси. Для задач теплопроводности и электро­ статики - теплоты или заряда.

Равенства (2.1) и (2.4) означают, что рассматриваемое плоское векторное поле является лапласовым, и позволяют вве­ сти для него комплексный потенциал [7].

Сформулируем некоторые вспомогательные задачи, кото­

рые часто встречаются в приложениях.
1. В плоской области D заданы две линии	Г, и Г\,
не имеющие общих точек. Требуется построить в D	потенци­

альное векторное поле так, чтобы Г, и Г2 являлись либо ли­

ниями равного потенциала, либо линиями тока этого поля с за­ данной разностью значений потенциальной функции или функ­ ции тока соответственно.

2. В неограниченной плоской области D задана неограни­ ченная кривая Г и значение производной W'(°°) комплексного потенциала в бесконечно удаленной точке. Требуется построить в D плоское векторное поле так, чтобы Г являлась либо линией равного потенциала, либо линией тока этого поля.

3. Во внешности D плоского простого замкнутого контура L требуется построить векторное поле так, чтобы контур L совпал или с линией равного потенциала, или с линией тока это­ го поля при заданном значении потока векторного поля через L либо циркуляции вдоль L соответственно.

Решение перечисленных задач в общем случае может быть не единственным. Однако дополнительные ограничения, обу­ словленные особенностями конкретной задачи, гарантируют единственность решения и позволяют построить комплексный потенциал, описывающий соответствующее плоское векторное поле, с точностью до постоянного слагаемого.

Вп. 2.2 подробно остановимся на комплексном потенциале.

2.2.Комплексный потенциал плоского векторного поля

При помощи функции комплексного переменного можно описать стационарное (не зависящее от времени t) плоскопарал­ лельное (плоское) векторное поле. Все векторы такого поля па­ раллельны некоторой плоскости, причем во всех точках прямой, перпендикулярной этой плоскости, векторы поля равны. Это значит, что в системе координат XYZ векторы поля имеют нуле­ вую аппликату и зависят только от координат х и у точки при-

	а У	ложения вектора. Две			ненуле­
		вые координаты		векторного
		поля,	абсциссу	и ординату,
		можно описать парой функций
		вида	U(х,у)	и	V(x,y)
		(рис. 2.1), которые можно рас­
		сматривать как действительную
		и мнимую части функции ком­
		плексного переменного			/ (z) =
	X	= U(x,y) + iV(x,y),		где z =
	Рис. 2.1	=x + iy	С любым	замкнутым

контуром L будем ассоциировать тело, которое ограничено ци­ линдрической поверхностью с направляющей L и двумя плос­ костями, параллельными плоскости (Z) и- отстоящими друг от друга на расстоянии, равном 1. Такое тело будем называть ци­ линдрическим. Будем считать, что векторное поле /(z ) являет­ ся лапласовым, т.е. одновременно и потенциальным и соленоидальным. Для плоскопараллельных полей [9]

..	9м	3v	л	,
div/(* ) = — + — = 0
	ох	ду
	i	j	k			(2.5)
	= з_
rot / 0 )		_з_	_э_		dv	ди^к = 0,
	дх	ду	dz		дх	ду
	и	v	0

где — в данном случае обозначает частную производную по dz

аппликате точки. Векторные линии плоскопараллельного век­ торного поля f (z ) = U(x,y) + iV(x,y) описываются дифферен­ циальными уравнениями

=

( 2.6)

U(x,y) V(x,y)

или V(x,y)dx-(J(x,y)dy = 0

Условие соленоидальности векторного поля означает, что выражение V(x,y)dx + U(x,y)dy является полным дифферен­ циалом некоторой скалярной функции у), а уравнение век­

торных линий является уравнением в полных дифференциалах. Тогда

-V(x9у )d х + U(x, у )d у = - d ¥(*, у) .

(2.7)

Функцию Ч ^^у) называют функцией тока (силовой функцией) плоского векторного поля f(z) Векторные линии этого поля являются линиями уровня функции ^(х^у) и описываются уравнением

- С - const

(2.8)

Условие потенциальности векторного поля /(z ) означает, что выражение U(x,y)dx + V(x,y)dy тоже является полным дифференциалом некоторой функции Ф(;с,>>) :

	U(x, у) d * + V(x, у ) d у =d Ф(х, у).					(2.9)
Функция	Ф ^,^)	представляет		собой	потенциальную
функцию (потенциал скоростей) векторного поля /(z )						Частные
производные потенциальной функции				Ф(х,у)	и функции тока
VPOcjjO выражаются через функции U(x,y) и					V(x,y)	следую­
щим образом:
	дФ	U{x9y \	'дУ	~V(x,y),
	дх		дх			(2.10)
	дФ	<дУ
				U(x,y).
	- f - = V{x,y)9		ду
Из этих	выражений видно,		что	потенциальная		функция

и функция тока являются сопряженными гармоническими функ­

циями в	области дифференцируемости функций	U(x,y)
и V(x,y),	а функция комплексного переменного	W(z) =

=Ф(дг,у) + Ч/(х,у) • / аналогична в этой области. Через функцию

W(z) можно записать основные характеристики плоского лапласова поля /(z). Во-первых, само векторное поле /(z ) можно записать в виде

f( z ) = U(x, у) + iV(x, y) = ^ - -	i ^ = W'(z).	(2.11)
OX	ox

Во-вторых, с помощью этой функции можно записать по­ ток плоского векторного поля. В общем случае поток векторно­

го поля Г через поверхность 5 с заданным направлением еди­ ничной нормали п° выражается поверхностным интегралом от скалярного произведения (г-п°) по поверхности S . Но если по­ ле является плоскопараллельным, направленным вдоль плоско­ сти (z), то поток Qy этого поля через цилиндрическую поверх­ ность S , которая образована перемещением вдоль кривой у отрезка единичной длины, перпендикулярного (Z), можно за­ писать с помощью криволинейного интеграла вдоль кривой у :

Qy = \~V{x, y)dx + U(x, y)dy = Jd¥(*, y) .		(2.12)
У	У

В-третьих, с помощью функции W{z) можно записать ли­ нейный интеграл векторного поля /(z ) вдоль кривой у (цирку­ ляцию в случае замкнутой кривой). Этот интеграл есть криво­ линейный интеграл вдоль у и записывается

	Гу = \U(x,y)dx + V{x,y)dy=\dQ>(x,y).			(2.13)
	У	У
Поток	и линейный интеграл	являются	действительной
и мнимой	частями комплексного	интеграла	от	производной

функции W(z)

Гу + iQy = ft/(x,y)dx + V(x,y)dy + ij-V(x,y)dx + (J(x,y)dy =

У	У
	= \J{z)dz = \W\z)dz.

УУ