книги / Функции комплексного переменного и их приложения

V2r = divgrad T =divg = 0.

Для достаточно длинной трубы (по сравнению с ее радиу­ сом) такое поле можно считать плоскопараллельным и исполь­ зовать для его описания комплексный потенциал (п. 2.2).

В плоскости (Z) поверхностям грунта и трубы, являющим­

ся изотермическими, будут соответствовать линии равного по­ тенциала

O(z) = ~ХТ0 =const и Ф(г) =

= const,

представляющие собой горизонтальную прямую у и окруж­ ность L радиуса R (см. рис. 2.13).

Форма и взаимное расположение таких линий равного по­ тенциала характерны для плоского векторного поля системы двух источников интенсивностью ±Q, размещенных в точках

(-А; 0) и (0; 0), симметричных относительно прямой х =

(см. рис. 2.13). Описывающий это поле комплексный потенциал (2.15) можно использовать для решения рассматриваемой зада­ чи, если под Q понимать мощность теплопотерь участка трубы

единичной длины, а действительную ось lmz = 0 на рис. 2.13 провести через центр поперечного сечения трубы перпендику­ лярно поверхности грунта и в точке пересечения оси с этой по­

верхностью принять z =

Согласно условию

- 0 (^ ,0 ) = А.-ДГ,

где х} = Н - R - абсцисса точки пересечения действитель­

ной оси с контуром трубы (см. рис. 2.13), учитывая (2.15), за­ пишем

Ы Т = Ф	и >		-	ч	л О ,	х, +h	Q ,	x\	. (2.33)
	— ,0	J	-Ф (х„0		= 0 -^ -1 п		= — In	x, +h
	2				In	*i	2n

По заданным значениям R и Я = /д , используя первое ра­

венство (2.15), найдем

d =^ = J l2R- R 2 =у1н 2- Я 2

Подставим выражение для h и х, в (2.33), установим связь

между Q и А Т :

	АТ = — In	я - я - У я 2- R 2 _
		л - я +Уя 2- л2
	2%Х
	Q ^ H 2- R 2 + H - R			(2.34)
	2пХ П	- H + R
	Я	Л	2лХАТ
	Например, при — = 2 получим Q		= —7------.
	Л		1п(2 + Уз)
	Если труба теплотрассы покрыта кольцевым слоем тепло­
	изоляции с коэффициентом теплопроводности			и внешним

радиусом , то влияние этого слоя на теплопотери можно при­ ближенно оценить так. Примем, что температура теплоизоляции на внешней поверхности слоя одинакова и обозначим ее 7]. То­ гда вместо (2.34) получим

-	Q J h2- * + h - * , АТХ=ТХ- Т 0 .	(2.35)
д71=	У я 2- R2 - H + Rx
Значению	теплопотерь Q соответствует перепад	ЛГтр =

= 7^-7] температур по толщине слоя теплоизоляции, равный [7]:

АТ = -@ - ь Д

(2.36)

^2лХ R

Так как заданное значение АТ		связано	соотношением
АТ = Ттр- Т 0	=АТ^+АТх, т о и з (2.35)	и (2.36)	устанавливаем
связь между	Q и АТ с учетом слоя теплоизоляции:

/

у]н2 - R 2 + H - R l	1 , Ri
•JH 2 - R 2 - Н + Щ	+ — In—
	R

Замечание. Второе слагаемое в скобках правой части по­ следнего равенства выполняет роль поправки, оценивающей влияние слоя теплоизоляции.

	Задача 2. Рассмотрим кольце­
	вой слой теплоизоляции на горячей
	поверхности	круглой	трубы,	за­
	ключённой в металлический кожух
	с тонкими	продольными рёбрами
	(рис. 2.14).	Рёбра	увеличивают
	жёсткость кожуха, что необходимо,
	например, в случае, когда из коль­
	цевой полости между трубой и ко­
	жухом для	повышения эффектив­
	ности теплоизоляции выкачивается				h
	воздух. Вместе с тем		наличие	ме­	Рис. 2.14
	таллических рёбер в силу их высо­

кой теплопроводности снижает суммарное термическое сопро­

тивление теплоизоляции RT= ^ - , где ДТ = Тт- Т к - разность

температур трубы Тт и кожуха Гк, Q - тепловой поток, прохо­ дящий через изоляцию в расчёте на единицу длины трубы. Най­ дём значение 7^. при заданном количестве рёбер п и известной высоте рёбер й, принимая температуру рёбер равной Тк кожуха. Распределение температуры внутри кожуха можно представить комплексным потенциалом, то есть в виде действительной части некоторой аналитической функции в кольцевой области с по­ вторяющимися разрезами. Эта функция определяется гранич­ ными условиями: на внешней окружности, ограничивающей об­ ласть, и на разрезе эта действительная часть функции имеет зна­ чение Тк9 равное температуре кожуха, а на внутренней окружности - неизвестное значение Гт, равное температу­ ре трубы.

Повторяющийся элемент кольцевого слоя теплоизоляции между двумя соседними рёбрами показан на рис. 2.15. Отрезки Л,С, и А{С{ соответствуют радиальным сечениям кольцевого слоя, выделяющим из него повторяющийся элемент. В силу симметрии через эти отрезки нет переноса теплоты. Поэтому можно ограничиться рассмотрением отдельного элемента, счи­ тая, что на отрезках AiCi и А[С[ этот элемент идеально тепло­

изолирован. Температура дуги А,А{ равна Тт, а температура ду­

ги £),£),' и отрезков C,D,, D[C\ - Тк.

Чтобы построить комплексный потенциал в выделенном элементе кольцевой области с нужным поведением на границе, отобразим этот элемент на область более простого вида - внут­ ренность прямоугольника.

Для этого введём полярную систему координат (ф,р) с по­ люсом О на оси трубы. Аналитическая, в пределах выделенного

элемента, функция £, = ф + / 1п— конформно отображает этот

г \

элемент на внутренность прямоугольника ADD'А' (см. рис. 2.15) в плоскости (^), характеризуемого параметрами В, Н и h , кото­ рые связаны соотношениями

2 В_		In
	hL	Л__ г*±
Н	н	I n i
		г.

где гт и гк - радиусы трубы и кожуха (см. рис. 2.14). Это кон­

формное отображение переведёт искомый комплексный потен­ циал в аналитическую внутри прямоугольника функцию, кото­ рая будет описывать распределение температуры внутри прямо­ угольника ADD'А' При этом сторона АА' этого прямоугольника будет иметь температуру Тт, а сторона D'D и отрезки CD

и C'D' -температуру Тк.

При конформном отображении линии равного потенциала (в данном случае - изотермы) и линии тока теплового потока

остаются взаимно перпендикулярными. Поэтому термические сопротивления слоя теплоизоляции с поперечным сечением в виде прямоугольника ADD'А1 и в виде выделенного повто­ ряющегося элемента кольцевого слоя совпадают при условии, что коэффициент теплопроводности А, теплоизоляции в обоих случаях одинаков.

Вычислить непосредственно термическое сопротивление прямоугольника ADD'А' достаточно сложно. Задача упростится, если этот прямоугольник удаётся конформно отобразить на но­ вый прямоугольник АЛА'А' в плоскости (со) (см. рис. 2.15),

причём верхняя сторона С*С* этого прямоугольника будет со­ ответствовать участку границы CDAC' старого прямоугольни­ ка, а нижняя сторона А'А нового прямоугольника - нижней стороне AAf старого. Тогда распределение температуры для но­ вого прямоугольника будет определяться значениями темпера­ туры на его горизонтальных сторонах А'А и С*'С* и условием

идеальной теплоизоляции на его боковых сторонах. Такое рас­ пределение температуры имеет простой вид: Т = Су, где посто­

янная С может быть найдена из значений температуры на гори­ зонтальных сторонах прямоугольника и его высоты.

Конформное отображение прямоугольника на прямоуголь­ ник можно осуществить в два этапа, используя в качестве про­

межуточной области верхнюю полуплоскость.
При	помощи эллиптического			интеграла		первого		рода
(см. п. Д. 2.5)
			dx		, к <1		(2.37)
		S = /(z) = C*J-
			^ - < 2) M V )
конформно отобразим верхнюю полуплоскость Im z > 0							на пря­
моугольник ADD'А', подбирая соответствующим образом пара­
метры С	и	к	При этом отрезку	[—1;1 ] действительной				оси
в плоскости		(Z)	будет соответствовать		сторона А 'А		прямо­
угольника	ADD' А' (см. рис. 2.15), а точке				z —1	будет отвечать
в плоскости (^) точка ^ = В , то есть

в = с ' \	dx	(2.38)
	= c k(k),

где k (k ) - полный эллиптический интеграл первого рода, опре­ деляемый по формуле (см. п. Д. 2.5).

Чтобы точке х = z =— отвечала		в плоскости (£,)	точка
	1с
D(£ = В + /Я ), должно быть выполнено условие
B + W = C'J .	^ -------=	= К(к) + ,К(к’),	(2.39)

где = y jl - k 2 - дополнительный модуль эллиптического инте­ грала, определяемый равенством (см. п. Д. 2.5). Следовательно, из (2.38) и (2.39) имеем

Я

К ( к ' ) - ^ = = \1(к) В К(к)

Функция р(&) монотонно убывает до нуля в промежутке

(0,1]. Поэтому любому заданному отношению — е (0,+оо) отве­ та

чает единственное значение модуля К Прообразом точки С в плоскости (£) при отображении

(2.37) будет точка С> 1 действительной оси lmz = 0, удовле­ творяющая условию

5 + /( t f - /z	') = C* j сЬс
	о
. В	uj _______dx_______

+‘Щ • J(i-*!)(i- fV )’

Теперь ту же верхнюю полуплоскость lm z>0 конформно ото­ бразим при помощи функции

dx

на прямоугольник ЛС*С* Ж в плоскости (со) так, чтобы точка

Сф стала образом точки х = с>1 (см. рис. 2.15). В этом случае

	Из условия
		В = «.)-.---------		К (к.)
	получаем а. =	в
		, а из условия
		К (к.)
		с,		dx
		В +Ш. = а, Г	.......— _
		1/*.	dx
	= а,К(к.) + а, J			=В +ia,K{k^),
		J ( \ - S ) ( \ - k y )
	где к'.	, находим высоту		ВК(к.)
				Н, = -- -- ■■ прямоугольни­
				к (к.)

ка АС*С'*Ж.

Решение задачи теплопроводности для случая прямоуголь­ ника АС*С1Ж в силу простых граничных условий имеет про­ стой вид:

Z iV) = TT - —,		11 V.
я .
Такому решению соответствуют	горизонтальные изотермы

и вертикальные линии тока. Через слой теплоизоляции единич­ ной длины с поперечным сечением в виде этого прямоугольника

^ 2ХВ(Тт- Т к)	„
проходит тепловой поток Q = ----- ----------	Прямоугольник со-
//*

ответствует выделенному на рис. 2.15 элементу. Поэтому через кольцевой слой теплоизоляции, изображенный на рис. 2.14, проходит тепловой поток Q = n Q , так что термическое сопро­ тивление кольцевого слоя будет:

*(*•')

Q2nkB 2nkK(K.)

2.3.3.Задачи, связанные с электричеством и магнетизмом

Задача 1. Рассмотрим электростатическое поле двух разно­ именных источников (противоположных зарядов q и - q ) рас­

положенных на расстоянии / » h

Тогда согласно примеру 2.2, рассмотренному выше, можно

записать
ттг/ \	О . z + h	q .	1+ -
W (z)	= — In------= — In
	2n	2n	^ z J

На значительном удалении от источников величина — мала z

по модулю. Поэтому комплексный потенциал W (z) прибли­

жённо можно записать

Влияние векторного (электростатического) поля с таким потенциалом зависит от величины p = q - h . Если хотим сохра-

нить эту величину, то при сближении зарядов следует увеличить их интенсивность. Электростатическое поле с комплексным по­ тенциалом

W (z)	- + с,
	2 n z

где р - фиксированное действительное число, с е С называют полем диполя. При этом p = qh называют моментом диполя. Точка z = 0, в которой совмещаются два разноименных заряда, соответствуют диполю. Отметим, что поле диполя можно рас­ сматривать как предельный случай поля двух источников заря­ дов z + h и 0 , когда h -» 0 , а интенсивность зарядов растет об­ ратно пропорционально расстоянию h .

Полагая z = x + iy в комплексном'потенциале W{z)--^~- 2 nz

поля диполя, выделим действительную и мнимую части:

W(z) = - P L - = _PE_ = ____ EL_____ / ____ E l____

27tz-z 2n\z\2 2n(x2+y2>j 2тс

Отсюда можно получить уравнения линий равного потен­ циала и линий тока

(х ~ сф)2 + У 2 = 4 и х2 + ( у - С у ) 2 = 4 ,

где сф и Су е R .

Эти уравнения показывают, что линии равного потенциала и линии тока - это дуги взаимноперпендикулярных окружно­ стей. Линии равного потенциала имеют радиусы 7?ф=|сф|

и центры z = сф на действительной оси, а линии тока - радиусы

Ry =|су | и центры z = ic4 на мнимой оси (рис. 2.16), причем на всех дугах выколота точка z = 0, в которой поле диполя не оп­ ределено. Хотя поле диполя введено для моментов р > 0 (через

р обозначено q-h), он может быть обобщен и на случай отрица­ тельных значений моментов р <0 .