книги / Функции комплексного переменного и их приложения

Найдем значение Фг потенциальной функции Ф(со) на по­

верхности проводника при со = с + i(/ + г) :
		3		1 + г - d
	- i - . l n	0 1 3
		0 13 1 3	= - * ~ 1 п
	27C		2к	1 + г + d
	Я |n (/ + r - r f ) ( / - r - r f )
	2п	(l + r + d ) ( l - r - d )
- 2 - In	I d 2-2ld	= - 2 - in	l - d	l + d		r
	-2 rd		r	l + d	= -i-.ln
27Г		2 n			2 71	l + d
Учитывая, что электрический потенциал связан с потенци­
альной функцией соотношением Ф(2) = -Ф (г),						получаем элек-
трический потенциал проводника
	- 2 - In	l + d		l + 4l2~ r 2
		= - 2 - In			r	(2.49)
	2n	r	2n
Поскольку г < I + d , то в случае q > О имеем Фг > 0.
Электрическую емкость С			системы		из двух проводящих

поверхностей с различными электрическими потенциалами Ф] и Ф2 определяют как отношение потока Q электростатического поля между этими поверхностями к разности этих потенциалов,

|Ф, -Ф 2|

В рассматриваемой системе Q = q, Ф, = Фг и Ф2 = 0. По­ этому с учетом (2.49) найдем, что электрическая емкость систе­ мы, приходящаяся на единицу длины проводника, равна

г	- q -	2к
1	ф ,	/ + # 1 7 '
		In-------------

2я

Если г « I , то d » / и С, «

г

С помощью комплексного потенциала (2.46) можно опи­ сать электростатическое поле двух перпендикулярных плоско­ сти (со) проводников, электрические оси которых пересекают

эту плоскость в точках со0 и ю0, а заряды на единицу их длины

равны ±q соответственно.

Если радиус первого проводника г, то его электрический потенциал имеет вид (2.49). Для второго проводника с радиусом

R из (2.48) при со =С - i ( L + R) и L =yjR2 +d2						получим
	2п	со —шп = - - М п			- L - R - d
		со —сол		2п	- L - R + d
	R			R			(2.50)
■In			271	■In
2п	L +d			L + y/i? +R2
Для разности потенциалов проводников согласно (2.50)
получим
* , - * , д [ , п “		. к ±		) д к И		Н	.
2п v	г		L + d J 2п			rR
При этом электрическая емкость системы этих проводни­
ков равна
С	9			2%
				rR
Если радиусы проводников одинаковы и равны г , то l =L,
разность потенциалов равна			2Ф(. , а электрическая емкость та­
кой системы проводников вдвое меньше С,.

Задача 4. Используя комплексный потенциал

W (z) = — In(z + /2) - — In z + cx+ c2i , 2л: 2TZ

найти электрическое сопротивление изоляции одножильного кабеля со смещенным проводом.

Пусть радиус одножиль­ ного кабеля равен г}, смещен­ ный проводник имеет радиус г0, эксцентриситет смещения провода равен в (рис. 2.22).

В данном случае линиями равного потенциала являются

окружности радиусов гх и		г0.
Обозначим	разность	по­
тенциалов этих	линий через
Аи и найдем	связь эксцен­

трично расположенных окружностей с линиями равного потен­ циала. Действительную ось lm z = 0 на рис. 2.22 проведем че­ рез центры окружностей, а начало координат выберем так, как показано на рисунке. Тогда источники интенсивности ±Q будут

расположены в точках z = 0	и z - - h , симметричных относи-
h	(см. рис. 2.22). Обозначим абс­
тельно прямой Rez = - — = - d
циссы центров окружностей радиусов гх и г0 через хх и х0 со­

ответственно. И используя следующие равенства [19], получим

хо= V 2+6?2ro ’ x i = y j r\ + d 2 ’

e = x, - x0 = ^ r 2 + d 2 - ylr2 + d 2

Отсюда найдем

d= \ = h^ r'2~ r°2~ e2) 2 " 1( 2sr°

а затем х0 . Это позволяет найти действительную часть разности

значений комплексного потенциала		в точках	z = x1- r 1=
= х0+ е - г } и z = x0- r 0	окружностей:
(	х0+ 6 - r}+h In	у	\
In		*0 ~ ro +h

\х0 + е-г, *О 1

Вданном случае Q характеризует силу электрического то­

ка, который может пройти через изоляцию кабеля единичной длины при разности потенциалов Аи между проводом и внеш­ ней поверхностью кабеля. Принимая в п. 2.1 Р = —о , получим

дф = - а А й , что для сопротивления изоляции кабеля единичной длины (согласно закону Ома) даёт

R _ Дм _ _ ДФ _ _ J _ ln (xo+e~ ri)(xo ~ ro+h)

Q oQ 2no (х0- r 0)(x0 + e - r {+h)

Отсюда следует, что R =О при e = r]- r 0, когда провод ка­ сается внешней поверхности кабеля. Если же оси кабеля и про­ вода совпадают (е=0), то это соответствует предельному слу­ чаю х0 —>0 и h —>оо , так что

2па

Можно показать, что при этом сопротивление изоляции стре­ мится к своему наибольшему значению. Таким образом, эксцен­ тричное расположение провода в изоляции понижает её сопро­ тивление. Исходя из допустимого уменьшения сопротивле­ ния изоляции по сравнению с его наибольшим значением, можно установить допуск на эксцентриситет е при изготовле­ нии кабеля.

Задача 5. Используя комплексный потенциал W(z) =

Г

- In z + с, + ic2 (*), описать плоское магнитное поле, созда­

ваемое тонким		проводником,		пер­
пендикулярным		плоскости	(z),	по
которому течёт		постоянный	элект­
рический ток I.
Примем в		(*) интенсивность
вихря	Г = /	функцию	/( z ) =
- W ' [ z ) ,	соответственно		равную
H{z) -	напряженности магнитного

поля, тогда линии равного потен­ циала и силовые линии поля будут иметь вид, представленный на рис. 2.23.

Пусть этот проводник находится во внешнем однородном магнитном поле напряженностью Н0 и описывается комп­

лексным потенциалом W0(z) = H0- z . Тогда в силу аддитивно­ сти комплексного потенциала, учитывая (*), получим

W(z) = H0-z +— \nz,	(2.51)
2тп

описывающее взаимодействие внешнего поля и поля проводника. Дифференцированием (2.51) найдем напряженность ре­

зультирующего поля

H{z) = W’{z) = H0+ i ~ .

2nz

В точке z0 =——— напряженность этого поля обращает-

2пН0

ся в нуль.

Уравнение семейства силовых линий следует из условия постоянства значений функции тока этого потенциала:

W(z) = lmW{z) = H0y ~ \ n \ z \ = HQy ~ \ n ( x 2+y2) = k,

где к =const. Отсюда можно выразить х как явную функцию переменного у :

	r j	n ( H 0y - k )
	x = ±^e	1	- у 2	(2.52)
	Точка z0 является для про­
ходящей через неё силовой ли­
нии	точкой	самопересечения
(рис. 2.24).
	Часть этой силовой			линии
образует контур, непроницаемый
для	внешнего	магнитного		поля
и охватывающий некоторую об­
ласть D*, пересекаемую проводником с током.			Подставляя

в (2.52) значения х = Re z0 = 0		и у = ImzQ= —-— , находим зна-
		2пН0
чение константы к = -7	/ 1 —In-	для этой силовой линии.
2п	2пН,о У

Рассмотрим теперь магнитное поле, создаваемое двумя па­ раллельными тонкими проводниками с постоянным током, пер­ пендикулярным плоскости (Z), которые пересекают её в точках z = ±ih. Будем считать, что сила тока в каждом проводнике рав­

на / и токи одинаково	направлены. Используя		аддитивность
комплексного потенциала вида (*), получим
Щ(z) = —-у In{z —/й) + —		In(z + iti) =—— In(z2 +h2\. (2.53)
2%i	2ni	2%i v	'

Уравнение семейства силовых линий этого поля можно по­ лучить из условия постоянства значений функции тока:

% (z) = lm (z) = - - L In|z2+ h2\ =		In\(z + ih)(z - /A)|,
2 K	1 2 7t	1

т.е. |z2 +h21=^ x 2 + ( y - h ' f --Jx2 + (y + h)2 = const. Это равенст­

во задает семейство плоских кривых (рис. 2.25), называемых овалами Кассини.

Каждую из таких кривых можно определить как множество точек, произведение расстояний которых до её фокусов в точках z = ±ih постоянна. Одна из силовых линий имеет точку самопе­ ресечения z = 0 и представляет собой лемнискату Бернулли. В этой точке напряженность магнитного поля равна нулю:

2z	I z
H{z) = W \ z ) =	= 0 .
2п Ki(z2+h2))	n(z2+h2)

Пусть теперь токи, текущие по проводникам, одинаковы по силе, но противоположны по направлениям. Тогда, считая, что точка z = -ih соответствует ток силой 1> О, комплексный по­ тенциал плоского магнитного поля, создаваемый проводником, можно записать в виде

W2(z) =—	\n(z + ih)- —	\n(z-ih) = —	\ n ^ ^ -	(2.54)
2ni	2%i	2ni	z - ih

Из условия *F2 =Im^K2(z) = const получаем, что силовые

линии будут окружностями

х 2 + (у+ h)2 = кт >И Л И X +	h(ky + 1)	4 k v h 2
	у -	i.k'v ~ О
х 2 + ( у - h f	К - 1 .

Центры этих окружностей расположены на мнимой оси Rez = 0 (рис. 2.26). Силовая линия, соответствующая значению кт = 1, совпадает с действительной осью Im z —О Напряжен­

ность этого поля всюду отлична от нуля.

Рассмотрим взаимодействие магнитного поля таких про­ водников, образующих двухпроводную линию, перпендикуляр­ ную плоскости (Z), с внешним однородным магнитным полем

напряженности Н0. Для результирующего поля комплексный потенциал с учетом (2.54) принимает вид

W.(z) = H0z + —	(2.55)
2ni	z - ih

Дифференцируя (2.55), находим напряженность результи­ рующего поля

H.(z) = W.(z) = H0z + т_г

2л i(z + ih)

Ih

(2.56)

л (z2+/?2)

Её значение обращается в нуль в точках

Вслучае I =nhH0 такая точка единственна и совпадает

сначалом координат z0 = 0 . Качественная картина силовых ли­ ний для этого случая приведена на рис. 2.27.

При I < пИН0 таких точек две и лежат они на мнимой оси Rez = 0 (рис. 2.28).

Рис. 2.27

Рис. 2.28

Если / = 0 , то из (2.56) следует, что магнитное поле всюду однородно и совпадает с внешним магнитным полем. При I <О, т.е. при смене направления тока в проводниках, точки с нуле­ вым значением напряженности оказываются за пределами от­ резка мнимой оси, соединяющего точки z = ±ih рис. 2.29.

При этом характер расположения силовых линий близок к случаю взаимодействия одиночного проводника с внешним магнитным полем (см. рис. 2.24).

С увеличением силы тока / эти точки удаляются от начала координат (рис. 2.30). Через эти точки проходит силовая линия, совпадающая с действительной осью и образующая контур, не­ проницаемый для внешнего магнитного поля и охватывающий некоторую область D , которую пересекают проводники с то­ ком. Найдем уравнение этого контура, для чего выделим мни­ мую часть комплексного потенциала (2.55):

		z + ih
(z) = Im W*(z) = H0y ----- In
v '	w	2n z - ih

x2 + (y + h)2

x2 + ( y - h f '

Рис. 2.30

Подставив значение у = 0			в уравнение
-	/	х2+ ( у + Л)2		.	_
Н0у ----- In— —)------ =const				= к0	(2.57)
	4тс	x2+	(y - h )
силовой линии,	образующей		контур, установим, что		kQ= 0 .

В итоге для контура (и всей силовой линии) получаем уравне­

ние, явно разрешенное относительно х2:

2 (y + h f - ( y - h f -ё '

Х4кН0у

е1 -1

Дополнение к главе 2

Д. 2.4. Конформные отображения

Определение 1. Отображение окрестности точки z0 на ок­

рестность точки со0, осуществляемое функцией со = f ( z ) , на­

зывается конформным, если в точке z0 оно обладает свойством