книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной
..pdfИз школьного курса известно, что − π < arctg x < π . Следо-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
вательно, arctg x ограниченная функция при любом x . |
|||||||||||||||||||
Тогда по формуле (2.51) получаем, что |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (x2 |
+ arctg x) = +∞ . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log1 x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е) |
|
3 |
|
= |
|
log1 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как x → + |
0 , следовательно, |
1 |
→ +∞ |
(формула 2.55). |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → + |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
log 1 x → +∞ |
|
|
|
при |
0 |
|
(см. |
графики |
элементарных |
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функций – глава 1, §3, рис. 1.26), т.е. функция log1 |
x бесконечно |
||||||||||||||||||
большая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда по формуле (2.52) |
lim |
1 |
log1 |
x = +∞ . |
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+ |
0 x |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
§ 5. Правила предельного перехода |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Основные формулы |
|
|
|
|
|
|
Определения |
||||||||||||
|
|
и рисунки |
|
|
|
|
|
|
|
и замечания |
|||||||||
1. |
|
lim C = C |
|
(2.56) |
|
|
Предел постоянной величи- |
||||||||||||
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ны y = C естьсамавеличина С. |
|||||||||
2. Если lim f ( x) = A , |
|
|
|
Предел суммы двух функ- |
|||||||||||||||
|
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|
ций, |
имеющих пределы, равен |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim φ( x) = B , тогда |
|
|
сумме их пределов. |
||||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|||||
lim [ f ( x) + φ(x)] = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Формула (2.57) справедлива |
|||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для алгебраической суммы лю- |
||||||||
= lim |
f ( x) + lim φ( x) = |
(2.57) |
|||||||||||||||||
богоконечногочислафункций. |
|||||||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
→x |
|
x0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= A + B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
|
3. Если |
|
lim |
f ( x) = A , |
Предел произведения двух |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
функций, имеющих пределы, |
||||||||||
lim φ( x) = B , тогда |
|
|
|
|
|
равен произведению |
пределов |
||||||||||||||||||||
x→ x0 |
|
f ( x) φ(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
этих функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
f ( x) lim φ( x) = |
|
|
|
Формула (2.58) справедли- |
|||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
(2.58) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
ва для любого конечного числа |
||||||||||||||||||||||||
x→ |
|
x0 |
|
|
|
→x |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4. Если lim |
f ( x) = A |
|
Постоянный |
множитель |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
можно выносить за знак пре- |
||||||||||
и C = const , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
дела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim C f ( x) = C lim f ( x) |
(2.59) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
→x |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5. Если |
|
lim |
f ( x) = A , |
Предел частного двух функ- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ций, имеющих пределы, равен |
||||||||||
lim φ( x) = B ≠ |
0 , тогда |
|
|
|
частному пределов, если предел |
||||||||||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x) |
|
|
|
|
|
знаменателя неравеннулю. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f |
( x) |
= |
|
= |
|
A |
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
→ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(2.60) |
Формулы (2.56)–(2.60) спра- |
||||||||||||
|
φ(x) |
|
lim φ( x) |
|
B |
||||||||||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
ведливыидля случая x → |
∞ . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
6. Если в некоторой окре- |
Если в некоторой окрест- |
|||||||||||||||||||||||||
стности точки x0 |
f (x) ≥ |
0 и |
ности |
точки |
x0 |
функция |
|||||||||||||||||||||
lim |
|
f ( x) = B , тогда |
|
|
|
|
|
y = f (x) ≥ 0 |
и |
lim |
f ( x) = B , |
||||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
lim f ( x ) ≥ |
0 или B ≥ |
0 |
|
|
(2.61) |
то этот предел не может быть |
|||||||||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отрицательным. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7. Если |
|
|
в |
некоторой |
окре- |
Знак |
неравенства |
сохраня- |
||||||||||||||||||
стности точки x |
|
f (x) ≥ φ(x) и |
ется при предельном переходе. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f ( x) = A , |
lim φ( x) = B , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f ( x) ≥ lim φ( x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
→x |
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
A ≥ |
B |
|
|
|
|
(2.62) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8. Если |
|
|
в |
некоторой |
окре- |
Если функции φ(x) и g(x) |
||||||||||||||||||||
стности точки x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
имеют один и тот же предел при |
||||||||||||||||||
(x) |
≤ |
f (x) g(x) , |
|
|
|
|
|
x → x0 , |
то |
и функция |
f |
( |
x |
) |
, |
||||||||||||
φ |
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
lim φ( x) = A , |
lim g ( x) = A , |
заключенная между ними, имеет |
|||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|
предел |
при x → |
x0 , |
равный |
||
тогда |
|
|
|
f ( x) = A |
|
|
пределу функций φ(x) и g(x) . |
||||||||
|
lim |
|
|
(2.63) |
|||||||||||
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|||||||||
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (2.61)–(2.63) спра- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ведливыидляслучая x → |
∞ . |
||||
9. lim [ f ( x)]n = |
|
|
|
Следует запомнить: |
|||||||||||
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
знак предела |
можно |
вносить |
||||
= |
lim |
f |
( x) n |
|
(2.64) |
под знак степени. |
|
|
|||||||
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n – любоенатуральноечисло. |
|||||
10. |
lim m f ( x) = |
|
|
Следует запомнить: |
|||||||||||
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
знак предела |
можно |
вносить |
||||
= m lim |
|
f ( x) |
|
|
(2.65) |
под знак корня. |
|
|
|||||||
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
любом нечетном m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формула |
(2.65) |
справедлива |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всегда. Если же m четное, то эта |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формула верна только тогда, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда f ( x ) ≥ 0 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
f ( x) |
= a |
lim |
f ( x) |
Следует запомнить: |
|||||||
11. |
lim a |
x→ |
x0 |
, |
при постоянном основании мож- |
||||||||||
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
но переходить к пределу в пока- |
||||||||
a = const |
|
|
|
(2.66) |
|||||||||||
|
|
|
зателе степени. |
|
|
|
|||||||||
12. Если lim |
f ( x) = A , |
Следует запомнить: |
|||||||||||||
|
|
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
можно |
переходить |
к |
пределу |
||
причем A > 0, то |
|
|
|
|
под знаком логарифма. |
|
|||||||||
lim |
log |
|
f |
( x) |
= |
|
|
Замечание |
|
|
|
||||
x→ x0 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Требование о том, что А |
|||||
= loga |
lim |
f |
( x) |
|
(2.67) |
должно |
быть |
положительным, |
|||||||
|
связано |
с |
тем, |
что число А в |
|||||||||||
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
правой |
части |
формулы (2.67) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стоит под |
знаком |
логарифма, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а логарифмическая функция оп- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределена только для положи- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельных значений аргумента. |
73
Задачи
Задача 1. Найти lim (3x2 −10x +1).
x→ 4
Решение
Для отыскания предела функции применим формулы (2.56), (2.57) и (2.59).
lim |
(3x2 −10x +1) = 3lim x2 −10lim x + lim1. |
||
x→ 4 |
→x 4 |
→ x 4 → |
x 4 |
Заменим в аналитическом выражении функции x его предельным значением и получим
lim (3x2 −10x +1) = 3 16 −10 4 +1 = 48 − 40 + 1 = 9. |
||||
x→ 4 |
|
|
|
|
Задача 2. Вычислить |
|
3x2 |
− 5x +1 |
|
lim |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
x→− 1 x7 − 3x3 + 4 |
Решение
Поскольку пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя отличен от нуля, то используем форму-
лу (2.60):
|
|
|
3x |
2 |
− 5x +1 |
|
|
lim (3x2 − 5x +1) |
|
3(−1) |
2 |
− 5 |
(−1) + 1 |
|
||||||||
lim |
|
= |
x→− 1 |
|
|
= |
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→− |
1 x7 − 3x3 + 4 |
|
|
lim |
( x7 − 3x3 + 4) |
|
(−1)7 − 3(−1)3 + 4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 + 5 +1 |
= |
9 |
= |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
−1 + 3 + 4 6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача 3. Вычислить |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 2 4x − |
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Здесь предел знаменателя дроби равен нулю: lim (4x − 8) = 0.
x→ 2
Следовательно, формулу (2.60) о пределе частного применить нельзя.
74
Так как lim (4x − 8) = 0 , то (4x − 8) при x → |
2 есть величина |
||||||||||||||
x→ |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно малая, а обратная ей величина |
|
|
|
|
бесконечно |
||||||||||
4x − |
8 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
большая (2.55). Поэтому при x → |
2 произведение |
|
1 |
|
5 есть |
||||||||||
|
|
4x − 8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||
величина бесконечно большая (2.53), т.е. lim |
|
|
|
|
= ∞ . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x→ |
2 4x − 8 |
|
|||||||||
Задача 4. Вычислить lim |
|
9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение |
x→∞ |
7x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
знаменатель (7x + 4) неограниченно растет, т.е. |
|||||||||||||||
При x → ∞ |
|||||||||||||||
является величиной бесконечно большой: |
lim (7x + 4) = ∞ |
. Сле- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
довательно, формулу (2.60) о пределе частного применить нельзя.
Так как lim (7x + 4) = ∞ |
, то |
1 |
при x → ∞ |
есть величи- |
|
7 x + 4 |
|||||
x→∞ |
|
|
|
на бесконечно малая (2.54), т.е.
lim |
1 |
= 0 . |
|
7x + 4 |
|||
x→∞ |
|
Тогда по формуле (2.42) произведение |
1 |
|
|
9 есть беско- |
|||||||||||||||||||||
|
7x + |
4 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
нечно малая величина, т.е. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7x |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 5. Вычислить lim |
|
|
3x +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение |
|
|
|
x→− 13 5x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку предел знаменателя отличен от нуля, используем |
|||||||||||||||||||||||||
формулу (2.60) о пределе частного: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
lim (3x +1) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x |
+1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 − |
3 |
|
+1 |
|
0 |
|
||||||||
lim |
|
= |
x→− 3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= 0. |
||||||||
|
|
|
lim (5x2 |
−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||
x→− 13 5x2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
− |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x→− 1 |
|
|
|
|
|
5 − |
|
|
|
|
−1 |
|
9 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
Задача 6. Вычислить lim (7 − 2x) (3 + 5x2 ) .
x→ 2
Решение
Применим формулу (2.58), получим
lim |
(7 − 2x) (3 + 5x2 ) = lim |
(7 − 2x) |
lim (3 + 5x2 ) = 3 23 = 69. |
||||
x→ 2 |
|
|
|
|
→x 2 |
→ |
x 2 |
Задача 7. Найти: |
|
|
|||||
а) |
lim |
3 x ; |
|
|
|||
|
x→− |
64 |
|
|
|
|
|
б) |
lim |
3x2 + 4; |
|
|
|||
|
x→ |
2 |
|
|
|
|
|
в) lim 5 4x ; |
|
|
|||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
3 7x |
|
|
||
д) |
lim 9 |
x . |
|
|
|||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
Решение
а) На основании формулы (2.65) имеем:
|
|
lim |
3 x = 3 lim x = 3 −64 = −4; |
||||
|
|
x→− 64 |
|
|
|
→x− |
64 |
б) Так как 3x2 + 4 > 0 для любого x, то формула (2.65) при- |
|||||||
менима: |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3x2 + 4 = |
|
lim (3x2 + 4) = 3 22 + 4 = 16 = 4 ; |
||||
x→ 2 |
|
|
|
→x |
2 |
|
|
в) lim |
5 4x = 5 lim(4x) = 5 0 = 0 ; |
||||||
x→ 0 |
|
→x 0 |
|
|
|
|
|
г) lim |
3 |
= 3 lim |
1 |
|
= (формула (2.59)) = |
||
3 7x |
|
|
|
||||
x→∞ |
→∞ x |
|
3 7x |
|
76
= 3 lim 3 |
1 |
= 3 3 lim |
1 |
= 3 3 0 = 0 ; |
7x |
|
|||
x→∞ |
→∞ x |
7x |
д) lim 9 |
x = 9 lim x = ∞ . |
x→∞ |
→∞ x |
Задача 8. Найти:
2 x
а) lim 2 x−2 ;
x→ 3
б) lim 4x ;
x→∞
в) lim 32 x
x→−∞
Решение
а) Применяя формулу (2.66) получим:
|
|
|
2 x |
|
lim |
2 x |
|
|
2 3 |
|
||
|
lim 2 x−2 |
= 2x→ 3 x−2 = 23−2 = 26 = 64 ; |
||||||||||
|
x→ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim x |
= ∞ |
(так как lim x = ∞ ); |
|||||||||
lim 4x = 4x→∞ |
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|||||
в) |
lim 32 x = 3x→−∞ |
2 x |
= [3−∞ ] = 0 (так как a−α = 1 ). |
|||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
aα |
|
|
Задача 9. Найти lim lg ( x +1) . |
||||||||||||
|
|
|
x→ |
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На основании формулы (2.67) |
||||||||||||
|
lim lg ( x + 1) = lg lim |
( x + 1) = lg100 = 2. |
||||||||||
|
x→ 99 |
|
|
→x 99 |
|
|
|
77
§ 6. Элементарные способы раскрытия неопределенностей
f ( x)
Если при отыскании предела дроби φ( x) числитель и зна-
менатель стремятся одновременно к нулю или бесконечности, то будем говорить, что эта дробь представляет неопределен-
ность вида |
0 |
или соответственно |
∞ |
. Нахождение предела та- |
0 |
∞ |
кой дроби условимся называть раскрытием неопределенности
вида |
0 |
или |
∞ |
. Кроме этого могут возникнуть неопределенно- |
0 |
∞ |
|||
сти вида 0 ∞ |
, ∞ − ∞ . |
Раскрыть неопределенность – это значит найти предел соответствующего выражения (если он существует), что зависит от конкретных функций, входящих в выражение.
Основные формулы |
Определения |
||
|
|
и рисунки |
и замечания |
1. Неопределенность |
|
||
вида |
0 |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
Под раскрытием такой неопределенности понимают нахождение предела
lim |
f ( x) |
, если lim |
f ( x) = 0 |
и |
|
|
||||||
φ( x) |
|
|
||||||||||
x→ |
x0 |
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
||
lim φ( x) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→ |
x0 |
|
R(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
||
1, а) |
|
|
|
|
|
|
R(x) |
– дробно-рациональ- |
||||
|
a xn + a xn−1 + ... + a |
|
x + a |
|
||||||||
= |
|
= |
ная функция. |
|||||||||
0 |
|
1 |
|
|
n−1 |
n |
|
|||||
|
b0 xm + b1xm−1 + ... + bm−1x + bm |
|
|
P(x) |
и Q(x) – многочлены |
|||||||
|
|
|
= |
P( x) |
|
|
|
(2.68) |
(целые рациональные функции). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Q( x) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
Правило
Для того чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при x → x0 числитель и знаменатель
дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на
( x − x0 ) и перейти к пределу.
Замечание 1
Если числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при x → x0 ,
то надо произвести повторное деление на ( x − x0 ) (это прави-
ло основывается на известном из элементарной алгебры следствии из теоремы Безу: если многочлен обращается в нуль при x = x0 , то он делится без
остатка на x − x0 ).
Замечание 2
Если в числителе и знаменателе многочлены второй степени (квадратные трехчлены), то кроме указанного выше правила можно числитель и знаменатель дроби разложить на линейные множители, по формуле
ax2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) ,
где x1 и x2 – корни квадратного
трехчлена. После преобразований сокращаем дробь на множитель, стремящийся кнулю.
79
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
|
||||
|
|
|
|
здесь нет сокращения на нуль, |
||||||
|
|
|
|
что никогда недопустимо. Со- |
||||||
|
|
|
|
гласно |
определению предела |
|||||
|
|
|
|
функции аргумент x стремится |
||||||
|
|
|
|
к своему предельному значе- |
||||||
|
|
|
|
нию x0, никогда с ним не совпа- |
||||||
|
|
|
|
дая. Поэтому x − x0 ≠ |
0 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1, б) lim |
f ( x) |
|
– предел |
|
Правило |
|
|
|||
φ( x) |
Если в числителе или зна- |
|||||||||
x→ x0 |
|
|
||||||||
дроби, содержащей |
иррацио- |
менателе иррациональное |
вы- |
|||||||
ражение (корень четной степе- |
||||||||||
нальные выражения |
|
ни), |
нужно |
к числителю |
или |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
знаменателю |
подобрать |
со- |
||||
|
|
|
|
пряженное |
выражение |
(для |
||||
|
|
|
|
a − b |
сопряженным являет- |
|||||
|
|
|
|
ся |
a + |
b и наоборот, причем |
||||
|
|
|
|
( a − b )( a + b ) = a − b ) и |
||||||
|
|
|
|
умножить на него и числитель |
||||||
|
|
|
|
и знаменатель, сделать необ- |
||||||
|
|
|
|
ходимые упрощения и перейти |
||||||
|
|
|
|
к пределу. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Если в числителе или знаме- |
|||||
|
|
|
|
нателе иррациональное выраже- |
||||||
|
|
|
|
ние (корень нечетной, предпо- |
||||||
|
|
|
|
ложим третьей степени), нужно к |
||||||
|
|
|
|
числителю или знаменателю по- |
||||||
|
|
|
|
добрать неполный квадрат (из- |
||||||
|
|
|
|
вестнаяформулаалгебры |
|
|||||
|
|
|
|
(a b)(a2 ± ab + b2 ) = a3 b3 , |
||||||
|
|
|
|
где |
a2 ± ab + b2 – |
неполный |
||||
|
|
|
|
квадрат) и умножить на него и |
||||||
|
|
|
|
числитель и знаменатель. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80