книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел
..pdfРис. 6.4. Зависимость надежности от вероятности микроразрушения
Рис. 6.5. Зависимость надежности от вероятности микроразрушения в об ласти малых значений величины р11
Неизвестную постоянную а определим из условия равенства мо мента <со*>, вычисленного с учетом (6.3.8) по формуле
1
<С0* > = ^ G>*/((D*)dG)*
о
и по формуле (6.1.2).
Если предположить, что со11 (f, t) есть однородная случайная функция пространственной координаты г, то ри (t) = <con (f, t)y и <(о* (t)} = рп (t). Тогда
а = рп (f)/[l - р11 (01. |
(6.3.9) |
Используя явное выражение для плотности вероятности (6.3.8) при выполнении (6.3.9) для вероятности макроразрушения из (6.1.10), получим
р1( 0 = 1 — (o>KP)pII<t,/tlpII((,] • |
(6.3.10) |
Формула (6.3.10) имеет принципиальное значение, так как свя зывает вероятности микро- и макроразрушения, причем очевидно, что рп (t) = р1 (t) только для абсолютно хрупких материалов, а в общем случае рп (£)Ф pl (t). Вероятность рп в (6.3.10) находится из решения стохастической краевой задачи и структурного кри терия прочности, а критическое значение макроповреждаемости определяется из (6.3.6). Как видно из (6.3.6), о)*р не является новой дополнительной константой материала, а выражается через известные предельные макроскопические постоянные.
На рис. 6.4 и 6.5 приведены графики, иллюстрирующие за висимость надежности N безотказного сопротивления разрушению
101
элементарного макрообъема |
v от вероятности |
микроразрушения |
|||||
р11 |
при различных значениях критической повреждаемости со*р, |
||||||
рассчитанные в соответствии с формулой |
|
|
|
|
|||
N = (о4 |
) рп/(1-рп>. |
|
|
(6.3.11) |
|||
Как следует из табл. 6.1, |
для стеклопластика |
Э-1200 |
(0*р = |
||||
= 0,138. Тогда при макронапряжениях, составляющих |
40, |
60, |
|||||
80% |
от предела прочности |
композита, надежность |
образца |
при |
|||
одноосном |
растяжении принимает значения |
0,9996; |
0,9972; |
0,9792, при этом вероятность микроразрушения равна 0,2-10~4; 0,143-10~2; 0,51 -10“2 соответственно.
6.4.Оценка работоспособности системы «жесткая оболочка—заполнитель»
Рассмотрим пример численной оценки работоспособности кон струкции из композиционного материала. Пусть полый толсто стенный цилиндр из высоконаполненного эластомерного компо зита, имеющий длину 2Z, внешний радиус Ь, внутренний — а, по боковой поверхности скреплен с абсолютно жесткой оболочкой (рис. 6.6). По торцам и внутренней поверхности цилиндр нагружен равномерным давлением q. Композит представляет собой низко модульную изотропную матрицу с модулем сдвига G = 3,2-105 Па и коэффициентом Пуассона v = 0,45, хаотически наполненную одинаковыми жесткими сферическими включениями с относитель ной объемной концентрацией последних р = 0,5. Критерием проч ности для матрицы является критерий Баландина [25]
Ои + 3 (сг_ — а+) а = а+сг_, |
(6.4.1) |
где а+ = 5-105 Па, а. = 20-105 Па — пределы прочности на рас тяжение и сжатие,
Gu — 011 -f- 022 + 033--- 0Ц022 ---
--- 0Ц033--- |
022033 + 3 (0J2 + 013 + |
“Ь 02з)’ |
0 = Х/з (011 + 022 4" 03з)* |
Критическая |
макроповреждаемость |
композита о)*р = 0,13.
Решение задачи разобьем на сле дующие этапы.
1. Вычисление макроскопических свойств. В гл. 2 для поля структур ных модулей упругости эластомерного композита с абсолютно жесткими
Рис. 6.6. Система «жесткая оболочка—за
полнитель»
102
включениями предложено выражение |
|
||
С ijmn О ) |
1 + К' (') |
/о(2) |
(6.4.2) |
( 1 _ р * ) 2 |
|
где Cij^n — тензор модулей упругости матрицы; у! = у — <х) — пульсация индикаторной функции; р* = р/0,64 — приведенная объемная концентрация включений.
В этой же главе на основе решения стохастической краевой задачи получены формулы для вычисления постоянных Ляме тензора макроскопических модулей упругости эластомерных ком позитов, согласно которым
К* |
|
2v |
G |
|
1 |
1 — 12v + 5v2 |
||
|
1 — 2v |
(1 — р*)2 + |
15v (1 — v) |
1 . |
||||
H* = G |
1 |
|
2 (4 — 5v) |
p* |
|
|||
p * ) 2 |
15v (1 — v) 1 — p* |
* |
||||||
|
|
( 1 _ |
||||||
В нашем |
случае |
постоянные Ляме композита имеют значения |
||||||
Ь* = |
508 |
105 Па, |
|л* = |
56.10е Па. |
|
|||
2. |
Расчет макроскопических |
напряжений. Методика определе |
ния напряженно-деформированного состояния однородного ци линдра с жесткой оболочкой изложена в работе [32]. Граничные условия краевой задачи на макроскопическом уровне имеют вид
UP ki = о, |
и* |ft'= |
о, |
a*|s,= |
|
|
|
(6.4.3) |
|
0*ls, = |
— |
’Р Z |ва=0< |
В табл. 6.2 приведены значения компонент безразмерного тен зора макронапряжений а г7- = ofj/q в характерных точках кон струкции (см. рис. 6.6). Расчеты были поведены при геометричес ких параметрах конструкции Ыа = 3, ИЪ = 2.
Т А Б Л И Ц А 6 .2
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ НАПРЯЖ ЕНИЯ В ХАР АК ТЕ РН Ы Х ТОЧКАХ КОНСТРУКЦИИ
Точка |
_* |
_* |
_* |
_* |
Ср |
Cz |
<3ф |
Трz |
|
А |
-0,6734 |
-0,5239 |
—0,5431 |
0 |
В |
-0,7710 |
-0,6512 |
—0,6337 |
0,3589 |
С |
-0,3908 |
-1,000 |
—0,6286 |
0,653-10-2 |
D |
-1,000 |
-1,000 |
—0,8385 |
0,339-10-2 |
Е |
-1,000 |
—0,6103 |
—0,1876 |
0 |
3. Построение плотностей распределения структурных напря жений. Из решения стохастической краевой задачи теории упру гости (гл. 2) следует
&ij (f) — JijaftGa&mrfimm |
(6.4.4) |
103
где тензор J определяется по формуле (2.4.6), е* — макродефор нации, соответствующие рассчитанным макронапряжениям. Тен зор С' (г) в соответствии с выражением (6.4.2) для эластомерного композита запишем в виде
с' — (1 *1 % С<»>. |
(6.4.5) |
Тогда для тензора структурных напряжений получим |
|
®ij (/ ) == ^ijmn(^) \Imnpq “Ь ^mn'x^a^pq (^)] &pqi |
(6.4.6) |
а для пульсаций этого тензора с учетом (6.4.2), (6.4.4) получим
|
(F) = Ai} + |
A р ' ('■) + |
A j [**' (f)]2> |
(6.4.7) |
|
где |
|
i __lH— |
|
|
|
Aij |
(1 - p*y |
О м + 24 |
— aiji |
||
L 1 — 2v |
G
D,
(l
1 — 12v |
+ 5v2 |
eaa6ij — 2 (4 — 5v) By j ’ |
15 (1 — v) L 1 — |
2v |
|
В формулах (6.4.6) и (6.4.7) макронапряжения а* и макроде формации e|j связаны с напряженным и деформированным состоя нием того элементарного макрообъема, внутри которого отыски вается распределение структурных напряжений.
Одномерные плотности распределения структурных напря жений можно построить, вычисляя по пульсациям (6.4.7) централь ные моменты второго, третьего и высших порядков. Переход от центральных моментов к плотностям распределения осуществля
ется с |
помощью асимптотического ряда Эджворта [5ZT. Пусть |
|
р — центрированная случайная величина, s — |
ее среднеквадрати |
|
ческое |
отклонение, М 3, М4, . . . — моменты |
высших порядков. |
Удерживая первые три члена ряда Эджворта, для плотности рас пределения величины р будем иметь
/( р) = |
ф(р) + |
1 |
м, |
Ф(3)(р )1 -Ь [^ г (^ --3 )Ф'-»(р) + |
|||
3! |
s» |
||||||
+ 4 г |
аг ) 2 <P(e)( f » M |
- |
i H # - - |
10- ^ к 5) (р) - |
|||
|
|
3)ф(7)( Р |
) - т ( ^ |
- ) 3ф'9)'(Р>] +••• (6.4.8) |
|||
где ф (р) = |
-L - ехр ( — -£ -), |
ф(п) (р) — |
ф |
г Ф (р). |
|||
На рис. 6.7 приведены плотности вероятностей осевых аг и |
|||||||
окружных Оф структурных |
напряжений в макрообъеме с центром |
в точке С конструкции (см. рис. 6.6), соответствующие макрона
пряжениям а* в этой точке.
Для данной конструкции обнаружен интересный физико-меха-
104
Ш
Рис. 6.7. Плотности вероятностей структурных напряжений
1 — для осевых напряжений <т2,
2 — для окружных напряжений рф
Рис. 6.8. Распределение макро напряжений (сплошные линии) и среднеквадратических отклоне ний структурных напряжений (штриховые линии) на поверхно сти цилиндра, скрепленной с оболочкой
1— для радиальных напряжений,
2 — для осевых напряжений
Рис. 6.9. Плотность вероятностей функции структурного разруше ния
нияеский эффект. На рис. 6.8 изображены графики распределения
радиальных ар и осевых oz макронапряжений по поверхности цилиндра, скрепленной с оболочкой, а также соответствующие им <среднеквадратические отклонения структурных напряжений. Ока палось, что при минимальном по модулю значении макронапря
жения о* в точке С конструкции дисперсия радиального струк турного напряжения в этой точке максимальна. И наоборот, мак симальному значению осевого макронапряжения соответствует ми нимальная дисперсия осевого микронапряжения. Это означает, что прочностной расчет, проведенный по найденным макронапряжзниям без исследования структурных полей деформирования, может привести к результатам, неадекватным реальной физичес кой каргине разрушения конструкции из композиционного материала.
4. Определение вероятности структурного разрушения. Расчет вероятности структурного разрушения ри целесообразно прово дить в наиболее опасных точках конструкции, которые легко вы делить по значениям макронапряжений. Исходя из критерия
105
прочности матрицы (6.4.1) и выражения для структурных упру гих модулей (6.4.2), построим случайную функцию структурного» разрушения
Й (г) = Сrl (Р) + |
[1 + X' (г)] о (г) — а+ст. |
Н - и ' П |
|
|
(1 — Р*)2 |
|
|
(6.4.9) |
Тогда вероятность р и вычисляется по формуле
р11 = i |
— Р |
[Q (г) < |
0]. |
|
|
|
|
|
П оскольку |
в элементарном |
макрообъеме |
Q (г) |
является |
случай |
|||
ной однородной |
функцией, |
то, |
используя ряд |
Эджворта, строит |
||||
ся плотность вероятностей |
/(Q ), |
причем |
центральные |
моменты |
||||
рассчитываются на основе |
(6.4.7), |
(6.4.9). |
Анализ функции струк |
турного разрушения эластомерного композита для рассматри
ваемой |
системы |
«жесткая |
оболочка— заполнитель» |
показыва |
|||||||
ет, |
что |
наиболее |
опасной является точка |
D (см. рис. 6.6). Имен |
|||||||
но |
в |
этой |
точке при последовательном |
увеличении |
давления |
||||||
q |
появляется отличное от нуля значение |
вероятности |
р и . Н а |
||||||||
рис. 6.9 приведена |
плотность |
вероятностей |
/(Q ) в точк е/) при |
||||||||
q = |
50 |
-105 |
Па, |
при |
этом |
р и = |
0,002, а |
в |
остальных |
точках |
р11 = 0.
5. Расчет надежности работы конструкции. По заданному зна чению критической макроповреждаемости материала о)*р и най денной вероятности структурного разрушения дается оценка ра ботоспособности конструкции. Надежность работы N определяет ся по формуле
|
In А/ = |
л |
|
|
1 — рU |
1н |
|
В |
нашем |
случае, |
при р п = 0,002 и (о*р = 0,13 получаем N = |
= |
0,996. |
|
|
Литература
1. А кселърад Д . Р. Микромеханика материала со структурой.— В кн.: Теоретическая и прикладная механика: Тр. 14-го Междунар. конгр.
ШТАМ . Делфт. М.: Мир, 1979, с. 251—275.
2.Александров К . С. К вычислению упругих констант квазиизотропных
|
поликристаллических материалов,— ДАН |
СССР, |
1967, |
т. 176, |
№ 2, |
||||||||
|
с. 295 -299 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
А н н и н Б . Д . Современные модели пластических тел. Новосибирск: Но- |
||||||||||||
4. |
восиб. гос. ун-т, 1975. 96 с. |
Расчет |
напряженно-деформированного |
||||||||||
А н н и н Б . Д . , |
Колпаков А . Г . |
||||||||||||
|
состояния конструкции из однонаправленного композита.— В кн.: Чис |
||||||||||||
|
ленные методы решения задач теории упругости и пластичности: (Мате |
||||||||||||
|
риалы VII Всесоюз. конф.). Новосибирск: ИТиПМ СО АН СССР, 1982, |
||||||||||||
5. |
с. 109-115 . |
|
|
В . if . , |
|
|
|
Ю . В . Гравитационная |
|||||
Б арский |
М . Д . , |
Ревнивцев |
Соколкин |
||||||||||
|
классификация зернистых материалов. М.: Недра, 1974. 232 с. |
|
|||||||||||
6 |
Бахвалов Н . С . Осреднение дифференциальных уравнений с частными |
||||||||||||
|
производными |
с |
быстро |
осциллирующими |
коэффициентами.— ДАН |
||||||||
7. |
СССР, 1975, т. 225, № 3, с. 516—519. |
|
|
|
|
нелинейной |
|||||||
Бахвалов |
Н . С. |
Определение |
эффективных характеристик |
||||||||||
|
упругой периодической среды в случае малых деформаций.— В кн.: |
||||||||||||
|
Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: |
||||||||||||
|
(Материалы VII Всесоюз. конф.). Новосибирск: ИТиПМ СО АН СССР, |
||||||||||||
8. |
1982, с. 3—7. |
Эглит М , Э. Процессы в периодических |
средах, не- |
||||||||||
Бахвалов |
Н . С ., |
||||||||||||
|
описываемые в терминах средних характеристик.— ДАН |
СССР, |
1983, |
||||||||||
9 |
т. 268, № |
4, с. 83 6 -8 4 0 . |
|
|
|
|
С. Д . Введение в статистиче |
||||||
Богачев И . Я ., |
В айнш т ейн |
А . А . , |
Волков |
||||||||||
10. |
ское металловедение. М.: Металлургия, 1972. 186 с. |
|
|
||||||||||
Болотин |
В. В. Статистическая теория накопления |
повреждений в ком |
|||||||||||
|
позитах.— Механика полимеров, 1976, № |
2, с. 247—255. |
|
|
|||||||||
11. |
Б олот ин |
В . В . Стохастические модели разрушения: проверка гипотез |
|||||||||||
|
и оценка |
параметров.— Механика |
композит, |
материалов, |
1979, |
№ 2, |
|||||||
12. |
с. 240—247. |
М оскаленко В . Я . |
К |
расчету макроскопических по |
|||||||||
Б олот ин |
В . В ., |
||||||||||||
|
стоянных |
сильноизотропных |
композиционных |
материалов.— Изв. |
|||||||||
13. |
АН СССР. МТТ, 1969, № 3, с. 106— 111. |
|
|
|
|
|
|||||||
Б олот ин |
В . В ., Новичков Ю . Я . Механика многослойных конструкций. |
||||||||||||
14. |
М.: Наука, 1980. 375 с. |
М . А . Уравнения пространственного дефор |
|||||||||||
Б рон ск ий |
А , Я ., К олт унов |
||||||||||||
|
мирования линейных упруговязких сред.— Механика полимеров, |
1965, |
№ 4, с. 3 5 - 4 2 .
15.Вавакин А . С ., Салганик Р . Л . Эффективные упругие характеристики
|
тел с изолированными трещинами, полостями и жесткими неоднород |
|
16. |
ностями.— Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 2, с. 95—107. |
|
Некоторые задачи теории упругости композитных сред/А. А. Вакулен |
||
|
ко, А. А. Кошелева. Л .: Л ГУ , 1979. 47 с. Рукопись |
деп. в ВИНИТИ |
17. |
21.02.79, № 682—79 Деп. |
с покрытиями. |
В ан Фо Ф и Г . А . Теория армированных материалов |
||
|
Киев: Наук, думка, 1971. 232 с. |
|
18. |
В анин Г . А . Новый метод учета взаимодействия в теории композитных |
|
|
систем.— ДАН УССР. Сер. А, 1978, № 7, с. 334—339. |
|
107
19.Ванин Г. А . К основам теории композиционных материалов с неупоря доченной структурой.— Прикл. механика, 1983, т. 19, «N*2 3, с. 9—18.
20.Вентцелъ Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. 576 с.
21.Волков С. Д. Некоторые задачи статистической механики композитных
материалов.— Механика композит, материалов, 1979, № 5, с. 893— 899.
22.Волков С. Д ., Соколкип Ю. В. О нелинейной ползучести пластиков при: случайных нагрузках.— Механика полимеров, 1968, № 2, с. 237—245.
23.Волков С. Д., Ставров В. Я. Статистическая механика композитных материалов. Минск: Изд-во Белорус, гос. ун-та, 1978. 206 с.
24 Геракович К. Неупругие свойства композиционных материалов. М.: Мир, 1978. 295 с.
25.Голъденблат И. И ., Бажанов В. Л ., Копнов В. А . Длительная прочность
вмашиностроении. М.: Машиностроение, 1977. 248 с.
26.Горбачев В. И. Эффективные механические характеристики неоднород ных тел с периодической структурой.— В кн.: Упругость и неупругость.
М.: Изд-во МГУ, 1977, вып 5, с 7 -1 1 .
27.Григорян С. С. Об осреднении физических величин.— ДАН СССР,.
1980, т. 254, № 4, с. 1081—1085.
28.Грингауз М . Г., Филъштинский Л. А . Теория упругого линейно-ар
мированного композитного материала.— ПММ, 1975, т. 39, вып. 3,
с.671—680.
29.Даниловская В. В ., Федоров А . С., Черномордик М. Е. Микронапряже ния, возникающие в модели однонаправленного композита при растя жении в направлении, перпендикулярном волокнам.— В кн.: Проч ность судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1978, с. 23—27.
30.Дудукаленко В. В ., Мешков С. И ., Сараев Л, А . К расчету эффектив ных характеристик пластичности неоднородных сред.— ПМТФ, 1979, № 5, с. 150—154.
31.Дунаев И. М . Разрушение эластомеров.— В кн.: Механика эластоме ров. Краснодар: Краснодар, политехи, ин-т, 1981, с. 24—33.
32.Елтышев В. А ., Поздеев А . А ., Соколкип ТО. В. О совместной работа системы «ортотропная стеклопластиковая оболочка—наполнитель».— Механика полимеров, 1976, № 5, с. 931—934.
33.Жигун И. Г., Полякова В. А . Свойства пространственно-армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1978. 214 с.
34.Иванов В. Я ., Соколкип Ю. В ., Ташкинов А . А . Структурный анализ упругопластического деформирования однонаправленных волокнистых композитов.— В кн.: Тез. докл. V Всесоюз. конф. по композиционным материалам. М.: Изд-ео МГУ, 1981, вып. 1, с. 174—175.
35.Иванов В. Я ., Ташкинов А . А . Расчет полей структурных напряжений
в микронеоднородных упругих средах с регулярной структурой.— В кн.: Структурные превращения в полимерных и жидких кристаллах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981, с. 120—123.
36.Иванов В. Я ., Ташкинов А . А . Метод исследования полей температур ных напряжений в матричных композитах.— В кн.: Структурная меха
ника неоднородных материалов. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982,
с. 62-68.
37.Иванов В. Я., Ташкинов А . А . Физически нелинейные задачи механики структурно неоднородных сред.— В кн.: Структурная механика неодно родных материалов. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с. 109—117.
38.Ильюшин А . А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 376 с.
39.Ильюшин А. А . Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978. 287 с.
40.Ильюшин А . А ., Победря Я. Е. Основы математической теории термо вязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
41.Ильюшин А . А ., Поспелов И. Я. О методе последовательных приближе ний в задаче неустановившейся ползучести.— Инж. журн. Механика
тЕерд. тела, 1964, т. 4, № 4, с. 697—704.
1 0 8
42.Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных. М.: Наука, 1966. 260 с.
43.Канаун С. К. О приближении самосогласованного поля для упругой композитной среды.— ПМТФ, 1977, № 2, с. 160—169.
44.Качанов Л. М . Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 311 с.
45.Келли А. Высокопрочные материалы. М.: Мир, 1976. 261 с.
46.Кишкин Б. П. Конструкционная прочность материалов. М.: Изд-во МГУ, 1976. 184 с.
47.Козлов С. М. Осреднение случайных структур.— Мат. сб. Н. С., 1979,
т. 109 (151), с. 188—202.
48- Колтунов М . А . Ползучесть и релаксация. М.: Высш. шк., 1976. 277 с.
49Композиционные материалы: В 8-ми т. Т. 2. Механика композиционных материалов/Под ред. Дж. Сендецки. М.: Мир, 1978. 556 с.
50Композиционные материалы: В 8-ми т. Т. 5. Разрушение и усталость/ Под ред. Л. Браутмана. М.: Мир, 1978. 484 с.
51.Кольев И . М ., Овчинский А. С. Разрушение металлов, армированных волокнами. М.: Наука, 1977. 240 с.
§2 |
Крамер Г. |
Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. 648 |
с. |
53 |
Кристинсен |
Р . Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 334 |
с. |
54.Левин В. М . О коэффициентах температурного расширения неоднород ных материалов.— Изв. АН СССР. МТТ, 1967, № 1, с. 88—93.
55.Левин В. М. О концентрации напряжений на включениях.— ПММ, 1978, т. 41, вып. 4, с. 610—616.
56.Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415 с.
57.Лифшиц И. М., Розенцвейг Л. Н. К теории упругих свойств поликрис
таллов.— ЖЭТФ, 1946, т. 16, вып. 11, с. 967—980.
58Лифшиц И . М Розенцвейг Л. Н. Поправка к статье «К теории упру гих свойств поликристаллов».— ЖЭТФ, 1951, т. 21, вып. 10, с. 1184.
59.Ломакин В. А. О деформировании микронеоднородных упругих тел.— ПММ, 1965, т. 29, вып. 5, с. 888—893.
60.Ломакин В. А . Статистические задачи механики твердых деформируе мых тел. М.: Наука, 1970. 139 с.
61.Ломакин В. А. Зависимость прочности композитных материалов от
структурных параметров.— Механика композит, материалов, 1979,
№ 2, с. 291—296.
62.Малмейстер А . К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление поли мерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 572 с.
63 Мельников С. В ., Соколкин Ю. В. Свойства случайных полей приме нительно к задачам механики стохастически неоднородных сред.— В кн.: Упругое и вязкоупругое поведение материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981, с. 113—118.
64Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х-
т.Т. 1. Механика материалов/А. Н. Гузь, Л. П. Хорошун, Г. А. Ва
нин и др. Киев: Наук, думка, 1982. 368 с.
65 Милейко С. Т. Микро- и макротрещины в композитах.— Механика композит, материалов, 1979, № 2, с. 276—279.
66. Миллионщиков М. Д. Вырождение однородной изотропной турбулент ности в вязкой несжимаемой жидкости.— ДАН СССР, 1939, т. 22,
№5, с. 236—240.
67.Миллионщиков М. Д. К теории однородной изотропной турбулентнос ти.— ДАН СССР, 1941, т. 32, № 9, с. 611-614.
68.Миллионщиков М . Д. О влиянии третьих моментов в изотропной тур булентности.— ДАН СССР, 1941, т. 32, № 9, с. 615—617.
69.Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика: Механика турбулентности. М.: Наука, 1965. Ч. 1. 421 с.
70 Москаленко В. Я., Масленников С. М . Свойства корреляционных функций локальных характеристик микронеоднородных материалов.—
Вкн.: Проблемы надежности в строительной механике. Вильнюс, 1971,
с.147—159.
71.Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Нау ка, 1972. 281 с.
109
72.Немец Я ., Сервисен С. В ., Стреляев В. С. Прочность пластмасс. М.: Машиностроение, 1970. 335 с.
73.Нигматулин Р. И . Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука,. 1978. 336 с.
74.Николаевский В . Я. Построение континуальных моделей сред с микро структурой методом осреднения.— В ки.: Проблемы осреднения и по строения континуальных моделей в механике сплошной среды. М.: Ин-т пробл. механики АН СССР, 1980, с. 78—82.
75.Новожилов В. В. О связи между напряжениями и упругими деформа циями в поликристаллах.— В кн.: Проблемы гидродинамики и механи ки сплошной среды. М.: Наука, 1969, с. 365—377.
76.Новожилов В . В. О связи между математическими ожиданиями тензоровнапряжения и деформации в статистически изотропных однородных упругих телах.— ПММ, 1970, т. 32, вып. 1, с. 67—72.
77.Обухов А . М. Статистическое описание непрерывных полей.— Тр. Геофиз. ин-та АН СССР, 1954, вып. 24, с. 3—12.
78.Палъмов В. А . Колебания упругопластических тел. М.: Наука, 1976. 328 с.
79.Панасенко Г. Н. Асимптотики высших порядков решения задач о кон такте периодических структур.— Мат. сб. Н. С., 1979, т. 110 (152),. вып. 4, с. 505—538.
80» Писаренко Г. С., Лебедев А. А . Деформирование и прочность материа лов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наук, думка, 1976.
415с.
81.Победря В. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981. 344 с.
82.Победря Б. Е. О численных методах решения некоторых задач упругих
ивязкоупругих композитов.— В кн.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: (Материалы VII Всесоюз. конф.). Новосибирск: ИТиПМ СО АН СССР, 1982, с. 8—17.
83.Победря Б. Е ., Шешенин С. В. Некоторые задачи о равновесии упруго го параллелепипеда.— Изв. АН СССР. МТТ, 1981, № 1, с. 74—86.
84 Пугачев В. С. Теория случайных функций. М.: Физматгиз, I960. 88Я с.
85.Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наукйг, 1966752 с.
86.Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 383 с.
87Разрушение: В 7-ми т. Т. 2. Математические основы теории разрушения/ Под ред. Г. Любовица. М.: Мир, 1975. 649 с.
88Разрушение В 7-ми т. Т. 7. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Ч. 1. Неорганические материалы/Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1976. 633 с.
89.Регель В. Р., Лексовский А . М ., Поздняков О. Ф. Изучение кинетики разрушения композиционных материалов.— Механика композит, ма териалов, 1979, № 2, с. 211—216.
90Регель В. Р . Исследования по физике прочности композитных материа лов: Обзор.— Механика композит, материалов, 1979,,№ 6, с. 999—1017.
91Регель В. Р., Тамуж В. П. Разрушение и усталость полимеров и ком
92 |
позитов: Обзор.— Механика полимеров, |
1977, № 3, с. 458—478. |
|
|||
Ричардсон М. Промышленные полимерные композиционные материалы. |
||||||
93, |
М.: Химия, 1980. 472 с. |
|
|
|
|
|
Свешников А . А. Прикладные методы теории случайных функций. М.г |
||||||
94, |
Наука, 1968. 463 с. |
Соколкин Ю. В. О связи прочностных |
||||
Скачков В. А., |
Леонтьев В. А., |
|||||
|
и деформационных характеристик с разрушением композитных мате |
|||||
|
риалов.— В кн.: Напряженно-деформированное состояние и прочность |
|||||
95, |
конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с. 104—108. |
|
||||
Скачков В. А ., |
Соколкин Ю. В. |
Связанные |
задачи деформирования и |
|||
|
разрушения |
композитных материалов |
и |
конструкций.— В |
кн.: |
|
|
VII Всесоюз. |
съезд по теорет. |
и прикл. |
механике: Аннот. |
докл. |
Алма-Ата, 1981, с. 322.
1 1 0