книги / Механика разрушения вязко-упругих тел
..pdfгласно [28], можно представить в виде |
|
|
|
||
1 |
, |
. 2—а |
|
|
|
-il—а |
(■£ - |
l)l~“ В |
|
, l) X |
|
Л** = [е (а, т)]'— |
|
||||
( 2 — а |
3 — 2а |
- |
/* \ |
( 11.21) |
|
X F |
11 —се |
’ 1 |
/J |
где 5 — эйлеров интеграл первого рода; F — гипергеометричес
кая функция Гаусса. Для целых чисел |
интеграл (11.20) |
выражается в элементарных функциях. Возьмем для опреде ленности а = 0 ,5 и а = 0,8. Величины At* определяются соответ
ственно из следующих аналитических зависимостей:
At* = |
б- 2 (a, v) Jin± — |
|
- |
г ( £ - ' ) + |
|
+ т [ ( т ) ‘ - > ] } . |
(11.22) |
|
At* = е- 5 (а, у) X |
||
х № г - ' ] - т м + |
|
|
+f [(£ )' - ■] - Ш - 1] + 5 [ i - |
1] - Ш1} . |
(, 1.23, |
Полная долговечность согласно соотношениям (10.4), (9.12) и (9.13) запишется так:
г .=- {/Г (2 -о О |
■— 1 |
Г (2 — а) |
1~а + А^, (11.24) |
Xk (а) |
где At* определяется формулами (11.21) — (11.23). В частности,
при а = 0 ,5 выражение (11.24) примет вид
+ « -’ <“ |
• V ) { l n ^ - 2 ( i - l) + i [ ( ^ ) ’ - |
,] ) . (11.25) |
|
В табл. 5 и |
на рис. 32 приведены значения величин А,2Г* |
||
(сплошная линия) и X2At* (штриховая |
линия) для |
а = 0 ,5 при |
|
некоторых значениях параметра |
Эти данные показывают, |
92
|
к |
V A и |
х* тт |
4 |
0,01 |
3270,5900 |
3302,7649 |
|
0 ,02 |
1617,0010 |
1648,5217 |
|
0 ,0 3 |
1065,8929 |
1096,7804 |
|
0 ,0 4 |
790,4052 |
820,6798 |
|
0 ,05 |
625,1659 |
654,8470 |
|
0,06 |
515,0508 |
544,1571 |
|
0 ,0 7 |
436,4355 |
464,9849 |
|
0 ,0 8 |
377,5074 |
405,5171 |
|
0 ,09 |
331,7043 |
359,1910 |
|
0 ,30 |
77,2655 |
96,6912 |
|
0 ,50 |
35,7610 |
50,7869 |
7 |
0,01 |
15887,9767 |
16017,0126 |
|
0 ,02 |
7897,6728 |
8024,5131 |
|
0 ,03 |
5234,3046 |
5358,8194 |
|
0 ,0 4 |
3902,6725 |
4025,0295 |
|
0 ,05 |
3103,7367 |
3224,0007 |
|
0 ,06 |
2571,1505 |
2689,3838 |
|
0 ,0 7 |
2190,7652 |
2307,0278 |
|
0 ,0 8 |
1905,5063 |
2019,8560 |
|
0 ,0 9 |
1683,6659 |
1796,1582 |
|
0 ,3 0 |
443,5990 |
526,9466 |
|
0 ,5 0 |
233,7773 |
300,5654 |
10 |
0,01 |
38581,2692 |
38871,8524 |
|
0 ,0 2 |
19213,8142 |
19499,4741 |
|
0 ,0 3 |
12757,9723 |
13038,8568 |
|
0 ,0 4 |
9530,0392 |
9806,2907 |
|
0 ,0 5 |
7593,2740 |
7865,0291 |
|
0 ,0 6 |
6302,0963 |
6569,4865 |
|
0 ,0 7 |
5379,8284 |
5642,9804 |
|
0 ,0 8 |
4688,1317 |
4947,1672 |
|
0 ,0 9 |
4150,1510 |
4405,1873 |
|
0 ,30 |
1138,7155 |
1330,6339 |
|
0,50 |
624,9326 |
780,5373 |
что для немалых концевых зон, как и в случае материала Мак свелла, при расчете долговечности необходимо учитывать дли тельность инкубационного и переходного периодов, а пренебре гать вкладом этих периодов в долговечность вязко-упругого те ла можно лишь при очень малых концевых зонах (и<0,1).
Г л а в а I I I
ИССЛЕДОВАНИЕ РОСТА МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТРЕЩИН НОРМАЛЬНОГО РАЗРЫВА В ВЯЗКО-УПРУГИХ ТЕЛАХ
§ 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РОСТ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТРЕЩИН В ВЯЗКО-УПРУГОМ ТЕЛЕ
Исследуем рост макроскопических трещин, т. е. тре щин, имеющих малые концевые зоны (d<C/), под действием медленно растущих (постоянных) внешних нагрузок в вязкоупругих телах.
Как известно, распределение упругих напряжений вблизи конца трещины при любых конфигурациях тела с трещинами определяется единым образом через коэффициенты интенсив ности напряжений асимптотическими формулами (4.1), (4.3),. (4.5).
Если зона нелинейных деформаций вблизи концов трещин мала по сравнению с характерными линейными размерами — шириной области, длиной трещины, расстоянием от конца тре щины до границ тела и др., то местное поле деформаций в кон цевой зоне будет также определяться коэффициентами интен сивности напряжений. Это значит, что если мы имеем два тела с одинаковыми физико-механическими свойствами, содержащи ми трещины разной длины и по-различному нагруженных, топри равенстве коэффициентов интенсивности напряжений бу дет совпадать и .поле деформаций в концевых зонах трещин. Исходя из этого факта, для удобства расчетов истинную конфи гурацию заменяют бесконечным телом с полубесконечным раз резом.
Упругое раскрытие берегов трещины в тупиковой зоне пред ставляется, согласно работе [139], в виде
6 (*,1(f)) = Щ г а W |
{2V d ( t ) [ d ( t ) - ( x - l ( t ) ) ] + |
+ (*-/(*)) In |
(12.1). |
Vd{t) + V d ( t ) - ( x - l ( t )) }
где d(0 = |
яК\ |
(концепция а = const); а (t) = —1 (концепция |
|
То* |
|||
|
У 8d |
d = const). Полагаем далее, что Ki имеет структуру вида (8.13),.
которая описывает многие типа нагружения.
Разлагая функцию 1(х) вблизи точки t в ряд Тейлора и ос тавляя в нем вследствие малости d только два члена, получим
/(т)а*/(*) + /(0 (т -* ). |
(12.2} |
Параметр нагружения р(т) также представим в виде отрезка ряда Тейлора вблизи точки т=t
р (т) ~ р (*)+/> (О (T -Q . |
(12.3> |
Исходя из соотношений (12.1) — (12.3), преобразуем уравнение роста трещины (10.1) для двух рассматриваемых концепций.
1. Концепция d = const. В этом случае, оставляя в уравнении
(10.1) только члены порядка не выше - у - , с помощью замены s =
=— х) преобразуем его к виду
£- 1+ f И т )fw*+Шт)‘Ит) *(s)* <12-4>
где
F (s)_ ) / i - s + - § m - r ^ f = r
В том случае, |
если |
внешние нагрузки медленно |
меняются |
|
со временем, третьим |
слагаемым в уравнении (12.4) можно |
|||
пренебречь и записать это уравнение так1: |
|
|||
^ |
= |
1 + |
j R (^ -) F (s) ds. |
(12.5) |
|
|
|
0 |
|
2. Концепция a = const. В этом случае, исходя из (12.1) —
R/гт
(12.3) и подстановки s = — $(t — т), преобразуем уравнение (10.1)
я/Cj
к виду |
1 |
. 1 |
* |
||
= |
1 + A j ‘ *(As)F(s)ds + |
2 ^ A 2j R (As)sF(s)ds. (12.6) |
* |
6 |
0 |
1 Отметим, что в этом случае Ki может иметь произвольную форму.
Для медленно изменяющихся нагрузок уравнение (12.6) за пишется так 1:
(12.7)
о
Уравнения (12.4) — (12.7) являются дифференциальными урав нениями, описывающими квазистатический рост трещин нор мального разрыва в вязко-упругом теле. С другой стороны, эти уравнения устанавливают связь между коэффициентом интен сивности напряжений движущейся трещины и скоростью ее роста. Эта связь является универсальной, поскольку не зави сит от геометрии области и вида внешней нагрузки 2. Отметим, что универсальность такой связи была доказана эксперимен тально для многих конструкционных вязко-упругих материалов
[1, |
162, |
165, |
176, |
194]. |
|
|
Отметим, что если уравнение (12.7) для некоторых частных |
||||
случаев |
исследовалось в работах [75, |
169], то уравнения |
|||
(12.41 — (12.6) до |
последнего времени не |
рассматривались. |
|||
|
Преобразуем уравнение (12.5) для некоторых известных ядер |
операторов наследственной теории упругости и представим за висимость tfico/, определяемую уравнением (12.5), в более
компактной форме. |
М а к с в е л л а . В этом случае R ( t — т) == |
|||
1. |
М а т е р и а л |
|||
= |
= |
т] — коэффициент вязкостиj и |
уравнение (12.5) пре |
|
образуется к виду |
|
|
||
|
|
|
|
( 12.8) |
2. |
Пусть R(t—т) |
есть я д р о А б е л я |
в форме (2.27). Под |
ставляя (2.27) в уравнение (12.5) и вычисляя соответствующий интеграл, получим
(12.9)*06
1 Это уравнение было получено впервые в работе [74] при сильном^ огра ничении: полагалось, что движение трещины происходит с постоянной ско ростью.
2 Отметим, что в общем случае (уравнения (12.4), (12.6)) эта связь
зависит от характера нагружения (скорости нагружения р).
06
3. |
Представим |
R(t—т) |
в виде д р о б н о - э к с п о н е н ц и |
||
а л ь н о й ф у н к ц и и |
(2.28). В этом случае допустимо почлен |
||||
ное интегрирование ряда R(qs)F(s), поскольку ряд (2.28) схо |
|||||
дится |
при t—т > 0 |
абсолютно |
и непрерывно [113]. Исходя из |
||
этого факта, представим уравнение (12.5) в виде |
|
||||
|
|
|
( Ру* |
а) |
( 12. 10) |
|
|
|
Г[(я+1)(1-а)] fs n-t'I+i)“ F(s)ds. |
||
|
|
|
|
о |
|
Вычисляя интегралы, входящие в (12.10), окончательно получим |
|||||
|
•_ t | г.Ул |
|
__________ (—Р)'1<?('1+|)11~ос>___________ |
||
K l |
2 |
^ [ ( » + l ) ( l - o ) + l ] r [ | - + ( n + l ) ( l - a ) j |
|||
|
|
|
|
|
( 12. 11) |
|
§ 13. ИССЛЕДОВАНИЕ РОСТА |
|
|||
|
МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТРЕЩИН |
|
|||
|
В ВЯЗКО-УПРУГОМ ТЕЛЕ |
|
|||
|
ПРИ ОДНОРОДНОМ РАСТЯЖЕНИИ |
|
|||
|
Уравнение |
роста трещины (12.5) в ряде случаев до |
|||
пускает решение в квадратурах. |
|
||||
В |
качестве примера исследуем случай, когда [185] |
|
|||
|
|
Kl = k p V * l |
(р = const). |
(13.1) |
Этот случай для плоской задачи при &=1 соответствует зада че Гриффитса (см. рис. 14), при Д=1,12 — одноосному растяже нию полубесконечной плоскости с краевой трещиной (см. рис. 16), при k = l(n ) (п — число лучей)— всестороннему растяже
нию плоскости со звездообразной трещиной (см. рис. 18). При
п^ Ю g (n )= 2 n * [141], другие значения функции g(n) приве дены в табл. 1.
Уравнение (12.5) для рассматриваемого случая можно пред ставить в форме __
/ у * = 1 + ?<2(?). |
(13-2) |
где |
|
1 |
|
Q (q)=\j R(qs)F(s)ds, ? = |
у . |
6
Поскольку здесь развитие трещины неустойчиво и сущест вует критическая длина /= /* , при которой начинается ее спон-
тайное развитие, справедливо следующее соотношение:
и
(13.3)
i 1
где £** — время достижения трещиной критической длины /*. Вычисляя из (13.2) дифференциал dl и переходя к перемен
ной <7, запишем решение уравнения (12.5) в замкнутой пара
метрической форме
|
t |
- t — |
2 n ( p*\2 f |
qQ(<7)+ q2Q' (q) da |
/13 4\ |
||||
|
* * * |
1 |
- |
[ |
P |
} 30 |
(1 + |
?Q (?))3 |
( k U ) |
где |
*0 P* — критическое |
|
значение |
внешней нагрузки. |
Связь |
параметра q с длиной трещины I устанавливается соотноше
нием (13.2).
Как следует из предыдущей главы, инкубационный и пере ходной периоды для макроскопической трещины пренебрежи мо малы, т. е. можно считать и соответственно ^ / 0. В этом случае долговечность вязко-упругого тела с рас сматриваемым дефектом определится из соотношения
= |
|
(13.5) |
7 |
0 |
|
Для макроскопических трещин справедливо соотношение |
||
т Н ^ |
) ‘- |
<13-б> |
Подставляя (13.6) в уравнение (13.2), установим связь между параметром qo и внешней нагрузкой р в виде
- ^ - = 1 + <7OQ ( ? O)- |
(13 .7) |
В качестве примеров рассмотрим развитие трещин в некото рых вязко-упругих средах.
1. Материал Максвелла. Отметим, что модель Максвелла яв
ляется наиболее простым аналогом поведения линейных поли меров при ползучести и довольно хорошо аппроксимирует кри
вые ползучести этих полимеров, за исключением начального участка [ 101]
Для материала Максвелла имеем |
|
R (qs) = %— const, Q(q) = -j, |
(13.8) |
и из уравнения (13.4) после интегрирования получим аналити ческую зависимость длины трещины от времени в виде
_ h 1 |
j / ( t - i ) - 4 |
(13-9) |
MEо |
|
|
где &— 3 |
/о . |
|
Скорость движения трещины в материале Максвелла описы вается выражением
< и ю >
Из (13.10) следует, что при стремлении внешней нагрузки р к нулю скорость трещины также стремится к нулю, а когда р=р*, скорость трещины бесконечно велика (в этом случае / = 0, ибо v всегда действительное число). Когда 0<р<р*> то, как следует
из, (13.10), всегда существует время /**, при достижении которо го скорость трещины становится бесконечно большой, т. е. на
ступает быстрый динамический рост трещины. Из формулы (13. Ю), а также из более общего соотношения (13.5) для этого слу чая имеем
= |
(13.11) |
Из (13.11) следует, что при р=р* разрушение происходит мгно венно. При уменьшении р долговечность 71* неограниченно рас
тет, что согласуется с опытными данными [69].
На рис. 33 и 34 показаны зависимости приведенной длины трещины
1 |
/ ( О |
~ |
- |
V |
вре- |
i — |
*0 |
и приведенной скорости роста трещины v = y-r от |
|||
|
|
|
*0^ |
|
|
мени при различных значениях параметра — . |
Эти |
кривые |
каче |
||
|
|
Р* |
|
|
|
ственно хорошо согласуются с аналогичными экспериментальными кривыми, приведенными в монографии [119], полученными при ис следовании развития трещин в линейных полимерах.
2. Линейное стандартное тело (материал Кельвина). В этом
случае
R (qs) = %exp [— $qs}. |
(13.12) |
Модель достаточно хорошо (за исключением начального участка) описывает кривые ползучести многих полимеров при невысоком уровне напряжений [101]. В частности, в работе [200] на основе этой модели определены реологические парамет ры полиуретана Solithane 50/50, которые приведены в табл. 2.
Для этих параметров численным методом с применением ЭВМ (интегралы вычислялись по стандартной программе методом Сим псона) было исследовано соотношение (13.4) и получена зависимость
безразмерной длины |
от безразмерного врехмени 0=г—— (тге1— |
0 |
т ге1 |
|
время релаксации, которое для Solit |
|
hane 50/50 равно 0,369 с). |
|
На рис. 35 приведена эта зави |
|
симость при у = 10-3’813 (сплошная |
линия), штриховой линией обозна чена соответствующая эксперимен тальная кривая, полученная в рабо те [200]. Из сравнения теоретиче ских результатов с эксперименталь
ными данными следует, что концепция d = const достаточно хо
рошо описывает кинетику роста трещины в полиуретане Solit hane 50/50, который в США является основным модельным вяз ко-упругим материалом для исследования длительного разру шения.
§ 14. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ТРЕЩИНА НОРМАЛЬНОГО РАЗРЫВА
Все определяющие уравнения роста трещин, приведен ные выше, основываются на общей зависимости (8.1), а поэто
му формально справедливы не только для плоского напряжен ного состояния и плоской деформации, но также и для прост
ранственных трещин нормального разрыва. Основным обстоя тельством, не позволяющим применять эти уравнения для опи сания разнообразных случаев длительного разрушения, являет ся ограниченность применения бл-модели к описанию структуры реальной зоны разрушения вблизи концов трещин [141]. Следу ет отметить, что б/гмодель в ее первоначальной трактовке [105], не связана с наличием у края трещин вырожденных пластичес ких полос, следовательно, ее можно применять для исследования
длительного разрушения вязкоупругих тел в общем случае. Этот факт был использован в работе [75], где изучался рост круговой пространственной тре щины в вязко-упругом теле.
I |
I |
г |
I |
I |
11*а
Рис. 36
В работах [92, 93, 106] рассматривалось развитие круговой дискообразной трещины в вязко-упругом теле при наличии тон кой пластической зоны перед краем трещины.
Рассмотрим вязко-упругий массив, ослабленный плоской кру говой дискообразной трещиной радиуса а, перед кромкой кото рой имеется тонкая концевая зона (область предразрушения) шириной d. Массив подвержен действию растягивающих напря
жений р, нормальных плоскости расположения трещины, как показано на рис. 36. Заменяя концевую зону кольцевым разре зом, находящимся под действием равномерно распределенных самоуравновешенных напряжений а, приходим к рассмотренной выше схеме Леонова — Панасюка— Дагдейла (рис. 37). Рас крытие берегов трещины в этом случае также представляется со отношением (8.1), в котором интегральный оператор вязкоупру
гости имеет вид
8 [1 — (v*)al |
(ИЛ) |
|
я£* |
||
|