книги / Механика разрушения вязко-упругих тел

раметров L, т), (/= 1 , 2, 3,			N— 1) в виде
		N —1
i ^ »	= con+	2 c*»(Tl > - 1l/-')		( « = 0 , 1 , 2 , . . , N - I).
		7_l		(5.40)
Определив из (5.40) значения L и				и подставив их в соот­
ношение	(5.34),	получим	значения его	в зависимости от длины

трещины /0, величины внешней нагрузки ру длины концевой зо­ ны dyпоскольку d = N b .

С другой стороны, если известно значение оо, из соотношений (5.34), (5.40) можно определить величину d.

Если оператор 71* имеет вид
T J = a (f)f (t) + ^ R ( t ,x ) f (т) dx,	(5.41>
о

то, исходя из критерия (5.21) и соотношения (5.35), получим уравнение для определения момента страгивания трещины

(полагается, что нагрузка приложена	при t= 0 )	в форме
U		о
а (/) F (/0, L, rtf + j R (/*, х) F (/„	L, г)г)	. (5.42>
о

Следует, однако, отметить, что определение параметров рас­ смотренной модели в общем случае затруднительно, поэтому7 представляет интерес исследование более простых моделей, для которых характеристики разрушения можно представить в удоб­ ной для дальнейшего анализа форме.

Одна из этих моделей предложена в работе [125]. Эта мо­ дель есть упрощенный вариант изложенной выше модели. Крат­ ко рассмотрим ее суть. В общем случае локальную интенсивность сил сцепления в концевой областц можно записать так:

g (.х, t) = п0а (х , t),

(5.43)

где о(х, t) — напряжения в тяжах; п0— плотность распределе­

ния связей.

Будем приближенно заменять функцию о(х, t) ее средним

значением по длине концевой области

*
а (о = -j- j ° (х>0 dx-	(5-44Х
I

б(/) = Л(0.

(5.45)

Здесь среднее нормальное расширение берегов трещины и сред­ нее удлинение связей на участках [—/, —L] и [/, L] определя­

ются соответственно по формулам

L	^	L
6(Q = i - $ 6 (x,t)dx,	~A(t) =	± . U ( x ,f) d x ,	(5.46)
l		l

где A (x, t) — удлинения связей.

Как и в предыдущей модели, считаем что напряжения на кон* цах трещины конечны, а критерием разрушения служит крите­

рий КРТ.
Отметим, что эта модель включает бк-модель,	когда a(t) =
= const. Физически это соответствует идеальному	пластическо­

му течению материала связей, соединяющих берега трещины.

В общем*случае рассмотренная модель допускает описание процесса длительного разрушения полимерного материала, ког­ да реологические свойства тяжей и материала пластины вне тре­ щины различны. Если же эти свойства тождественны, то, как следует из работ [54, 125], размер концевой области определя­ ется лишь физическими константами материала и не зависит от времени.

Г л а в а

I I

РАЗРУШЕНИЕ ВЯЗКО-УПРУГИХ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ

§ 6. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Изучение вязко-упругих свойств твердых тел, связа­ но, в основном, с широким применением в технике полимеров, а также других материалов (металлов) при экстремальных усло­ виях (повышенная температура, большие давления).

Разрушение этих материалов имеет свои специфические осо­ бенности, которые затрудняют моделирование сложного процес­ са трещинообразования и кинетики роста трещин в таких мате­ риалах.

Дело в том, что механическое поведение сильно деформиро­ ванного материала вблизи конца трещины недостаточно хорошо исследовано. Как отмечается в некоторых работах [7— 10, 170], вблизи вершины трещины, где процесс разрушения идет в ло­ кальной зоне предельно высоких напряжений, в материале мо­ гут образовываться пустоты, субмикротрещины, которые растут и сливаются. Этот распадающийся материал, как отмечается в статье [68], обладает усредненными определяющими характе­ ристиками, которые невозможно измерить в опытах на сплош­ ных образцах; они могут появиться только в кончике трещины и зависят от характеристик материала, окружающего эту (локаль­ ную) зону разрушения. На рис. 28, взятом из работы [182], по­ казана концевая зона трещины в ракетном твердом топливе.

Недостаток знаний о характере разрушения в концевой зо­ не трещины заменяется разумным моделированием структуры края трещины, согласующимся с опытными данными. Краткая характеристика некоторых моделей трещин изложена в § 5.

Так, отправным пунктом моделирования края сквозной тре­ щины в тонкой пластине послужил тот опытный факт, что вбли­ зи концов трещины в полимерном материале или металле из-за высокой концентрации образуются узкие клиновидные области,

Как отмечалось в работах [69, 162], условие a= con st реа­ лизуется при исследовании роста трещин в некоторых конструк­ ционных вязко-упругих материалах, а характеристики процесса разрушения (скорость трещины, долговечность), полученные с помощью указанного условия, хорошо согласуются с экспери­ ментальными данными.

Напротив, при разрушении линейных полимеров, таких как полиметилметакрилат (ПММА), напряжения в концевой облас­ ти существенно меняются с ростом трещины [9, 10, 17, 196], од­ нако размер концевой зоны меняется при этом незначительно, а в довольно широком диапазоне скоростей роста трещины прак­ тически постоянен.

Более того, как следует из экспериментов [9, 17, 194], и фор­ ма концевой области для трещины, растущей в ПММА, не зави­ сит от длины трещины, т. е. имеет место автономность.

Основываясь на этих фактах, будем исследовать развитие трещины в вязко-упругом теле, следуя бк-модели (см. § 5), в рамках следующих концепций.

1. Во время роста трещины cr=const, а размер концевой об­ ласти изменяется со временем и определяется из условия (5.20).

2. При развитии трещины размер концевой области d оста­

ется постоянным (d = const), а напряжение а изменяется с рос­ том трещины и определяется из условия (5.20).

Как следует из обзора работ в этом направлении (§ 1), боль­ шинство исследований посвящено концепции о = const. Концеп­

ция d= con st разработана значительно меньше. Отметим, что концепции d =con st и a = con st получаются как предельные слу­ чаи при моделировании концевой зоны трещины (типа «трещи­ ны серебра») разрезом, берега которого связаны тонкими нитя­ ми-тяжами *, что соответствует экспериментальным данным для линейных полимеров.

Согласно бк-модели параметры d и о связаны соотношением

(5.20), из которого следует, что если один из этих параметров положить постоянным, то другой обязательно должен зависеть от длины трещины Z(Y), а следовательно, неявно и от времени. Так, к примеру, в случае одноосного растяжения (аналог задачи

Гриффитса), полагая d=const, получаем	из (5.20)	выражение
о в виде
°(0 = -f-[arccos 7 ( ^	3-]_1	(6-1)

Отсюда следует, что с ростом длины трещины напряжения в концевой области растут. Аналогичная тенденция наблюдается при разрушении полиметилметакрилата [194].1

1 Эта модель изложена в § 5.

Если одновременно полагать, что d и а не зависят от време­

ни, то в этом случае не будет выполняться условие плавности смыкания берегов трещины на концах, следовательно, напряже­ ния в тупиковой части могут быть бесконечно большими, что противоречит основным положениям бк-модели.

Отметим, что в общем случае (без введения указанных кон­ цепций) определить зависимость а и d от времени можно лишь

из решения задачи сопряжения концевой зоны со всей остальной областью. Получить такое решение для общего случае в насто­ ящее время весьма затруднительно [69, 141], поскольку экспе­ риментальные исследования деформирования материала в кон­ цевой зоне только начинаются и еще не получены уравнения со­ стояния для зоны, вязко-упругое деформирование которой про­ ходит при чрезвычайно высоких напряжениях.

Как отмечается в работах [19, 102], многие вязко-упругие материалы (полимеры, стеклопластики и др.) при достаточно высоком уровне напряжений (вплоть до 0,7—0,8 ав) сохраняют свойство линейности, и их деформирование можно описывать соотношениями линейной теории вязкоупругости.

Поскольку в рамках 6к-модели область повышенных напря­ жений исключена из рассмотрения, то в дальнейшем будем по­ лагать, что всюду в области деформации малы и их можно опи­ сывать линейными соотношениями наследственной теории упру­ гости. Предполагаем также, исходя из указанных опытных дан­ ных, что вязко-упругие деформации в массиве вне трещины за время ее роста пренебрежимо малы по сравнению с деформаци­ ями в концевой зоне.

В качестве критерия разрушения в дальнейшем будем рас­ сматривать критерий критического раскрытия трещины (КРТ) [85, 193], причем будем полагать, что этот критерий справедлив в каждый момент времени для растущей трещины. В этом слу­ чае условие (5.21) преобразуется к виду

6 (*. OU(0 = V

(6-2)

Отметим, что это один из немногих критериев, который опи­ сывает рост трещин с немалой концевой областью. Для трещин с малыми концевыми областями в настоящее время предложено несколько критериев (см. § 1). Наиболее распространенным кри­ терием (кроме КРТ), который применяют при исследовании рос­ та трещин в вязко-упругих телах, является локальный энерге­ тический критерий [165, 199], основанный на постоянстве энер­ гии разрушения. Согласно работе [165], результаты исследова­ ния, выполненные для модели Дагдейла, на основе этого кри­ терия и критерия КРТ совпадают.

Отметим, что энергетические критерии не всегда пригодны для исследования разрушения вязко-упругих тел, поскольку для некоторых полимерных материалов, таких, как ПММА, энергия разрушения может существенно изменяться с ростом скорости трещины [190].

В настоящее время проводятся интенсивные эксперименталь­ ные исследования по установлению области применимости кри­ терия КРТ к исследованию длительного разрушения полимер­

ных материалов	(ПММА, полиуретан Solithane 50/50) [194, 165].
В работах [174,	191], появившихся сравнительно недавно, отме­

чается, что применение критерия КРТ дает хорошее описание докритического роста трещин при ползучести некоторых типов сталей.

В заключение отметим, что обобщение бь-модели на разру­ шение вязко-упругих тел приводит к новой кинетической моде­ ли разрушения, которая отлична от обычной (статической) мо­ дели [105], описывающей предельное равновесие хрупких тел с трещинами. При этом такое отличие определяется не только характером параметров модели (две концепции), но и характе­ ром самого процесса разрушения.

В качестве примера можно рассмотреть характер развития неустойчивой трещины при постоянной нагрузке. Начало раз­ рушения в обоих случаях происходит, когда выполнены усло­ вия (5.21) и (6.2). Однако если в первом случае это будет ус­ коренное динамическое развитие, то во втором (вязко-упругом случае) — медленное квазистатическое.

Развитие трещин в вязко-упругих телах в отличие от упру­ гих имеет несколько характерных этапов, рассмотренных в по­ следующих параграфах настоящей главы.

§ 7. О ПРИМЕНИМОСТИ ПРИНЦИПА ВОЛЬТЕРРА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ РАЗВИТИЯ ТРЕЩИН В ВЯЗКО-УПРУГИХ ТЕЛАХ

При решении многих краевых задач линейной теории вязкоупругости применяют принцип Вольтерра, состоящий в том, что решение таких задач получают из соответствующих упру­ гих решений заменой упругих постоянных временными операто­ рами (операторами наследственной упругости). Принцип Воль­ терра является в настоящее время (особенно в нашей стране) одним из основных методов в решении задач квазистатической теории вязкоупругости.

Параллельно ему (в основном за рубежом) развивался метод решения этого класса задач, основанный на использовании пре­ образования Лапласа, который получил название «принцип

соответствия». Принцип Вольтерра является более общим мето­ дом, чем принцип соответствия, поскольку принцип соответствия справедлив только для интегральных операторов наследствен­ ной упругости с ядрами разностного типа.

Известно, что основанием для применения принципа Вольтер­ ра служит независимость операций по координатам и по вре­ мени в основной системе уравнений квазистатической теории вяз­ коупругости. Вследствие этого задача разделяется на решение соответствующей упругой граничной задачи и расшифровку опе­ раторных функций. Однако само по себе разделение пространст­ венных и временных операций в уравнениях вязкоупругости не является достаточным критерием применимости принципа Воль­ терра уже хотя бы потому, что не учитываются граничные ус­ ловия.

Поэтому для ряда краевых задач теории вязкоупругости не­ обходимо уточнение области применимости принципа Вольтерра и его обоснование.

Начало исследованиям по изучению применимости принци­ па Вольтерра к контактным задачам вязкоупругости было по­ ложено в работах [30, 40, 41]. Позднее эти исследования были перенесены на задачи о распространении трещин в вязко-упру­ гих телах (см. § 1).

Исследуем область применимости принципа Вольтерра при исследовании роста трещины в вязко-упругой пластине в рам­ ках изложенной выше модели разрушения вязко-упругих тел.

Рассмотрим изотропную вязко-упругую пластину, ослаблен­ ную прямолинейным разрезом (трещиной) длиною 2L(t)y вбли­ зи концов которой на отрезках длиною d(t) приложены самоуравновешенные сжимающие напряжения о(х, t). Пластина под­

вержена действию растягивающих напряжений, нормальных плоскости расположения трещины. Согласно работам [141, 180], эту задачу можно свести к случаю, когда область вне трещины будет незагружена, а на контуре трещины приложена некоторая эквивалентная система сил, нормальная плоскости расположе­ ния трещины (см. рис. 29), которую можно записать так:

q{x,t) = \ 0,	а ( /) < 1 * |< /( 0 .	(7Л>
1 - о ( * .0 .	l ( t ) < \ x \^ L ( t ) .
Здесь L(t) = l(t)+d(t).	основные соотношения	плоской
Следуя [146], считаем, что

теории вязкоупругости получаются из соответствующих выра­ жений теории упругости заменой упругих постоянных операто­ рами наследственной упругости и имеют вид (3.9) и (3.13).

Полагаем, что операторы последственной упругости есть не­ коммутативные линейные операторы Вольтерра II рода вида (2.7).

Решение этой задачи без применения принципа Вольтерра получено в § 3. Раскрытие берегов трещины для произвольного

закона изменения длины трещины L(t) определяется формулой

(3.20).

Подставляя функцию (7.1) в соотношение (3.20), получим

	—ДО			[а (|, t) Г0 (L (t), х, 5)] d| —
	v (х, 0, t) =	f
	—Ш
	L{t)			а(0
	- [ T t [ o & t ) T 0(L(f),x,l)](%+ [				T*[q0(l,t)T0(L,x,t)]<%.
	ДО			-а(0
	Делая замену переменной		s = | £ | —l(t) в первых двух интегра­
	лах, получим
	v (х, 0, t) =		vd (х, 0, t) -f		va (х, 0, t).	(7.2)
	Здесь	d{f)
	vd (х, 0, t) =			Tm{a (s, f) Q0 (L (/), s)} ds,		(7.3)
		-	J
			о
	®. (x, 0, t) =	a(0		T* [q0<g, t) Г0 (L, x, D] ds,		(7.4)
		-	f
		-o(0
	Ц ,(L (0, *, s) =	Г0 (L(t), x,s +			l) + T0(L(0, x , - s - l ) .

Пусть dmaxTO — наибольший размер концевой зоны при измене­ нии х (переменной интегрирования оператора (2.7) в интерва­ ле [0, /]). Ввиду того что напряжение а(£, t) по предположению равно нулю вне [0, d(t) ], формулу (7.3) можно представить так:

		d(t)
Vd (X, 0 , t ) = —		{[	Tt {a (s, t)Q0 (L (t), x, s)} ds=
	dmaxd)
= —	^ T* {a (s, t) Q0 (L (t), x, s)} ds =
=	- T *	J	a(s,t)Q0(L(f),x,s)ds.	(7.5)
		0

В случае, если концевая зона монотонно растет со временем (ли­

бо постоянна), dmaxO) =d(t)	и выражение (7.5) можно предста­
вить в виде
d(0
vd (x, О, =	a(s,t)Q0(L(t),x,s)ds.	(7.6)

О

Таким образом, операции действия оператора Г* и интегрирова­ ния по длине концевой зоны коммутативны только при монотон­ ном росте концевой зоны трещины (либо ее постоянстве).

Рассмотрим теперь вопрос о применимости принципа Вольтерра для обеих рассматриваемых концепций. Будем полагать

<T(S, t) =a(t).

Концепция d= const. В этом случае справедливо представ­

ление (7.6).

Отметим, что характер изменения a(t), в основном, бывает

трех типов:

a (t) = а = const, a(t) = L(f), a(t)=^l(t).

Jb первом случае операции действия оцераторд. Х+ илштегрдро-

вания по длине концевой области коммутативны и, следователь­ но,

f	Т* [<70 & t) Г0 (L, х,®}<%= Tt J q0(1, t) Г0 (L, *, S) d§.	(7.7)
—a	—a

В этом случае нормальное перемещение берегов трещнцы_олределится так:

v(x, 0, /) = r N,|j' (a (t) [Г0 (L, x,s + Г) — Г0 (L, x , — s — /)] ds —

- f q0(£, t) Г0(L, *,g)di|

(7.8)