книги / Основы теории цепей. Ч. 2
.pdfи коэффициент передачи по току
kI = |
I&2 |
= |
|
|
I&2 |
|
|
= |
|
|
|
I&2 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
. (2.48) |
|
& |
& |
|
|
& |
& |
Z |
|
|
|
& |
A Z |
|
|
||||||||
|
I |
|
A U |
2 |
+ A I |
2 |
|
A I |
2 |
2 |
+ A I |
2 |
|
2 |
+ A |
||||||
|
1 |
|
21 |
22 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
21 |
22 |
|
Если четырехполюсник нагружен на характеристическое сопротивление, то в соответствии с (2.39), (2.40)
k |
|
= |
|
|
U&2 |
|
= |
|
Z 2C |
e−Γ; |
|
|
U&2 |
|
|
|
|
||||||
U |
|
Z1C Z 2C eΓ |
|
|
Z1C |
||||||
|
|
|
|
|
I&2 |
|
(2.49) |
||||
k |
|
= |
|
|
= |
Z1C |
e−Γ. |
||||
I |
I&2 |
Z 2C Z1C eΓ |
|
||||||||
|
|
|
|
Z 2C |
Если U2, Z 2 , U1, I1 являются функциями частоты, то
kU ( jω) = |
|
Z |
2 |
( jω) |
|
; |
||
A11 |
( jω) Z 2 |
( jω) + A12 |
( jω) |
|||||
|
|
(2.50) |
||||||
kI ( jω) = |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
||||
A21 |
( jω) Z 2 |
( |
jω) + A22 ( jω) |
|||||
|
|
Модули этих величин представляют собой амплитудно-частот- ные характеристики (АЧХ), а их аргументы – фазочастотные характеристики (ФЧХ).
Используются и такие передаточные функции, как передаточ-
ное сопротивление
kIU = |
U& |
= |
|
U& |
|
|
= |
|
U& |
|
|
|
= |
|
Z |
2 |
|
||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(2.51) |
|||||||
& |
& |
|
+ |
& |
|
|
& |
|
A Z |
|
+ A |
||||||||
|
I |
|
A U |
|
A I |
|
|
A U& |
+ A |
U |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
1 |
|
21 2 |
|
22 |
2 |
|
|
|
|
21 |
|
22 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 2 |
22 |
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
и передаточная проводимость
k |
= |
I&2 |
= |
|
|
I&2 |
|
|
= |
|
|
|
I&2 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
. (2.52) |
||
|
& |
|
|
& |
& |
|
|
|
|
& |
|
|
|
||||||||||
UI |
& |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
A Z |
|
+ A |
|||||||||
|
U |
A U |
2 |
+ A I |
2 |
|
A I |
2 |
2 |
+ A I |
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
11 |
12 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
11 |
12 |
|
71
2.13. СОЕДИНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Рассмотрим три вида соединения четырехполюсников – каскадное (цепная схема соединения, рис. 2.8), параллельное (рис. 2.10)
ипоследовательное (рис. 2.11).
2.13.1.Каскадное соединение
Пусть в цепной схеме соединения заданы А-пара- метры четырехполюсника
(АI) и (АII). Выразим напряжение и ток на входе
четырехполюсника заданными напряжениями и токами на выходе последнего четырехполюсника (в данном случае второго). Для первого и второго четырехполюсников справедливы следующие соотношения:
U& |
|
|
= [ AI ] |
&1 |
|
||
I1 |
|
|
|
U& |
|
|
= [ AII ] |
& |
2 |
|
|
I2 |
|
|
U&&2 ,I2
U&3& .I3
(2.53)
(2.54)
Подставив значение матрицы |
U& |
|
|
из (2.54) в (2.53), получим |
& |
2 |
|
||
|
I2 |
|
|
U& |
|
= [ AI ] [ AII ] |
&1 |
|
|
I1 |
|
|
Если схема состоит из равенство
U& |
|
n |
&1 |
= ∏[ Ak ] |
|
I1 |
|
k =1 |
U& |
|
n=2 |
U& |
|
&3 |
|
= ∏[ Ak ] |
&n+1 |
. |
I3 |
k =1 |
In+1 |
n четырехполюсников,
U&n+1 |
|
= [ A |
] |
U&n+1 |
|
, |
& |
|
э |
|
& |
|
|
In+1 |
|
|
|
In+1 |
|
|
справедливо
(2.55)
72
где Aэ – эквивалентная матрица, равная произведению n матриц,
n
Aэ = ∏[ Ak ].
k =1
Таким образом, матрица А-параметров каскадно соединенных четырехполюсников равна произведению матриц А-параметров отдельных четырехполюсников.
|
Пусть имеется два четырехполюсника с постоянными переда- |
чи Γ1 |
и Γ2 и с характеристическими сопротивлениями Z ′1C , Z′2C , |
Z ″1C , |
Z ″2C . Причем, Z′2C = Z ″1C . Если включить их по цепной схеме |
(рис. 2.9) и подключить на выходе второго четырехполюсника Z ″2C ,
то будет иметь место согласованное включение двух четырехполюсников. В соответствии с (2.39)
|
|
′ |
|
″ |
||
U&1 =U&2 |
Z 1C |
eΓ1 ; U&2 =U&3 |
Z 1C |
eΓ2 . |
||
′ |
″ |
|||||
|
Z |
2C |
Z |
2C |
I&1 |
|
I&2 |
2 |
|
I&3 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Z 1вх = Z ′1C U&1 |
AI |
U&2 |
Z ′2С = Z ″1C |
AII |
Z ″2C |
U&3 |
|
1′ |
|
|
2′ |
|
|
3′ |
|
|
|
|
Рис. 2.9 |
|
|
|
|
После подстановки получим
|
|
|
|
′ |
″ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
∑Γk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
& |
= |
Z |
1C Z |
1C |
& |
|
Γ1 +Γ2 |
= |
Z |
1C |
& |
Γ1 +Γ2 |
= |
Z |
1C |
& |
k =1 |
. |
|||
U1 |
|
|
|
U |
3e |
|
|
|
U3e |
|
|
|
U3e |
|
|||||||
|
′ |
″ |
|
|
″ |
|
|
″ |
|
||||||||||||
|
|
Z |
|
2C Z |
2C |
|
|
|
|
Z |
|
2C |
|
|
|
Z |
|
2C |
|
|
|
Если цепная схема будет состоять из n согласованных четырехполюсников, то
73
|
|
|
|
′ |
n |
|
|
U& |
= U& |
|
Z |
∑Γk |
|
|
|
n+1 |
1C |
ek =1 |
, |
(2.56) |
|||
|
(n) |
||||||
1 |
|
Z |
|
|
|
||
|
|
|
2C |
|
|
|
где U&n+1 – напряжение на выходе последнего четырехполюсника.
В схеме, состоящей из n согласованных симметричных четырехполюсников,
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
U& |
= U& |
∑Γk |
|
|
|
|
ek =1 . |
||
|
|
|
|
1 |
|
n+1 |
|
|
|
|
2.13.2. Параллельное соединение |
||
|
|
При параллельном соединении четырехполюсников (см. рис. 2.10) |
||||
напряжения на входе и выходе четырехполюсников равны:U&1′ = U&1′′ , |
||||||
& |
′ |
& |
′′ |
, т.е. являются общими для всех четырехполюсников. Поэто- |
||
U |
2 |
= U |
2 |
му в качестве системы, описывающей это соединение, следует выбирать систему уравнений в Y-параметрах. Для схемы (см. рис. 2.10) справедливо равенство
|
|
|
|
|
|
I&′ |
|
|
U& |
′ |
|
I&′′ |
|
U& |
′′ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
[Y ] |
1 |
, |
|
|
1 |
= |
[Y ] |
1 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
I&′ |
|
|
|
U& |
′ |
|
|
I&′′ |
|
|
U& |
′′ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
Просуммировав эти выражения с учетом того, что |
I&1 = I&1′ + I&1′′ , |
||||||||||||||||||||||
& |
&′ |
&′′ |
& |
&′ |
|
&′′ |
|
& |
& |
′ |
& |
′′ |
, получим |
|
|
|
||||||||
I2 |
= I2 |
+ I2 , U1 |
= U1 = U1 , |
U2 = U |
2 = U |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
I& |
|
|
I&′ |
+ |
I&′′ |
= ([YI ] + [YII ]) |
U& |
|
n=2 |
U& |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
= |
1 |
+ |
1 |
|
1 |
|
= ∑[Yk ] |
1 |
. |
||||||||||
|
|
|
I& |
|
|
I&′ |
I&′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U& |
|
k =1 |
U& |
|
|||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||
|
Если параллельно включено n четырехполюсников, то |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I&1 |
|
|
|
n |
|
U&1 |
|
|
|
U&1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
& |
= |
|
∑[Yk ] |
& |
|
|
= [YЭ ] & |
. |
|
(2.57) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
k =1 |
|
U2 |
|
|
|
U2 |
|
|
Следовательно, при параллельном соединении четырехполюсников матрица Y-параметров есть сумма матриц Y-параметров отдельных четырехполюсников.
74
2.13.3. Последовательное соединение
При последовательном включении четырехполюсников
(см. рис. 2.11) токи |
& |
&′ |
&′′ |
, |
& |
&′ |
&′′ |
, |
т.е. являются общими |
I1 |
= I1 |
= I1 |
I2 |
= I2 |
= I2 |
для всех четырехполюсников. Для математического описания соединения удобно воспользоваться уравнениями четырехполюсника в Z-параметрах:
U& |
′ |
|
I&′ |
U& |
′′ |
I&′ |
|
||||
|
1 |
|
= [ZI ] |
1 |
, |
|
1 |
|
= [ZI I ] |
1 |
. |
U& |
′′ |
|
|
I&′ |
|
U& |
′′ |
|
|
I&′′ |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
Просуммируем эти выражения с учетом того, что U&1 = U&1′ + U&1′′ ,
U& |
= U&′ + U&′′ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U& |
′ |
+ U& |
′′ |
U& |
|
|
= ([ZI ] + [ZI I ]) |
I& |
|
n=2 |
I& |
|
|||
|
|
1 |
+ U& |
1 |
|
= |
1 |
|
|
1 |
|
= ∑[Zk ] |
1 |
. |
||
|
U& |
′ |
′′ |
|
U& |
2 |
|
|
I& |
|
k =1 |
|
I& |
|
||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
Если в схеме n четырехполюсников включены по последовательной схеме, то
U&1 |
|
n=2 |
I&1 |
|
I&1 |
|
|
& |
|
= ∑[Zk ] & |
|
= [ZЭ ] & |
. |
(2.58) |
|
U2 |
|
k =1 |
I2 |
|
I2 |
|
|
Таким образом, при последовательном соединении четырехполюсников матрица Z-параметров эквивалентного четырехполюсника равна сумме матриц Z-параметров отдельных четырехполюсников.
75
Выражения (2.53) – (2.58) дают возможность перейти от сложных схем соединения четырехполюсников к схемам, состоящим из одного четырехполюсника с соответствующими параметрами эквивалентных матриц.
2.14. ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ
Типовые задачи
Задача 1.
Дано: параметры симметричной мостовой схемы (рис. 2.12, а):
Z1 = 20 Ом, Z 2 = 60 Ом.
Z1
1 2
Z2 Z2
1' |
2' |
|
Z1 |
|
Z1 |
1 |
2 |
Z2 |
Z2 |
2' |
1' |
|
Z1 |
аРис. 2.12 б
Найти: зависимость входного сопротивления схемы от сопротивления нагрузки.
Решение.
Поскольку Z вх = |
U& |
= |
A U& |
2 |
+ A I& |
то с учетом того, что |
|||||
I& |
A U& |
+ A |
I& , |
||||||||
|
1 |
|
|
11 |
12 |
2 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
21 |
2 |
22 |
2 |
|
|
|
|
U&2 = I&2 Z Н , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
вх |
= A11 Z Н + A12 |
, |
|||||||
|
|
|
|
A21 Z Н + A22 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
и решение сводится к отысканию А-параметров.
76
Всоответствии с п. 2.4 определим А-параметры при помощи режимов холостого хода и короткого замыкания, для чего преобразуем схему (рис. 2.12, б) и найдем входные сопротивления соответственно холостого хода и короткого замыкания со стороны первичных
ивторичных выводов. Поскольку четырехполюсник симметричный, сопротивление холостого хода со стороны первичных выводов совпадает с сопротивлением холостого хода со стороны вторичных выводов. Аналогичное утверждение верно и для сопротивлений короткого замыкания.
Врезультате получаем
Z1x = Z 2 x |
= |
Z1 + Z 2 |
= 40 Ом; Z1к = Z |
2к |
= |
|
|
|
Z1 Z 2 |
+ |
Z1 Z 2 |
= 30 Ом. |
|||||||||||
|
|
|
Z1 + Z 2 |
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 + Z 2 |
||||||||
Тогда в соответствии с формулами (2.16) – (2.17) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
A11 |
= A22 = |
|
Z1х |
|
= |
|
40 |
|
|
= 2 ; |
|
||||||||||
|
|
Z 2 х |
− Z 2к |
40 |
−30 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A |
= A Z |
2к |
= 2 30 = 60 Ом; |
A |
= |
A11 |
= |
2 |
|
= 0,05 Ом-1. |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
12 |
11 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
Z1х |
40 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Окончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Z вх |
= |
2Z |
Н |
+ |
60 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,05Z Н + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.
Дано: параметры согласующего трансформатора (рис. 2.13): коэффициент связи k = 0,5; R2 = 4R1 = 40 Ом; X2 = 4X1 = 40 Ом; сопротивление нагрузки RН = 10 Ом.
Найти: А-параметры и входное сопротивление трансформатора со стороны первичных выводов, построить Т-образную схему замещения.
77
1 |
& |
R |
|
& |
R2 |
2 |
|
|
I1 |
1 |
XM |
I |
2 |
|
|||
|
|
* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U&1 |
|
X1 |
|
X 2 |
|
RН |
U&2 |
|
1' |
|
|
Рис. 2.13 |
|
|
|
2' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Составим уравнения трансформатора по II закону Кирхгофа:
U&1 = Z1I&1 − Z M I&2 ,
0 = Z 2 I&2 − Z M I&1 +U&2 .
Выразим из уравнений трансформатора первичные напряжение и ток через вторичные напряжение и ток, для чего из второго уравнения выразим первичный ток:
I& |
= |
1 |
U& |
|
+ |
Z 2 |
I& |
, |
|
2 |
|
||||||
1 |
|
Z M |
|
|
Z M |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и подставим его в первое уравнение:
U&1 |
= |
Z1 |
U&2 |
+ ( |
Z1 Z 2 |
− Z M )I&2 . |
|
|
|||||
|
|
Z M |
|
Z M |
Сравнение полученных уравнений с уравнениями четырехполюсника в А-параметрах для прямого питания (2.9) позволяет получить искомые А-параметры:
A = |
Z1 |
; A |
= |
Z1 Z 2 |
− Z |
|
; |
A = |
1 |
; A = |
Z 2 |
. |
|
|
M |
|
|
||||||||
11 |
Z M |
12 |
Z M |
|
|
21 |
Z M |
22 |
Z M |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
В полученных выражениях
Z1 = R1 + jX1 =10 + j10 Ом; Z 2 = R2 + jX 2 = 40 + j40 Ом;
Z M = jX M ; X M = k X1 X 2 =10 Ом.
78
Подставляя численные значения, получим:
A11 =1 − j ; A12 |
=80 − j10 Ом; A21 = − j0,1Ом-1; A22 = 4 − j4 . |
|||
Входное сопротивление трансформатора |
||||
Z вх = |
A11 Z Н + A12 |
= |
(1 − j)10 +80 − j10 |
=11, 22 + j9,024 =14, 4e j 38,5o Ом. |
|
|
|||
|
A21 Z Н + A22 |
− j0,1 10 + 4 − j4 |
Для определения параметров эквивалентной Т-образной схемы воспользуемся формулами (2.21):
Z 0 |
= |
1 |
= |
1 |
= j10 Ом; Z1 |
= |
A11 −1 |
=10 Ом; Z 2 |
= |
A22 −1 |
= 40 + j30 Ом. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Y 0 A21 |
|
A21 |
|
A21 |
Эквивалентная Т-образная схема представлена на рис. 2.14.
10 |
40 |
30 |
R1 |
X -X |
M |
R2 |
X -X |
M |
|
1 |
2 |
10 |
XM |
Рис. 2.14 |
Рис. 2.15 |
Т-образную схему замещения можно было получить, произведя развязку индуктивной связи (рис.2.15).
Задача 3.
Дано: напряжение на входе четырехполюсника (рис. 2.16) U&1 =100 В, частота ω=1000 с-1; параметры четырехполюсника:
L = 0,01 Гн, C = 500 мкФ.
Найти: характеристические параметры, напряжение и ток на согласованной нагрузке.
79
1 |
L |
L |
2 |
|
|
C |
Z Н = Z С |
1' |
|
Рис. 2.16 |
2' |
|
|
|
Решение.
Определим параметры эквивалентной симметричной Т-образной схемы замещения по формулам (2.19), помня о том, что у эквивалентного четырехполюсника парамет-
ры A11 = A22 :
A11 =1 + Z1Y 0 ; A12 = Z1 + Z 2 + Z1 Z 2 Y 0 ;
A21 =Y 0 ; A22 =1 + Z 2 Y 0 ,
здесь Z1 = Z 2 = jωL = j103 0,01 = j10 Ом; Y 0 = jωC = j0,5 Ом-1.
После подстановки численных значений получим А-параметры:
|
−4 |
− j30 |
A = |
|
. |
j0,5 |
−4 |
Проверка правильности расчетов:
det A = A11 A22 − A12 A21 = (−4)2 −(− j30) j0,05 =1 .
Определим характеристические параметры четырехполюсника:
характеристическое сопротивление Z C = |
A12 |
= |
− j30 = j7,75 Ом; |
|
|||
|
A21 |
j0,5 |
|
мера передачи Γ = ln( A11 + A12 A21 ) = ln(7,87e j180o |
) = 2, 06 + j3,14 . |
||
Коэффициент затухания (ослабления) Α = 2,06 Нп, коэффици- |
ент фазы Β = 3,14 рад.
При согласованном режиме входное сопротивление симметричного четырехполюсника равно характеристическому. Следова-
тельно, |
|
|
|
|
|
I&1 |
= |
U&1 |
= |
100 |
= − j12,9 А. |
|
|
||||
|
|
Z вх |
j7,75 |
80