книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии

стема интегральных уравнений (V.22) примет следую­ щий вид:

о«Чх,у,0) =

П	(i. П, °) X
fh(6,4) + 2

1=1 (Фк

х ^ 4 —(5— хк) — (л — yh)2	dE4r\

V (.x — xh 2+ {y — yh 2—all(x — t)2+ (y — г])2]

(6 = 1 ,2

(V.24)

Для многих конкретных случаев система интеграль­ ных уравнений (V.24) решается методом последователь­ ных приближений. При этом величина нормальных на­ пряжений oz(x,y,0), действующих в плоскости располо­ жения трещин, запишется через искомые функции

ОгЩх, у, 0) в виде

(X, у, 0) = 2 °ik) (*’ У»°)’ (*• У) 5 “ Я- (V.25) k=\

После того как найдена величина растягивающих на­ пряжений oz(x, у, 0), коэффициент интенсивности напря­ жений Ki (К п = К т = 0) вычисляется по формуле (V.18).

П р и м е р 2. Рассмотрим неограниченное тело и от­ несем его к цилиндрической системе координат Oryz. Считается, что такое тело ослаблено осесимметричной системой п параллельных круговых в плане трещин ра­

диусов аи (6 = 1, 2,	/г), центры которых лежат на оси
Oz и имеют координаты		(0, hk). Пусть на поверхностях
каждой из трещин действует			самоуравновешивающаяся
		•>	согласно граничным усло­
система внешних усилий fk(r)
виям
S(r,A0 = - ^ ( r ) f		r < a h (6 = 1 ,2 ........n). (V.26)

Определение упругого равновесия такого тела явля­ ется частным случаем рассмотренной выше общей за­ дачи. После некоторых преобразований и вычислений си­ стема интегральных уравнений (V.22) для данной зада­ чи примет следующий вид:

ok(r,hh = -------

i ---------

х

п у г2— о?

“*1Тк (р) -	2 °<(рл> Vа\ — рЧр
I	t=H*k)
Х J	г2- Р 2
о
( * = 1 , 2 ........п).		(V.27)

•>

Для конкретного числа трещин величины аДр, hh)

вычисляются через их значения сгДр, Ы) и система ин­ тегральных уравнений (V.27) сводится к виду, удобному для решения методом последовательных приближений.

2.Предельно равновесное состояние призматичных брусьев, ослабленных внутренними круговыми трещинами

иподвергнутых растяжению

Постановка задачи и метод ее решения. Рассмотрим призматичный брус, ослабленный в поперечном сечении соосной круглой в плане внутренней трещиной радиуса

а. Принимаем, что такое тело							(брус) растягивается рав­
номерно		распределенными по					его	сечению усилиями р,
которые		приложены			на	большом		расстоянии от плос­
кости расположения трещин
(рис. 31).			цилиндрическую
Введем
систему координат г, ф, z
так, что ось Ог совпадает с
осью бруса,			плоскость			г =
= 0 — с		плоскостью			распо­
ложения трещины. Требует­
ся установить наименьшее
значение		внешних			усилий
р = р *,	при		достижении			ко­
торого		возможно			распро­
странение трещины:
В силу симметрии напря­
женного		состояния			относи­
тельно	плоскости			располо­
жения	трещины			г = 0		кри­

териальные уравнения (II.3)

й (II.4) сведутся к такой системе уравнений:

	Ki (Р*> Ф*) = 0, (2) К У (а*) [1 —			sin 2а*];
	Г		1 __п	(V.28)
		<?Ф
	L		Iv-v.— и>
где	а», f ( а » ) — величины,		найденные в	параграфе	2
гл.	I; ф* — значение координатного угла			ф, который	оп-

ределяет точку на контуре трещины с максимальной интенсивностью напряжений az(r, ф, 0).

Следовательно, задача сводится к установлению коэффициента интенсивности напряжений /Ci(p, ф), что в свою очередь приводит к задаче упругого равновесия

полубесконечного		призматичного	бруса,	когда	на его
торце 2 = 0 заданы такие граничные условия:
az(л Ф» 0)	=	— р,	г < а ;		(V.29)
(л Ф. 0)	=	0,	R (ф) >	г > а;
'Гг Л Л Ф .0 )= тФг('',Ф.0) = 0,			Г< Я (ф ),
а на боковых поверхностях
(л ф, г) =	тпг (л, ф, г) = хпе (г, ф, Z),			(г, ф, г) £ 5,
		( * = 1 ,2 ,... , ft),			(V.30)

где # ( ф) — радиус-вектор контура поперечного сечения бруса; k — количество его боковых поверхностей S,; п — нормали к поверхностям 5,-; е — перпендикулярные орты к нормалям п и оси Oz.

При деформировании бруса нормальные перемеще­ ния точек его боковых поверхностей Si будут малыми по сравнению с продольными перемещениями. Поэтому для упрощения математического решения задачи будем

считать, что вместо граничных условий (V.30) на	боко­
вых поверхностях 5, бруса выполняются условия
н„ {г, Ф, z) = хпг (г, Ф, z) = хпс (г, ф, z) = 0,
(г, ф, z) £ S* (t = 1 ,2 ,..., ft).	(V.31)

Ошибка, получаемая при решении такой задачи с заменой граничных условий на боковых поверхностях

(V.30) условиями (V.31), будет незначительной. Это утверждение следует из данных, полученных в работах [68, 82], где рассмотрена задача о растяжении длинных круглых цилиндров радиуса R с внутренними соосными трещинами радиуса а соответственно при граничных условиях (V.30) и (V.31). Результаты, полученные для

обоих упомянутых случаев, отличаются	друг от друга
не более чем на 5% при е = а /? _1^0,9.	Следовательно,

замена граничных условий (V.30) условиями (V.31) в сформулированной выше задаче вполне допустима и обеспечивает нужную для практических целей точность.

Таким образом, определение нормальных напряже­ ний az(r, ф, 0), действующих в плоскости расположения трещины, свелась к решению задачи об упругом равно­ весии полубесконечного призматичного бруса с гранич­ ными условиями (V.29) и (V.31). Для некоторых част­ ных случаев поперечного сечения бруса (полоса, тре­ угольник, квадрат) задача упругого равновесия с гра­ ничными условиями (V.29) и (V.31) сводится к упругой задаче для неограниченного тела, в одной из плоскостей которого размещены соответствующие периодические системы круговых трещин. С этой целью исследуем сле­ дующую вспомогательную задачу.

Рассмотрим упругое пространство, где введена си­ стема декартовых координат Oxyz. Разобьем плоскость 2 = 0 сеткой правильных многогранников. Можно пока­ зать, что это возможно лишь для случаев, когда коли­ чество сторон каждого многоугольника равно 2, 3, 4, 6.

Принимаем, что в каждом таком многоугольнике имеется круглая трещина радиуса а, центр которой сов­ падает с центром многоугольника и на поверхностях ко­ торой действует равномерное давление интенсивности q (рис. 32).

Напряженное состояние в таком пространстве будет симметрично относительно плоскостей, проходящих че­ рез стороны многоугольников перпендикулярно к плос­ кости 2 = 0. На этих плоскостях будут выполняться ус­ ловия (V.31), а в области каждого многоугольника — условия (V.29).

Таким образом, если поперечное сечение бруса — по­ лоса, треугольник, квадрат или шестиугольник, решение задачи о его трещиностойкости сведется к определению упругого равновесия неограниченного пространства, ос-

лабленного выше описанной периодической системой круговых трещин.

Учитывая симметричность напряженного состояния в рассматриваемом пространстве, а также пользуясь ре­ зультатами исследований, изложенных в предыдущем параграфе, решение вспомогательной задачи сведем к такому интегральному уравнению:

^ • у ) = „ У ,. +	[р (“ - 1 ' *’ + ! ? - * ‘X
	С О

х arct§	+	+ 1Г Я	5 > ^ ~ ^	+
		До	*=1
+	« . ’! +	»•>	* '4 '	(V-32)

где ос,-, — косинусы углов между осями Ох и Оу, раз­ деляющие на части многоугольник с центром в начале О системы координат и соответствующими осями разде­ ла i-ro многоугольника; До — область круга |2+т]г^ я ; (Xi, Уг) — координаты центра i-ro многоугольника.

Величина нормальных напряжений a2(jt, у, 0), дей­ ствующих в плоскости расположения трещин, или, что то же, в поперечном сечении бруса с трещиной, выра­ жается через искомую функцию ф(х, у) так:

		оо
Ог(X, у, 0) =		2	Ф («г* + xi> fay + Ui),	(V.33)
		/=0
где а0 = Ро =	1; х0 =	у0 =	0.	случаев
Уравнение	(V.32)	для	некоторых частных

можно решить методом последовательных приближений. Растяжение толстой пластины, ослабленной попереч­ ной круговой трещиной. Рассмотрим бесконечную пла­ стину толщины 2/z, ослабленную круговой трещиной ра­ диуса а, размещенной в поперечном сечении пластины (см. рис. 31, а). Введем прямоугольную систему декар­ товых координат Oxyz так, чтобы плоскость 2 = 0 совпа­ дала с плоскостью расположения трещины, начало коор­ динат— с центром трещины, а ось Ох была направле­ на перпендикулярно к основаниям пластины (см.

рис. 31,а).

Пусть такая пластина подвергнута одноосному рас­ тяжению на бесконечности равномерно распределенными

усилиями р,	параллельными	оси	Oz.	Задача состоит в
установлении	наименьшего	значения		внешних усилий
р = р *, при достижении которого			может начаться рас­
пространение трещины.

Поскольку материал пластины считается квазихрупким, а внешняя нагрузка симметрична относительно плоскости расположения трещины, решение задачи све­ дется к определению нормальных разрывающих напря­

жений сг2(х, Уу 0) из	упругой задачи		для	полубесконеч-
ной пластины, когда	на ее границе		2 = 0	выполняются
граничные условия (V.29), а на		боковых		поверхностях
их ( ± К у, z) = тхг ( ± h, у уz) =		хху ( ± К у, г) = 0. (V.34)

На основании изложенного задачу упругого равно­ весия для полубесконечной пластины с граничными ус­ ловиями (V.29) и (V.34) решаем с помощью следующей однопериодической задачи теории упругости. Предполо­ жим, что в одной из плоскостей неограниченного упру­ гого тела имеется периодическая система круговых тре­ щин радиуса а, центры которых расположены на одной

прямой на расстоянии 2h один от другого. Пусть на по­ верхностях каждой из этих трещин действует постоянное нормальное давление р. Введем прямоугольную систему декартовых координат Oxyz так, чтобы плоскость хОу совпадала с плоскостью трещины, а ось Ох — с линией центров трещин. В этом случае координаты центров тре­ щины будут такими: Xh=2kh; yh=0 (k = 0 , ± 1 , ± 2 , ...), а интегральное уравнение (V.32) примет вид

* <*■	[р ( ° ~		V x f + ^	- a’ х
xa rct«	y , . + y. - i . ) + H	S	<РЙ +	2Ь|.Ч)Х

	Д0 1= -с о (Ф 0 )
	.. / а г- ^ - т | 8е д ]	(V.35)
	х С* — I)2 + (J/ — Л)2 J

Уравнение (V.35) решаем методом последователь­ ных приближений, процесс которых сходится. После про­ ведения необходимых преобразований и вычислений со­ ответствующих интегралов, а также используя соотно­ шение (V.33), для приближенного вычисления напря­ жений oz{x, у, 0), действующих в поперечном сечении пластины с трещиной, получаем формулу

	<*■ »•°>=	„ у	{(“ -		х
х		< > +	-|-[о.1002е» + 0,0194s- +
+	0,00648е +	0,0042е7 - f	(0,1296е3 +		0,0709ев) —
— -jj- (0,03248s +		0,0118е6) + £	0,0787е3 +		-j£0,0098е3—
—	0,1181е3] \ + - |/ ( 0 ,1 2 9			6 е в + 0,0709е7) х
	Г а 3	а х 2		2а 3х 2 1
	■+■ [ 15 (JC2 +	(/=) — 3 ( х 2 + у2 ~		15 (JC2+ ^2)2 J
	(°>0324е5 +	°>0118е?) [ 15 (х2 + у2			3 (*2 + у2 ~~
ПО