книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии

лентном нагружении и напряженно-деформированного состояния в теле с трещиной, на поверхности которой действуют нормальные напряжения

а<2>(х, у» 0) =	— а<»	(х, у, 0),	(*, у) 6 5.	(1.5)
Здесь S — область трещины;		crz(1)(*> у,	0), crz(2)(*,	У, 0) —
функции нормальных	напряжений в плоскости 2 = 0 со­

ответственно для первого и второго напряженных со­ стояний.

Первое напряженное состояние не зависит от пара­ метров трещины, поэтому величину б будет определять только второе напряженное состояние. Так как трещина считается макроскопической, то конфигурация зоны предразрушения в окрестности контура L и напряженнодеформированное состояние в ней будут такими, как в случае неограниченного тела с полубесконечной трещи­ ной при эквивалентном нагружении. Поэтому рассмот­ рим вспомогательную задачу о напряженно-деформиро­ ванном состоянии неограниченного тела с полубесконеч­ ной трещиной, подвергнутого воздействию внешних усилий, вызывающих в окрестности контура трещины напряженное состояние, которое описывается коэффици­

ентом интенсивности	напряжений Кь совпадающим с
^Ci(р, ф) для основной	задачи.

Как и в работе [62], зону предразрушения вдоль кон­ тура трещины моделируем двумя полосами пластическо­ го скольжения шириной /, направленными под углом а к плоскости расположения трещины (рис. 1, в). Тогда определение напряженно-деформированного состояния в теле сведется к упругой задаче для неограниченной плос­

olO -cU )

где г| = - 5—s— — ; а* — значение угла а для наибольшей

ширины I пластической зоны.

Решая это уравнение, для определения ос* получаем

такую приближенную формулу:
а* = 71° — т]26°.	(1.9;

Тогда на основании соотношений (1.4) и (1.8) кри­ терий (1.3) для задач теории трещин можно записать так:

К\{р*, Ф*) = BhhEf~l («*) (1 - У*Г1К — та (а*)], (1.10)

где значения угла ср* находятся из условия максимума

	левой части выражения		(1.3), т. е. из уравнения
	_а	(Р*. ф )/(«* )		= 0.	( 1. 11)
	дер	Ts	та (а*) _ф=ф*
	При двухосном растяжении—сжатии в зоне предразруше-
	ния напряжениями	о” * и а(1 величина деформации			разру­
	шения материала	будет	являться функцией параметра
	т1о = а<')/а(».

По аналогии с известным [46] определением пласти­ ческой деформации при двухосном растяжении — сжа­ тии выражение для деформации разрушения материала представим в виде

6ft (Ло) = 8fc/o К), /о Ы = 1 — «оЛо-

(Ы2)

Здесь ао — неизвестная величина — характеристика раз­ рушения материала при сложном напряженном состоя­ нии, которая устанавливается экспериментально; ги — значение величины деформации разрушения материала при одноосном растяжении.

Если	параметр г| = 0 , то из	условия (1.11) следует
критерий	Ирвина:
	KI (/>*.9*) =	/Cic,	(U3)
где характеристика вязкости		разрушения	Кю связана

с параметром h и величиной е* следующим	соотноше­
нием:
Klc = У 4,5hExsth( l - v 2)-i.	(1.14)

1C учетом равенств (1.12) и (1.14) уравнение (1.11) можно записать еще так:

К\ (/>*, ф*) = 0,(2) К гсГ1(а*) /о Ы

К — («*)]■ (I-15)

На основании уравнений (1.12) и (1.15) можно опре­ делить предельное значение р= р * внешнего напряже­ ния, а также характеристику Kic вязкости разрушения материала для различных силовых схем нагружения тел

стрещинами.

Пр и м е р . Рассмотрим задачу Гриффитса о растя­ жении в неограниченно удаленных точках равномерно распределенными усилиями р толстой (случай плоской деформации) пластины, ослабленной трещиной длины 2а. Определяя коэффициент интенсивности напряжений Ki по результатам работы [34], а также используя урав­ нение (1.15), для вычисления предельного значения внешней нагрузки р=р* получаем формулу

р* = 2ат[sin 2а* + Vsin2 2а*+56,5256а?аКш/: (а*)]-1 .

(1.16)

где OT= 2 TS — предел текучести на растяжение.

При стремлении а-Я) функция (1.16) дает корректное значение предельной нагрузки, которое равно пределу прочности бездефектного материала. На рис. 2 по фор-

нения также приведены результаты (кривая 2), получен­ ные для этой задачи на основании критерия Ирвина (1.13). Например, при ао~3,9, что, как следует из ниже­ изложенного, соответствует случаю макротрещины, пре­ дельное значение внешней нагрузки р*, подсчитанное по формуле (1.16), на 14% меньше соответствующего зна­ чения, найденного на основании критерия Ирвина (1.13). Это является результатом учета в предлагаемой модели регулярной части функции растягивающих напряжений, действующих в окрестности контура трещины.

Условия автомодельности. Критериальное уравнение (1.15) качественно определяет изменение предельного значения внешней нагрузки, вообще говоря, для всех размеров тела и содержащихся в нем трещин. Однако количественное значение таким образом вычисленной нагрузки в случае не макроскопических трещин будет отличаться от точного. Это связано с тем, что при выводе уравнения (1.15) предполагаются макроскопические раз­ меры тела и трещины, при которых напряженно-дефор­ мированное состояние в зоне предразрушения описыва­ ется коэффициентом интенсивности напряжений Къ Для полноты предлагаемой расчетной модели необходимо установить математические соотношения (условия авто­ модельности), определяющие оптимальные размеры тела и трещины, которые обеспечивают правомерность при­ менения критериального уравнения (1.15). Эту задачу решаем следующим образом [38]. Пусть геометрические размеры тела и трещины характеризуются линейными параметрами at {i= 1, 2, ..., m). При стремлении а ^ о о получаем неограниченное тело с разрезом в виде полу­ плоскости. Величину растягивающих напряжений а2(*о,

О, 0)	на границе зоны предразрушения (рис. 3)		х = х 0
представим		в следующем виде:
Ох(х0,0,0) =		(2лх0 - 1/2К1(р,а1, ... ,ат /(°>(Х0 ... Д т ),	(1.17)
где	= х 0а~1, /°(Я,1, ...Д т ) — безразмерная функция от

безразмерных параметров А,г, которая находится из решения задачи упругого равновесия; х0= / cos а*.

Предполагаем, что если на промежутке [0, хо] напря­ жения сг2(хо, 0, 0) описываются коэффициентом интен­ сивности напряжений Ki, то этот коэффициент опреде­ ляет напряженно-деформированное состояние во всей

области предразрушения 0i (см. рис. 3). Поэтому, чтобы зона предразрушения находилась в условиях состояния плоской деформации и соответствовала случаю полубесконечной трещины, необходимо выполнение равенства

fi0)(K - Д т ) = 1.

(1.18)

справедливого только при неограниченно больших по сравнению с Хо значениях а*. Для установления прак­ тически применимых размеров а\ соотношение (1.18) за­ пишем неравенством

|/(0)(Ь1,...Ь т ) - 1 1 < 0 ,0 9 ,

(1-19)

которое обеспечивает выполнение условий автомодель­ ности распространения трещины с погрешностью не бо­ лее 9%. Поверхность

Д т ) - 11 = 0,09

(1.20)

в системе координат OXi, ..., Хт ограничивает область W значений Xi, обеспечивающих выполнение условий авто­ модельности зоны предразрушения с упомянутой выше точностью. Как следует из сказанного, число независи­ мых параметров Xiздесь будет w— 1. Поэтому, выбрав оптимальные значения параметров Xi=X{k (£= 1, 2, ..., т— 1), принадлежащих области W, и определив по этим значениям и соотношениям (1.20) величину Хт= Х т*, для установления условий автомодельности найдем соот­ ношения

(* = l,2 ,...,m ).

(1.21)

Заменяя в неравенствах (1.21) параметры Xi их вы­ ражениями через геометрические параметры тела, тре­ щины и размер зоны предразрушения /, а также исполь­ зуя соотношение (1.7), получаем

^ > 0,01 145/CI2C COS а*тГ2 (А,*)-1 [1 — cos (За* — 30°)]2 х

Х(1 — т] sin 2а*)-2 ( / = 1, 2,... , т).

(1.22)

Соотношения (1.22) являются условиями автомодель­ ности зоны предразрушения и определяют оптимальные (в смысле принятой выше точности) значения геометри­ ческих размеров тела и трещины яг-, для которых право­ мерно использование критериального уравнения (1.15).

П р и м е р . Исследуем условие автомодельности для рассмотренной выше задачи Гриффитса. На основании соотношения (1.17) и результатов работы [34] функцию /W(A) для данного случая запишем вследующем виде:

(*•=-&)• (1-2)

Подставляя значение функции /(0)(А,) из равенства (1.23) в неравенство (1.19) и решая это неравенство от­ носительно Я, находим, что

0,0616. (1.24)

Тогда условие автомодельности (1.22) для данного случая запишется так:

2а > 0,1858/С1стГ2 cos а* [1 — cos (За* — ЗО0)]2 х

X (1 — г] sin 2а*)~2.

(1.25)

Следовательно, решение задачи Гриффитса в виде (1.16) является корректным, если длина трещины удов­ летворяет условию (1.25).

Определение вязкости разрушения К\с материала че­

рез его механические характеристики и параметр струк­ туры. Существующие методы определения характеристи­ ки Кю (см., например, работы [9, 15, 16, 34, 38, 44, 61]) основаны преимущественно на экспериментальном ис­ следовании разрушения образцов с трещинами по из­ вестным силовым схемам нагружения. Для достаточно пластичных материалов такая оценка связана со значи­ тельными трудностями в изготовлении образцов больших размеров и в технической реализации опыта. По этой причине некоторыми исследователями были сделаны попытки установить [24, 50] вязкость разрушения Кю материала через некоторые механические характеристи­ ки и параметры структуры. Однако полученные [50, 71, 72, 76, 80] аналитические зависимости носили полуэмпирический характер и практически хорошо согласовыва­ лись только с теми экспериментальными данными, на основании которых они фактически найдены.

В рамках предложенной выше расчетной модели ана­ литически найдена формула для оценки вязкости разру­ шения материала через его механические характеристи­

ки

и параметр

структуры.

К1С

/

(

Эта

формула

имеет доста­

200

• шЛг

точно универсальный харак­

у *

°

•

тер и расчеты по ней хорошо

150

согласуются

с

известными

экспериментальными

дан­

/•

ными.

100

Используя

результаты

с /

работы

[54],

деформацию

50

разрушения

гк

определяем

приближенно

через

величи­

ну относительного

сужения

.0

50

W0

150

200 К'£

гладкого образца ф по такой

Рис. 4

формуле:

8л =

1п(1 — 'Ф)-1 -

(1-26)

На основании соотношений (1.14) и (1.26) выражение

для вязкости разрушения запишем так:

К 1С—

4,5/ITs£ (1 — v2)-1 In (1 -

ip)"1.

(1.27)

Если

положить

4,5 Л =р

и величину

р считать

неко­

торым характеристическим параметром структуры ма­ териала, соотношение (1.27) примет вид

К1С= У pxsE(l — v2)-1 In (1 - у ) ' 1.

(1.28)

Формула (1.28) проверялась результатами экспери­ ментальных исследований, проведенных ранее другими авторами [51, 77]. При этом для термоупрочненных ста­ лей величина р принималась равной размеру первичного аустенитного зерна. С целью сравнения на рис. 4 пред­ ставлены значения /Cic(p) для сталей 4340 (треугольни­ ки), 45ХН2МФА (квадратики), 40Х (кружочки), подсчи­ танные по формуле (1.28), и значения Кю{э\ найденные экспериментально [51, 57]. Результаты этого сравнения свидетельствуют в пользу формулы (1.28).

Для многих материалов определение величины р че­ рез структурные характеристики связано со значитель­ ными трудностями. В этом случае довольно эффектив­ ным может оказаться следующий способ. Поскольку с понижением температуры структура для многих мате­ риалов мало изменяется, то и параметр р также практи­

чески постоянен. Поэтому, определив по известным ме­ тодикам на малых образцах при низкой температуре (температуре жидкого азота — 196°С) вязкость разруше­ ния Kic, а также установив характеристики ts, Е, v, ф по стандартным методикам, можно по формуле (1.28) подсчитать параметр р. В дальнейшем в случае оценки Kic для данного материала при какой-либо другой тем­ пературе находят лишь характеристики т«, Е, v, ф для этой температуры. Затем, после подстановки этих зна­ чений в формулу (1.28) вместе с найденным ранее зна­ чением параметра р, вычисляют величину Kic- Такой способ является особенно эффективным при установле­ нии вязкости разрушения достаточно пластичных мате­ риалов, когда обычные методики предусматривают ис­ пытание образцов больших размеров.

3. Общее решение задачи термоупругого равновесия

При определении упругого и термоупругого состояний трехмерных тел с трещинами особенно важным является правильный выбор общего решения уравнений термо­ упругого равновесия

(1 — 2v) Ды + graddiv и —2а<°> (1 + v) gradТ= 0, (1.29)
*>	смещений;		Т — функция распределения
где и — вектор
температуры в	теле;	а(0) — коэффициент теплового расши-
д2	д2	д2	2-;	x,y,z — декартовые	коорди­
рения; Д = - ^	+ - ^	+ -^
наты.
Известные	представления			[25, 32, 33, 43, 57]	Папко-
вича — Нейбера, Галеркина,				Кельвина и других	иссле­

дователей обладают большой общностью, однако мало эффективны при решении некоторых частных задач, на­ пример для случаев трещин с плоскими поверхностями.

В настоящем параграфе получено [5] общее решение

уравнений (1.29) в случае полупространства.
Теорема 1. Если в	упругом полупространстве 2 ^ 0
отсутствуют объемные	силы, источники тепла и

т 1**00= 0;	= 0,	(1.30)
	2^00

то разложение вида
2ри = 2 grad div Ф — 2(1 — v )-^ - +	(1 — 2v)(grad03 —
— а 3 div ф) — 2а(0)р (1 + v) j* ^ grad Тdzdz —
2	2
— 4 а 3р а «»(1 + v ) jTd2		(1.31)

2

(здесь а1эа2, а3 — направляющие единичные вектора прямо­ угольной системы декартовых координат Oxyz) является решением уравнения (1.29), а проекции Ф4, Ф2 и Ф3 гар­

монического вектора Ф = Ф (ф4, Ф2, Ф3) определяют в плос­ кости z = 0 соответственно касательные и нормальные напряжения.

Для доказательства этой теоремы и установления соотношения (1.31) поступим следующим образом. В свя­

зи с тем что в прямоугольной системе декартовых коор- ■>

динат компоненты вектора перемещений и являются бигармоническими функциями, разложение этого вектора можно представить через гармонические вектор-функции

ф =ф (ф 1, ф2, фз) и ЧГ= Ч Г(ЧГ1, Ф2, Фз) в виде

2|xu =	z grad div ф - f		Ф.	(1.32)
Подставляя соотношение		(1.32) в	уравнение (1.29), на-
•>	->	связаны соотношением
ходим, что функции ф и ¥

div	1- 4v)-§L]=4a(>(1'+v)T- a-3)
	Ф + (3-

Используя результаты работ [55, 64], можно пока­ зать, что для исследования термоупругого равновесия рассматриваемого тела достаточно только трех гармо­ нических функций. В связи с этим определим вектор-

функцию Ф через компоненты вектора ср и функцию Т распределения температуры в теле следующим образом.

Ф = — 2(1 — v )-J - + (l — 2v) (grad Ф3 — а3 div ф) —