книги / Сборник задач по общей физике

его изображения (d и f) и записать формулу линзы и формулу увеличения, связывающие расстояния d, f и F. Добавив к основным уравнениям вспомогательные (обычно они устанавливают дополнительные связи между расстоянием от линзы до предмета и изображения), нужно решить полученную систему уравнений.

Основные формулы

1. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β для данной пары веществ есть величина постоянная, называемая относительным показателем преломления второго вещества относительно первого:

n21 sinsin αβ.

Абсолютным показателем преломления какого-либо вещества называется показатель преломления этого вещества по отношению к вакууму или воздуху.

Относительный показатель преломления второго вещества относительно первого n21 равен отношению абсолютных показателей преломления этих веществ:

n21 n2 .

n1

Если луч света переходит из оптически более плотного вещества (n1) в оптически менее плотное (n2 n1), то при некотором предельном значении угла падения пред угол преломления становится равным 90°, преломленный луч исчезает, а падающий испытывает полное отражение. Предельный угол определяется из формулы

sin пред n2 , где n2 < n1. n1

121

2. Формула тонкой линзы

d1 1f F1 (собирающая линза), d1 1f F1 (рассеивающая линза),

где d – расстояние от предмета до линзы; f – расстояние от линзы до изображения; F – фокусное расстояние линзы.

Оптическая сила линзы

D F1 .

Линейное увеличение предмета – это отношение размера изображения Н к размеру предмета h:

Hh df d F F .

Примеры решения задач

№ 1. На стеклянную пластинку, показатель преломления которой 1,5, падает луч света. Найти угол падения луча, если угол между отраженным и преломленным лучами 90°.

Р е ш е н и е.

Из рисунка видно, что + + = , откуда = – – = /2 – , тогда по за-

	кону преломления	sin α	n .	Но	sin =
		sinβ
	= sin( /2 – ) = cos , тогда			sin α	n или
				cosα

tg = n, откуда = arctgn = 0,98 рад.

№ 2. В фокусе рассеивающей линзы установлен предмет высотой 5 см. На каком расстоянии от линзы находится изображе-

122

ние? Определите размеры изображения. Фокусное расстояние линзы 10 см.

Р е ш е н и е.

Для рассеиваюшей линзы формула тонкой линзы имеет вид

d1 1f F1 ,

где d = F, откуда находим расстояние мнимого изображения от линзы

			f		F	0,05 м.
				2
Увеличение	f		hx	, откуда
	d		h
hx	hf			0,05 0,05			0,025 м.
		d		0,1

4.2. Волновая оптика

Волновой оптикой называют раздел физики, в котором изучаются оптические явления на основе представления о свете как электромагнитной волне. Основной задачей волновой оптики является установление закономерностей распространения световых волн в прозрачных средах и взаимодействия света с веществом. Волновой характер света проявляется в таких физических явлениях, как интерференция, дифракция и поляризация.

Задачи на интерференцию света делятся в основном на две группы: задачи, связанные с интерференцией волн от двух когерентных источников, и задачи на интерференцию в тонких пленках.

Если когерентные источники образуются путем разделения одного и того же источника на два (с помощью зеркал, призм или как-либо еще), то предварительно нужно определить положение

123

этих источников друг относительно друга и относительно экрана. Для этого следует воспользоваться законами геометрической оптики. Далее если положения источников света известны, то координаты максимумов и минимумов интерференционной картины на экране можно найти следующим образом:

–ввести систему координат и выбрать произвольную точку на экране;

–провести в эту точку лучи от обоих источников;

–из геометрических соображений найти пути l1 и l2 волн, распространяющихся вдоль этих лучей, выразив их через координаты точки на экране и расстояние до экрана;

–найти оптические пути n1l1 и п2l2 волн;

–найти оптическую разность хода волн;

–если требуется определить координаты максимумов, то полученную оптическую разность хода следует приравнять к величине, равной целому числу длин волн (или четному числу длин полуволн); если требуется определить координаты минимумов, то разность хода лучей следует приравнять величине, равной нечетному числу длин полуволн;

–найти координаты максимумов и минимумов интерференционной картины, расстояние между интерференционными полосами и ширину интерференционных полос.

При интерференции в тонких пленках оптическая разность хода интерферирующих волн возникает за счет дополнительного расстояния, пройденного одной из них. В таких задачах следует учитывать, что одна из интерферирующих волн отражается от гра-

ницы раздела сред. Если отражение происходит от среды с показателем преломления большим, чем среда, в которой распространяется свет, то фаза отраженной волны изменится на π радиан, что соответствует оптическому пути, равному ± λ/2. Если отражение света происходит от среды с меньшим показателем преломления, то фаза отраженной волны не меняется.

Задачи на дифракцию также делятся на две группы соответственно двум видам дифракции – дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера.

124

Для решения задач на дифракцию Френеля (или дифракцию в расходящихся лучах) необходимо освоить метод зон Френеля, позволяющий путем геометрических построений установить закономерности распределения интенсивности волны на круглом отверстии или круглом диске.

Большинство задач на дифракцию Фраунгофера (или дифракцию в параллельных лучах) связано с дифракционной решеткой – совокупностью большого числа щелей одинаковой ширины, разделенных одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками. Из основной формулы дифракционной решетки dsin = ± kλ можно сделать три вывода: 1) число главных максимумов ограничено, и наибольшее значение k определяется условием kmax = d/λ, так как значение синуса не может превышать единицы; 2) дифракционная картина является симметричной относительно первичного луча, проходящего через главный фокус линзы; 3) положения главных максимумов, за исключением только центрального максимума (k = 0), зависят от длины волны света. Из последнего вывода следует, что дифракционная решетка обладает способностью разлагать падающий на нее свет по длинам волн. Если, к примеру, на решетку падает белый свет, то все дифракционные максимумы, кроме нулевого, будут окрашены, т.е. разложатся в спектр, причем фиолетовый участок спектра будет располагаться ближе к центру дифракционной картины, а красный участок окажется дальше от ее центра.

Задачи на поляризацию в методическом плане не представляют особой трудности. Достаточно хорошо разобраться с природой поляризованного света и двумя законами – законом Малюса и законом Брюстера.

Основные формулы

Интерференция света

1. Скорость света в среде v nc , где с – скорость света в вакууме; n – показатель преломления среды.

125

2.Оптическая длина пути луча L = nl, где l – геометрическая длина пути луча в среде с показателем преломления n.

3.Если один луч проходит путь длиной l1 в среде с показателем преломления n1, а другой луч – путь l2 в среде с показателем

преломления n2, то оптическая разность хода этих лучей

=n1l1 – n2l2.

4.Разность фаз колебаний связана с оптической разностью

хода интерферирующих волн соотношением	2π		,	где λ –
		λ

длина световой волны в вакууме.

5. Условие максимального усиления света в результате ин-

терференции = ± kλ (k = 0, 1, 2, …).

Условие максимального ослабления света

= ±(2k + 1)λ/2 (k = 0, 1, 2, …).

Дифракция света

6. Радиусы зон Френеля в случае плоского волнового фронта rk kr0λ , где rk – радиус зоны, k – номер зоны (k = 1, 2, …); r0 –

расстояние от круглого отверстия в непрозрачном экране до точки наблюдения, расположенной на оси отверстия; λ – длина световой волны.

7. При дифракции параллельного пучка лучей монохроматического света на одной узкой длинной щели:

а) направления, в которых амплитуда колебаний дифрагированных лучей минимальна, определяются из условия

asin 2k	λ	kλ	(k 1, 2, 3, ...), где а – ширина щели;
	2

– угол отклонения лучей от нормали к плоскости щели, определяющий направление на дифракционный минимум; k – порядковый номер минимума; λ – длина световой волны;

126

б) направления, по которым амплитуда колебаний дифрагированных лучей после их интерференции максимальна, определя-

ются по формуле		(2k 1)	λ	(k 1, 2, 3, ...) .
	asin		2

8. При дифракции на плоской дифракционной решетке направления, в которых наблюдаются максимумы света, определяются из условия (a + b) sin = ± kλ (k = 0, 1, 2, …), где а – ширина прозрачной полоски (щели); b – ширина непрозрачного штриха; d – период решетки (или постоянная решетки), d = (а + b); – угол между нормалью к поверхности решетки и направлением дифрагированных лучей; k – порядковый номер дифракционного максимума.

9. Разрешающая сила дифракционной решетки R λλ , где

Δλ – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (λ и λ + Δλ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки.

Разрешающая сила R решетки тем больше, чем больше штрихов решетка содержит и чем больше порядковый номер дифракционного максимума: R = kN, где N – полное число штрихов

решетки.
d		k
10. Угловая дисперсия решетки D dλ			.
		a b cos

При дифракции рентгеновских лучей на кристаллической решетке направления, в которых имеет место зеркальное отражение (дифракционный максимум), определяются из уравнения Вульфа– Брэггов 2dsinθ = kλ, где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; θ – угол скольжения (угол между направлением пучка параллельных рентгеновских лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла).

127

Поляризация света

11. Закон Брюстера. Луч, отраженный от поверхности диэлектрика, максимально поляризован, если тангенс угла падения α луча на поверхность раздела двух сред равен относительному показателю преломления n21 второй среды относительно первой: tg Бр = n21. Закон Брюстера неприменим в случае отражения от поверхности проводников.

12. Закон Малюса. Интенсивность I2 плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор, прямо пропорциональна квадрату косинуса угла между плоскостью колебаний светового вектора падающего света и плоскостью пропускания анализатора: I2 = I1cos2 , где I1 – интенсивность света, падающего на анализатор.

13. Вращение плоскости поляризации. Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света:

а) в твердых телах = d, где – постоянная вращения; d – толщина пластинки, вырезанной из твердого тела;

б) в чистых жидкостях = [ ] l, где [ ] – удельное вращение; ρ – плотность жидкости; l – длина столбика жидкости;

в) в растворах = [ ]Сl, где С – концентрация раствора (масса активного вещества в единице объема раствора).

Примеры решения задач

№ 1. От двух когерентных источников S1 и S2 (λ = 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n = 1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине dmin пленки это возможно?

Р е ш е н и е.

Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные ми-

128

нимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода лучей на нечетное число половиндлин волн, т.е.

2	– 1	= (2k + 1)	λ	,	(1)
			2
где 1 – оптическая разность					хода	лучей до внесения пленки;

2 – оптическая разность хода тех же лучей после внесения плен-

ки; k = 0, ±1, ±2, … .

Наименьшей толщине dmin пленки соответствует k = 0. При

этом формула (1) примет вид
	2 – 1 = λ .	(2)
	2
Выразим оптические разности хода 2 и		1. Из рисунка сле-
дует: 1 = l1 – l2, 2 = [(l1	– dmin) + ndmin] – l2 = (l1 – l2) + dmin(n – 1).
Подставим выражения 2	и 1 в формулу (2):

(l1 – l2) + dmin(n – 1) – (l1 – l2) = λ2 , или dmin(n – 1) = λ2 .

Отсюда dmin 2 nλ 1 . Подставив числовые значения,

найдем

dmin	0,8	1,21 мкм.
	2 1,33 1

№ 2. На стеклянный клин с малым углом нормально к его грани падает параллельный пучок лучей монохроматического света с длиной волны λ = 0,6 мкм. Число m возникающих при этом интерференционных полос, приходящихся на 1 см, равно 10. Определить угол клина . Показатель преломления стекла n = 1,5.

129

Р е ш е н и е.

Лучи, падая нормально к грани клина, отражаются как от верхней, так и от нижней грани. Эти лучи когерентны, поэтому на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы. Поскольку угол клина мал, то отраженные лучи 1 и 2 (рисунок) будут практически параллельны.

Темные полосы видны на тех участках клина, для которых разность хода лучей кратна нечетному числу половин длин волн:

2k 1 λ	(k = 0, ±1, ±2, …).	(1)
2

Разность хода двух лучей складывается из разности оптических длин путей (2dncosβ) этих лучей и половины длины волны λ/2. Величина λ/2 представляет собой добавочную разность хода, возникшую при отражений луча 1 от оптически более плотной

среды. Подставляя в формулу (1) значение разности хода	лучей,
получим
2dkncosβ + λ/2 = (2k +1)λ/2,	(2)

где dk – толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру k; β – угол преломления второго луча.

Согласно условию угол падения равен нулю, следовательно, и угол преломления β равен нулю, а соsβ = 1. Раскрыв скобки в правой части равенства (2), после упрощения получим

2dkn = kλ.

(3)

130