книги / Сборник задач по общей физике

Пусть произвольной темной полосе k-гo номера соответствует толщина dk клина, а темной полосе (k + m)-го номера – толщина dk+m клина. Тогда из рисунка, учитывая, что m полос укладывается на расстоянии l, найдем

tgγ ≈ sinγ =	dk m dk .	(4)
	l

Выразим из формулы (3) dk и dk+m и подставим их в формулу

(4). Затем, учитывая, что из-за малости угла γ sinγ ≈ γ, получим

	k m	λ	k	λ		mλ
γ	2n		2n				.
		l
						2nl

Подставляя числовые значения физических величин, найдем

γ 10 0,6 1026 2 10 4 рад. 2 1,5 10

№ 3. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 2 мкм. Какого наибольшего порядка дифракционный максимум дает эта решетка в случае красного (λ1 = 0,7 мкм) и в случае фиолетового

(λ2 = 0,41 мкм) света?

Р e ш е н и е.

На основании известной формулы дифракционной решетки напишем выражение порядка дифракционного максимума

	m	dsin	,	(1)
		λ

где d – период решетки; – угол между направлением на дифракционный максимум и нормалью к решетке; λ – длина волны монохроматического света. Поскольку sin не может быть больше 1, то, как следует из формулы (1), число m не может быть больше d/λ, т.е.

131

m ≤ d/λ.	(2)
Подставив в формулу (2) числовые	значения, получим:

для красных лучей m ≤ 2/0,7 = 2,86; для фиолетовых лучей m ≤ 2/0,41 = 4,88.

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света mmax = 2 и для фиолетового mmax = 4.

№ 4. Естественный луч света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины луч образует угол = 97° с падающим лучом (рисунок). Определить показатель преломления n1 жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

Р е ш е н и е.

Согласно закону Брюстера луч света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления: tg = n21, где n21 – показатель пре-

ломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный	показатель	преломления	равен отноше-
нию абсолютных	показателей	преломления.	Следовательно,

tg = n2/n1. Поскольку угол падения равен углу отражения, то

= /2, и, следовательно, tg /2 = n2/n1, откуда n1				n2	.
				tg /2
Подставив числовые значения, получим
n1	1,5		1,5
			1,13 1,33.
	tg	97
		2

№ 5. Два николя N1 и N2 расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет = 60°. Определить, во

132

сколько раз уменьшится интенсивность I0 естественного света: 1) при прохождении через один николь N1; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе k = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.

Р е ш е н и е.

1. Естественный свет, падая на грань призмы николя (рисунок), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два луча: обыкновенный и необыкновенный. Оба луча одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного луча лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения). Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный луч о вследствие полного внутреннего отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный луч е проходит через призму, уменьшая свою интенсив-

ность вследствие поглощения: I1 = 12 I0(1 – k).

Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность I0 естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность I1 поляризованного света:

I0

I0

2

.

I1

1 I0 1

k

1

k

2

Подставив в это

выражение

числовые значения, найдем

I0

2

2,1.

I1

1 0,05

Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.

133

2. Плоскополяризованный луч света с интенсивностью I1 падает на второй николь N2 и также расщепляется на два луча различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный луч полностью поглощается призмой, поэтому интенсивность его нас не интересует. Интенсивность необыкновенного луча I2, вышедшего из призмы N2, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе): I2 = I1cos2 , где

– угол между плоскостью колебаний в поляризованном луче

иплоскостью пропускания николя N2.

Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получим I2 = I1(1 – k)cos2 .

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсивность I0 естественного света на интенсивность I2 света, прошедшего систему из двух ни-

колей:

I0

I0

.

I2

I1 1 k cos2α

Заменяя отношение I0/I1 его выражением по формуле относи-

тельного уменьшения интенсивности, получим

I0

2

.

1 k 2 cos2

I2

Подставляя данные, произведем вычисления:

I0

2

8,86.

1 0,05 2 cos2

I2

60

Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.

№ 6. Плоскополяризованный монохроматический луч света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути луча поместили кварцевую пластину, интенсивность I луча света после поляроида стала равна половине интенсивности луча, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пла-

134

стины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения кварца α принять равной 48,9 град/мм.

Р е ш е н и е.

Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида (пунктирная линия на рисунке) перпендикулярна плоскости колебаний (I–I) светового вектора плоскополяризованного света, падающего на него.

Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебания светового вектора на угол

= l,

(1)

где l – толщина пластины.

Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении его через поляроид, опреде-

лим угол β, который установится между плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (II–II) плоскости колебаний светового вектора падающего на поляроид плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса: I = I0cos2β.

Заметив, что β = π/2 – , можно написать I = I0cos2(π/2 – ),

или

I = I0sin2 .

(2)

Из равенства

(2) с

учетом

выражения (1)

получим

l arcsin

I

,

откуда

искомая

толщина

пластины

I0

l

1

arcsin

I

. Подставим числовые значения и произведем вы-

I0

числения (во внесистемных единицах):

l

1

arcsin

1

45

мм 0,92 мм.

48,9

48,9

2

135

4.3. Квантовая оптика

Квантовой оптикой называют раздел физики, в котором изучаются оптические явления на основе представления о свете как потоке частиц. Согласно теории М. Планка, в дальнейшем развитой А. Эйнштейном, излучение и поглощение света веществом происходит конечными порциями, называемыми квантами (фотонами). Подобно частице, фотон обладает релятивистской массой и энергией. Особенностью фотона является то, что он неделим, движется со скоростью света и его масса покоя равна нулю. Квантовая теория позволила решить задачу теплового излучения, объяснить явление фотоэффекта, эффект Комптона и давление света.

Задачи, связанные с определением массы, импульса или энергии фотона, решаются на основании соответствующих формул. При этом нельзя забывать, что фотон – релятивистская частица и формулы классической физики к нему неприменимы. Если в задаче наряду с фотонами рассматриваются другие частицы (например, фотон сталкивается с электроном, протоном и т.п., или требуется сравнить массу, импульс или энергию фотона с соответствующей характеристикой частицы) и специально не оговорено, релятивистские они или нет, то нужно вычислить энергию Е и энергию покоя Е0 частицы. Если Е < Е0, то частицу можно считать нерелятивистской и использовать законы классической физики; если Е > Е0, то необходимо применять формулы специальной теории относительности.

Задачи на фотоэффект решаются на основании формулы Эйнштейна и вытекающих из нее соотношений:

–красная граница фотоэффекта – это минимальная частота ν0 или максимальная длина волны λ0, при которых возможен фотоэффект; соответствующая энергия кванта равна работе выхода электрона из поверхности данного металла;

–задерживающее напряжение Uз (задерживающая разность потенциалов) – это минимальная разность потенциалов между

136

анодом и катодом, при которой электрическое поле между электродами достаточно сильное, чтобы не дать фотоэлектронам долететь до анода; UЗ по величине равно максимальной кинетической энергии фотоэлектронов;

– ток насыщения Iн – это максимальный ток в цепи при условии, что катод освещается одним и тем же источником света; Iн по величине равен суммарному заряду всех электронов, испускаемых катодом в единицу времени.

Задачи на давление света решаются на основании формулы р Еcэ 1 . При этом следует помнить, что она справедлива

только для случая, если свет падает перпендикулярно поверхности тела. Часто эту формулу удобно использовать в другой форме записи. Поскольку освещенность Еэ равна энергии, падающей в единицу времени на единицу плошади тела, то ее можно представить в виде

p 1 nhcν,

где n – число фотонов с частотой ν, падающих в единицу времени на единицу площади поверхности тела.

Если свет падает на поверхность под некоторым углом , следует обратить внимание на то, что площадь S поперечного сечения светового пучка и площадь S0 на поверхности тела, на которое падает этот пучок, не равны друг другу, а связаны соотноше-

нием S = S0cos .

Основные формулы

Законы теплового излучения

1. Закон Стефана–Больцмана. Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна абсолютной температуре в четвертой степени:

137

Rэ = σT 4,

где σ – постоянная Стефана–Больцмана.

Энергетической светимостью называется величина, численно равная энергии излучения всех длин волн с единицы поверхности

тела в единицу времени: Rэ rλdλ, где rλ – спектральная плот-

0

ность энергетической светимости (т.е. энергетическая светимость, приходящаяся на единичный интервал длин волн).

2. Закон смещения Вина. В спектре излучения абсолютно черного тела длина волны λm, на которую приходится максимум энергии излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре:

λm

b

,

T

где b – постоянная Вина.

Фотоэлектрический эффект

3. Формула Эйнштейна для фотоэффекта

hν = A + Wmax,

где

hν – энергия фотона, падающего на

поверхность

металла;

А –

работа

выхода

электрона; W –

максимальная

кинетическая

энергия фотоэлектрона, вылетевшего из металла.

Если энергия фотона много меньше 500 кэВ, то кинетическая

энергия W может

быть определена

по

классической

формуле

Wmax

mev2

, где me – масса покоя электрона.

2

Если

энергия

фотона близка

или

больше

500 кэВ, то

для вычисления кинетической энергии W следует воспользовать-

ся релятивистской

формулой

W = (m –

me)c2,

или

2

1

Wmax mec

1 , β v/c.

2

1 β

138

4. Максимальная длина волны λкр (минимальная частота колебаний νкр), начиная с которой фотоэффект прекращается, называ-

ется красной границей фотоэффекта: λкр hcA , или νкр Ah , где h – постоянная Планка.

Давление света. Фотоны

5. Давление р, производимое светом при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения ρ, выражается соотно-

шением р Еcэ 1 , или р = (1+ ), где Еэ – энергетическая ос-

вещенность поверхности; с – скорость распространения света в вакууме; – объемная плотность энергии излучения.

В случае идеально отражающей (зеркальной) поверхности коэффициент отражения = 1. В случае идеально поглощающей поверхности (поверхность абсолютно черного тела) коэффициент отражения = 0.

6. Энергия ε фотона выражается формулой ε hν hcλ .

Масса m фотона выражается из закона пропорциональности массы и энергии следующим образом: m cε2 chλ . Импульс фотона p cε hλ .

Эффект Комптона

7. При соударении со свободным или слабо связанным (валентным) электроном фотон передает ему часть своей энергии, вследствие этого длина волны λ рассеянного фотона больше длины волны λ первичного фотона.

Изменение длины волны дается формулой Комптона

139

называется комптоновской длиной волны. При рас-

	λ λ	h	1 cosθ ,
		mec

где me – масса покоящегося электрона; θ – угол рассеяния. Вели-

чина h mec

сеянии на электроне Λ = 2,436 · 10–12 м.

Примеры решения задач

№1. Длина волны, на которую приходится максимум энергии

вспектре излучения абсолютно черного тела, λm = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) Rэ поверхности тела.

Р е ш е н и е.

Энергетическая светимость Rэ абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана–Больцмана пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры и выражается формулой

Rэ = σT 4,

(1)

где σ – постоянная Стефана–Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина:

λm = b/Т,		(2)
где b – постоянная закона смещения Вина.
Используя формулы (2) и (1), получим
b 4		(3)
Rэ σ	.
	λ
Выпишем числовые значения величин, входящих в эту фор-
мулу:
σ = 5,67 10–8 Вт/(м2·К4), b =	2,90·10–3	м·К, λm = 5,8 10–7 м,

и, подставив числовые значения в формулу (3), произведем вычисления:

140