книги / Сборник задач по общей физике

Мгновенное ускорение

a

dv

,

dt

его проекция на ось х

ax

dvx

.

dt

4. При криволинейном движении ускорение можно предста-

вить как сумму нормальной

аn и тангенциальной аτ составляю-

щих:

а аn aτ.

Абсолютное значение этих ускорений

an

v2

,

aτ

dv

, a

2

2

R

dt

an

aτ ,

где R – радиус кривизны в данной точке траектории.

5. Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х (v = const, a = 0)

x x0 vxt,

где х0 – начальная координата; t – время.

6. Кинематическое уравнение равнопеременного движения вдоль оси х (а = const)

x x0 v0xt ax2t2 ,

где v0 – начальная скорость; t – время.

Скорость точки при равнопеременном движении вдоль оси x vx v0x axt.

7. Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) . Ки-

нематическое уравнение вращательного движения

t .

11

Угловая скорость

ddt .

Угловое ускорение

ε ddt .

Угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение являются псевдовекторами, их направления совпадают с осью вращения и определяются по правилу правого винта.

8. Кинематическое уравнение равномерного вращения

( = const, ε = 0)

= 0 + t,

где 0 – начальное угловое перемещение; t – время.

9. Т – период вращения (время одного полного оборота),

T Nt ;

ν – частота вращения (число оборотов в единицу времени), ν TN или ν T1 ,

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t,

= 2Tπ 2πν.

10.Кинематическое уравнение равнопеременного вращения

(ε = const)

0 0t ε 2t2 ,

где 0 – начальная угловая скорость; = 2πN.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

= 0 + εt.

12

11. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки,

S = R, v = R, a = R, an = v2 ω2 R. R

Примеры решения задач

№ 1. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея скорость 18 км/ч, движется равнозамедленно с ускорением 0,2 м/с2; другой, имея скорость 5,4 км/ч, движется равноускоренно с тем же ускорением. Через какое время велосипедисты встретятся и какой путь проедет каждый из них до встречи, если расстояние между ними в начальный момент времени 130 м?

Р е ш е н и е.

Начало системы координат (т. О) помещаем в точку, где в начальный момент времени находил-

ся первый велосипедист, а ось x совпадает с направлением его движения (рисунок). На чертеже изображаем векторы скоростей и ускорений обоих велосипедистов. Очевидно, что х01 = 0, х02 = S. Уравнения движения велосипедистов с учетом выбранного положительного направления оси x будут

						x1 v01t		a1t			2	,	x2 S v02t				a2t	2	.
									2								2
		В момент встречи (t = ) х1 = х2. Тогда, с учетом того, что
a1				a2		, получаем			S					130
						τ										20 с,
							v01		v02					5 1,5
						S1 x1 |t τ v01τ				a1τ2				5 20		0,2 202		60 м,
											2					2

S2 = S – S1 = 130 – 60 = 70 м.

13

№2. Из орудия вылетает снаряд со скоростью v0 под углом

кгоризонту. Определить: а) скорость (модуль и направление)

и положение (координаты) снаряда в любой момент времени; б) время подъема до наивысшей точки и время полета; в) высоту подъема и дальность полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Р е ш е н и е.

Делаем чертеж (рисунок). Начало координат удобнее выбрать на месте выстрела, оси x и y направить в стороны полета снаряда. Векторы скорости и перемещения изменяются по следующим за-

					gt2
конам: v	v0	gt,	S	v0t		, где	g	– ускорение свободного
					2

падения. Разложим на проекции. Если x0 = 0 и y0 = 0, проекция перемещения равна координате:

vx v0 cos α	(1)			x v0 cosαt		(3)
			;
vy v0 sin α gt	(2)			y v0 sin αt	gt	2	.
						(4)
					2

По принципу независимости движений движение тела, брошенного под углом к горизонту, мы представили как состоящее из двух более простых: равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного (с ускорением g ) – в вертикальном.

Модуль скорости можно найти из формулы v vx2 v2y ,

а направление (угол с горизонтом β) из соотношения	tgβ	vy	.
		vx

14

Причем в точке, показанной на рисунке, угол β < 0, так как проекция скорости vy < 0; это говорит о том, что снаряд уже уменьшает высоту.

В наивысшей точке траектории скорость vв направлена горизонтально, ее проекция vвy = 0; подставив 0 в уравнение (2), полу-

чаем время подъема tпод v0 sing . Положив в уравнении (4) у = 0,

получаем два корня: первый t = 0 соответствует началу полета,

второй времени полета tпол 2v0 sin . Заметьте, tпол = 2tпод, значит, g

время подъема равно времени спуска.

Максимальную высоту подъема найдем из уравнения (4),

подставив tпод: H	v02y		v02 sin	2	.	Эту же формулу можно полу-
	2g		2g
чить, разложив на проекции уравнение								2	2
							2aS v		v0 .

Подставив tпол в уравнение (3) и вспомнив, что 2sin cos =

= sin2 , получаем дальность полета снаряда L v2 sin 2 . Из фор-

0

g

мулы видно, что наибольшая дальность полетапри угле = 45°. Если в полученных выше формулах подставить = 90°, полу-

чим формулы для вертикального движения. Выразив время t из уравнения (3) и подставив в выражение (4), увидим что траекто-

рия – парабола.

№ 3. Зависимость угла поворота тела от времени дается уравнением = А + Вt + Ct2 + Dt3, где А = 1 рад, В = 0,1 рад/с, С = = 0,02 рад/с2, D = 0,01 рад/с3. Найти: а) угловой путь, пройденный за 3 с от начала отсчета времени; б) среднюю угловую скорость; в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала движения.

Р е ш е н и е.

Угловой путь, пройденный за 3 с, = 2 – 1, где 2 – угловой путь, пройденный за 3 с (t2 = 3 c); 1 – угловой путь к моменту времени t1 = 0 c:

15

а) из зависимости углового пути от времени (t) (см. условие задачи) найдем 1 и 2:

1 = А = 1 рад;

2 = А + Вt + Ct2 + Dt3 = 1 + 0,1 3 + 0,02 32 + 0,01 33 = 1,75 рад;= 2 – 1 = 1,75 – 1 = 0,75 рад;

б) средняя угловая скорость за 3 с от начала вращения выражается формулой

	2	1		1,75	1	0,25 рад/с;
	t2	t1		3 0

в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала вращения

2 1 , t2 t1

где 2 – угловая скорость в момент времени t2 = 3 c; 1 – угловая скорость в момент времени t1 = 0 с.

Мгновенную угловую скорость найдем по определению

ddt = B + 2Ct + 3Dt2.

Подставим числовые данные:

t1 = 0 c, 1 = B = 0,1 рад/с,

t2 = 3 с, 2 = 0,1 + 2 0,02 3 + 3 0,01 32 = 0,49 рад/с.

Среднее угловое ускорение

0,49 0,1 0,13 рад/с2. 3 0

№ 4. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

= 10 + 20t – 2t2.

Найти полное ускорение точки (величину и направление), находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

16

Р е ш е н и е.

Каждая точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального aτ, на-

правленного по касательной к траектории, и нормального an , направленного к центру кривизны траектории:

a

aτ2 an2 .

(1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

а = R,	(2)
an = 2R,	(3)

где – угловое ускорение тела; R – расстояние точки от оси вращения; – угловая скорость тела.

Подставляя формулы (2) и (3) в выражение (1), находим

a ε2 R2 4 R2

R ε2 4 .

(4)

Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени:

d 20 4t. dt

В момент времени t = 4 с угловая скорость

= (20 – 4 4) = 4 рад/с.

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени:

ε ddωt 4 рад/с2 .

Это выражение не содержит аргумента времени t, следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение, не зависящее от времени.

17

Подставив значения и в формулу (4), получим

ε 0,1 ( 4)2 44 1,65 м/с2.

1.2.Динамика материальной точки

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение тел с причинно-следственной точки зрения, т.е. под действием других тел. Из опыта известно, что все тела взаимодействуют между собой. Меру взаимодействия тел, в результате которого тела деформируются или приобретают ускорение, называют силой.

Основная задача динамики материальной точки состоит в том, чтобы найти законы движения точки, зная приложенные к ней силы, или, наоборот, по известным законам движения определить силы, действующие на эту точку. Для овладения методом решения этих задач необходимо усвоить следующее: понятие силы как вектора, имеющее абсолютное значение (модуль), направление

иточку приложения; формулировки и физическую сущность трех законов Ньютона; типы сил, рассматриваемых в механике (трения, упругости, тяготения). Рекомендуется придерживаться следующей последовательности действий:

1.Выбрать систему отсчета (см. главу «Кинематика»).

2.Найти все силы, действующие на тело, и изобразить их на чертеже. Определить (или предположить) направление ускорения

иизобразить его на чертеже.

Следует помнить, что, говоря о движении какого-либо тела, например поезда, самолета, автомобиля и т.д., мы подразумеваем под этим движение материальной точки. Расставляя силы, приложенные к телу, необходимо все время руководствоваться третьим законом Ньютона, помня, что силы могут действовать на это тело только со стороны других тел: со стороны Земли это будет сила

тяжести, равная mg; cо стороны нити – сила натяжения T ; со стороны поверхности – силы нормальной реакции N и трения Fтр.

18

3.Записать для данного тела (тел) уравнение второго закона Ньютона в векторной форме и перейти к скалярной записи, заменив все векторы их проекциями на оси координат.

4.Исходя из физической природы сил, выразить силы через величины, от которых они зависят. Скажем, силу трения нужно представить через коэффициент трения и силу нормального давления, если известно, что тело скользит по поверхности.

5.Если в задаче требуется определить положение или скорость точки, то к полученным уравнениям динамики необходимо добавить кинематические уравнения.

6.Решить полученную систему уравнений относительно искомых величин.

Основные формулы

1. Импульс материальной точки, движущейся поступательно

со скоростью v,

p mv.

2. Второй закон Ньютона

dp Fdt ,

N Fi ma, i 1

где F – сила, действующая на тело.

3. Силы, рассматриваемые в механике: а) сила упругости

Fупр = kx,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация;

б) вес P – сила, скоторой тело действуетна опору или подвес; в) сила гравитационного притяжения

Fγ G m1m2 , r2

19

где m1 и m2 – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела – материальные точки или шарообразной формы);

г) сила тяжести

F mg ,

где g – ускорение свободного падения; д) сила трения скольжения

Fтр = N,

где – коэффициент трения; N – сила нормальной реакции опоры. 4. Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы

не изменяется с течением времени:

n mvi const при k Fвнеш 0.

i 1

j 1

Для двух тел (i = 2)

m1v1 m 2 v2 m1u1 m2u2 ,

где v1 и v2 – скорости тел в момент времени, принятый за начальный; u1 и u2 – скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

5. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

	Wк	mv2	, или Wк	p2	.
		2		2m

6. Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

Wп 12 kx2 ,

где k – жесткость пружины; х – абсолютная деформация; б) гравитационного взаимодействия

Wп G m1rm2 ,

20