книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики
..pdfРешение. В такой постанов ке задачи человек представляет ся как материальная точка и ее количество движения равно произведению массы на ско рость (о = 1,5 м/с):
Q = Ми = 105 кгм/с.
Учтем реальное движение человека и оценим, насколько точной является такая модель. Для этого определим количест во движения по формуле (6.6) через скорость движения центра масс человека.
Центр масс человека расположен в области первых крестцовых позвонков на высоте от пола (для стоящего человека), составляю щей 57-58 % роста мужчины и 55-57 % женщины [11]. При ходьбе центр масс человека движется по кривой, близкой к синусоиде, с вертикальной амплитудой А, равной в среднем 2,5 см, и с перио дом, равным половине периода ходьбы, на котором центр тяжести совершает два полных колебания.
Вертикальные колебания центра масс опишем уравнением
Ус = Уо + j 4sin<DT,
где со — круговая частота колебаний. Вертикальная скорость центра масс
1>су = Ус = Люcosсо/.
Амплитуда скорости Аса =А-2п/(х/2), где т — период ходьбы. При данной скорости движения длина шага примерно равна 0,75 м. Тогда можно определить период ходьбы т, он будет равен 1 с, и
Аса = 0,025-4я = 0,314 м/с.
Максимальное значение вертикальной компоненты количества движения Qy, равной МиСу достигает величины М Аса = 22 кгм/с.
Модуль количества движения
Qm= № + Q l =л/Ю52 + 2 2 1 = 107,3 кгм/с.
Учет вертикального движения центра масс дает поправку в пер воначальный результат, равную 2,2 %. Однако отклонение вектора Q от горизонтали более существенно. Максимальное значение угла отклонения а т = arccos(Qx/Q m) = 12°. Заметим, что Qx при ходьбе
также претерпевает изменения, которые оценить сложнее, так же как и поперечную компоненту Q .
6.2. Теоремы о количестве движения материальной точки и системы материальных точек
в дифференциальной форме
По второму закону Ньютона произведение массы материаль ной точки на ее ускорение равно силе, действующей на материаль ную точку,
т— — г .
Л
Если масса постоянна, то ее можно внести под знак производной:
= |
(6.7) |
ТЕОРЕМА. Производная по времени от количества движения материальной точки равна силе, приложенной к точке.
Перейдем к рассмотрению системы п материальных точек. Применим теорему (6.7) для к-й точки системы:
j t {mku k) = F ; +Fk-, к = ~ п , |
(6.8) |
где Fk и Fk — соответственно внешняя и внутренняя силы, дейст вующие на к-ю точку. Просуммируем (6.8) по всем точкам системы:
1 a t |
к=1 |
' |
Используя свойства сумм и производной, преобразуем уравне ние к виду
И, наконец, с учетом (6.1) и (4.1) получим теорему для системы в дифференциальной форме:
(6.9)
ТЕОРЕМА. Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.
Спроектируем левую и правую части (6.9), например, на ось х:
(6.10)
ТЕОРЕМА. Производная по времени от проекции количества движения системы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил на эту ось.
Уравнения (6.9) и (6.10) дают векторную и координатную фор мы записи теоремы о количестве движения системы в дифференци альной форме.
6.2.1. Условия сохранения количества движения системы
Теоремы о количестве движения системы (6.9) и (6.10) позволя ют установить условия действия сил, при которых вектор количест ва движения системы Q или его проекция на какую-либо ось сохра няются.
1. Если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю, то количество движения механической системы сохраняется:
£ / V = 0 = » ^ . = 0 = » 6 = const. |
(6.И) |
2. Если алгебраическая сумма проекций всех внешних сил на некоторую ось равна нулю, то проекция количества движения меха нической системы на эту ось сохраняется:
П |
</gx |
О =>■ Qx = const. |
(6.12) |
|
E F* = |
||||
dt |
|
|
||
|
|
|
Условия сохранения количества движения используются для расчета скоростей при передаче движения от одного тела к другому, например при забивании свай, ударе молота о наковальню, движе нии точки переменной массы. Рассмотрим достаточно общий при мер взаимодействия двух тел.
6.2.1.1. Пример. Удар бильярдных шаров
Определить, с какой скоростью о, должен ударить один биль ярдный шар по другому неподвижному шару, чтобы последний по сле удара приобрел заданную скорость и2. Удар считать прямым центральным. Отношение относительных скоростей шаров по от ношению друг к другу после удара и до удара равно к (коэффициент восстановления).
Решение. Обозначим абсолютные скорости шаров до удара и ,, а после удара и,. При прямом центральном ударе все скорости на правлены по прямой, соединяющей центры шаров. Силы, возни кающие при ударе, велики и на несколько порядков превышают не ударные силы. Для системы двух шаров ударные силы их взаимо действия являются внутренними, а внешними неударными силами во время удара можно пренебречь (так как время соударения мало),
л__
т.е. считать, что У .F/ = 0. Тогда из условия сохранения Q (6.11)
к=\
получим, что количества движения системы до удара и после удара одинаковы:
miO, + wi2 u2 = tri\U 1 + M 2U 2,
что в проекции на ось х (рис. 6.3) приводит к уравнению
/И,и,х + /n 2t>2i = Щ Щ х + Щ » 2х- |
(6.13) |
Второе уравнение получим из определения коэффициента вос становления (ии > о 2 х , и2х> и 1х):
к _ и2х ~ иХх
O i x - o 2i’
кО\х ~ кх>2Х ——U\x U2X. |
(6.14) |
Уравнения (6.13) и (6.14) оп |
X |
ределяют связь между скоростями |
|
шаров до удара (и,) и после удара |
Рис 6 |
(и,) и необходимы для решения |
|
различных задач удара двух тел. |
|
В рассматриваемом примере о 2х = 0, и2х — |
определить на- |
до и и = о 1, причем щх также неизвестно. |
|
При тп\ = т2 = т (6.13) и (6.14) приводятся к виду
и, - и 1х = и2,
koi + U\x — и2.
Система имеет единственное решение
0| |
2иг |
Щ х = |
1 — к |
и2. |
\ + £ |
1 И- Лг |
При абсолютно упругом ударе, когда относительные скорости полностью восстанавливаются, коэффициент к = 1 и решение упро щается:
и, = и 2, и]х = 0.
Шары как бы обмениваются скоростями.
В случае абсолютно неупругого удара (к = 0) скорость
и ,= 2 м 2, иХх = и2.
Для шаров из стекла (Лг = 15/16) результат будет близким к ре зультату абсолютно упругого удара:
30 |
1 |
и, = — и2, |
иХх= — и2. |
6.3. Теоремы об изменении количества движения системы в конечной форме
Сначала введем понятие импульса силы — характеристики, связанной с длительностью воздействия силы.
Элементарный импульс равен произведению силы на элемен тарный промежуток времени:
Импульс силы за конечный промежуток времени — определен ный интеграл от элементарного импульса:
(6.16)
о
На практике обычно пользуются проекциями импульса на ко ординатные оси:
Sx = f F x(t)dt, |
S y = fF ,(t)d t, |
S z = j* Fz(i)dt. (6.17) |
о |
о |
о |
В простейшем случае, если, например, Fx = const, то Sx =Fxt. При постоянной силе импульс равен произведению силы на проме жуток времени действия силы.
Влияние каждого из факторов (силы и времени) на импульс можно проиллюстрировать следующими примерами. Так, при ударном взаимодействии тел время удара составляет десятитысяч ные доли секунды, а ударные силы на несколько порядков превы шают неударные. Напротив, в так называемых фотонных двигате лях межзвездных космических кораблей будущего малая сила тяги действует в течение длительного времени (годы). В обоих случаях импульс силы конечен.
Перейдем к выводу теорем об изменении количества движения системы. Рассмотрим движение механической системы под дейст вием сил в течение конечного промежутка времени [0, t]. В уравне нии (6.9) разделим переменные и проинтегрируем:
п
(6.18)
t
S£ = f F k'dt,
О
где QQ, Q — значения количества движения системы в начале и в конце промежутка времени,
Sk — импульс к-й внешней силы.
ТЕОРЕМА. Изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени.
В координатной форме уравнение (6.18) принимает вид
п
(6.19)
Здесь в правой части уравнения стоит алгебраическая сумма проекций импульсов внешних сил на ось х.
Теоремы (6.9) и (6.18) связывают изменение суммарной меры движения системы с силами, которые приложены к системе. Важно, что в суммарных уравнениях из рассмотрения исключаются внут ренние сипы. Косвенно внутренние силы влияют на изменение ко личества движения системы. Так, при ходьбе человека в определен ной фазе шага мускульные усилия (внутренние силы) приводят к образованию силы трения (внешняя сила), действующей на стопу человека со стороны опорной поверхности, которая и вызывает из менение горизонтальной составляющей количества движения чело века Qx. Однако при отсутствии сцепления с поверхностью никакие мускульные усилия не могут повлиять на Qx.
Теоремы об изменении количества движения находят примене ние в динамике сплошных сред. Ниже дается один из примеров та кого применения.
6.3.1. Пример. Давление наконечника пожарного шланга
Определить горизонтальную составляющую давления изогну того наконечника АОВ пожарного шланга на руки пожарного С, ес ли угол изгиба наконечника а = 30°, площадь внутреннего сечения 5 = 1 6 см2, а скорость струи воды и = 20 м/с (рис. 6.4).
Решение. Полагаем, что на наконечник со стороны рук пожар ного наложена связь, которую будем считать жесткой заделкой. По этому наконечник будем считать неподвижным и сначала рассмот рим течение в нем воды (рис. 6.5).
Рис. 6.4
Теорему (6.18) приме ним для столбика воды, подходящей к изгибу нако нечника. Высоту столбика примем равной ut, где t — промежуток времени, в те
чение |
которого |
вся |
жид |
кость |
столбика |
перейдет |
|
в горизонтальное |
колено |
||
наконечника. Масса |
стол- |
бика М= pSut, где р — плотность воды. Количество движения столбика воды до и после перетекания найдем по формуле (6.6),
Q o = Q = Л /о = р S v 2 1. |
( 6 . 2 0 ) |
Обозначим через S импульс внешних сил, действующих на столбик в промежутке време ни от 0 до и Тогда (6.18) для промежутка време
ни [0, t] запишется в виде |
|
Q - Q o = S . |
(6.21) |
Вектор»? легко найти графически (рис. 6.6), однако нам нужна его проекция на ось х, которую найдем из (6.21) с учетом (6.20),
При равномерном течении воды реакция стенок R постоянна, поэтому
Sx = Xt, |
(6.23) |
где X — проекция реакции R на ось х. Из (6.22) и (6.23)
X = рЛт2 (1 - cos а). |
(6.24) |
Ha стенки наконечника со стороны воды будет действовать го ризонтальная сила, равная (-Х). В горизонтальном направлении на наконечник действует также сила X с— составляющая реакции рук пожарного. Тогда из уравнения равновесия наконечника с учетом (6.24) получим
5 ^ = 0; Х с - Х = 0,
Х с = р£и2 (1 —cosa).
Сила горизонтального давления наконечника на руки пожарно го Х'с обратна по направлению:
Х'с = —pSu2(l —cosa).
При р = 1000 кг/м3, S = 0,0016 м2, о = 20 м/с, a = 30° получим ответ:
Х'с = -8 5 ,8 Н.
Составляющая силы давления на руки направлена против оси х.
6.3.2.Пример. Игрок в американский футбол ударяется
обетонную стену
Gus Ferrotte, бывший разыгрывающий Washington Redskins, за считал на свой счет тачдаун в матче против New York Giants в 1997 г. и затем в возбуждении от момента ударил головой стоя щую рядом бетонную стену. На голове атлета была каска, тем не ме нее он повредил свою шею и стал объектом для шуток. Он заявил телерепортерам: «Я мог бы ударить головой любого футбольного
игрока после тачдауна и с моей шеей ничего бы не случилось». Есть ли какие-либо отличия между ударом головой футбольного игрока и ударом головой о бетонную стену?
Решение. Предположим, что Газ представляет собой объект массы гп\, и футболист, которого он бьет головой, имеет массу т2- Эти массы имеют примерно одинаковое значение. Предполагаем, что перед столкновением атлет имел скорость о 0, а другой футбо лист находился в покое, считая также, что после столкновения они движутся вместе со скоростью о. Так как ударные силы для системы в целом являются внутренними силами, то при ударе количество движения системы сохраняется. Если принять, что гп\ =тг, то о \ = о 0/2. По теореме (6.18), примененной для бегущего игрока, суммарный импульс сил будет равен -miU0/2.
Если же игрок ударяет голо вой стену, то после удара ско рость его будет равна 0, и изме нение количества движения за время удара равно —nijOo. 0 со ответствии с (6.18) ударный Им пульс будет равен этому значе нию.
Таким образом, при ударе игрока о неподвижную стену Им пульс ударных сил по абсоЯНггной величине увеличивайся в 2 раза.
Приведенный пример носит оценочный характер, так как я Нем полагается, что вся масса игрока сосредоточена в голове.
6.4.Контрольные вопросы
1.Постройте векторный многоугольник для количества д в о е ния системы в соответствии с формулой (6.1).
2.Чему равно изменение количества движения системы, если геометрическая сумма внешних сил равна нулю?
3.Дайте определение импульса силы за конечный промежуток времени.