книги / Уравнения математической физики методы решения задач

Далее выбираем /л и v таким образом, чтобы избавиться от первых

производных, тогда w = e~2x~‘Z , получаем следующую задачу для:

Ztl -5 Z = Zrj. -2 e l sin6x,		t> 0, 0 < x<l,
4 . o = z U	= z l,.0 = z ,L = o .
I	2
Далее решение ищем в виде	Z = X{x)T(t).
Для нахождения X решаем задачу Штурма - Лиувилля:
	[Хп +ХХ = Ъ,
	х ( о ) = х -	-0 .
	2

Л„ = {in)2, Х„ = sin 2пх . Для нахождения Т строим следующую задачу

Т "-5 Т +4п2Т

пп " 1-2е‘,и = 3,

г(о)=г(о)=о.

Отсюда Тп(t) —0 при и * 3,

Tf + ЗЩ = -2е‘,

Т3 = А3cos S i t + В3sin S it,

Т3 = Ае1,

7\	= — Гcos >/зТг н—		sinл/зТг —
3	16^	S	i
u(x,t)= x + t + ~7 Г 1( cos S i t + —7= sin S i t - l e~2x sin6x.
	10	l	S i

Задача 7.7.

Utt ~ UXX’

“U =0> “< L =0-

Решение. В силу неоднородности граничных условий решение ищем в виде и(x,r) = v(x,/) + w(x,t).

Подберем w(x,i) таким образом, чтобы не только				граничные условия
стали однородными, но и уравнение сохранило однородность: w(x) = -
Далее выписываем задачу для v(x, t) :
v«			= 0,
i v x	- H „ o
( v x	+ H	„ ,	- 0,
>	a		‘ 1»г=и0 = 0.
Поставим задачу Штурма - Лиувилля			v'
[Х Я+ЛХ = 0,
j -Г (о)- /ьГ(о) = 0,			Х %/)+ hx(l) = 0.
В процессе решения получаем
Хп —цп		(п = 1,2,...),
где /лп- положительные корни уравнения ctg /Л _ ]_(/£_
			h	n )

Х п(х) = /лп соъцпх +h sin junx,

ii2 l[h2 +ju„)+2h

\K

Ставим задачу для нахождения Тп:

т;+£т„=о

Ч - о - 1 г» № » = |

I

\т ^п (х sinfinl - —-(cos ц п1- 1)

т„(о)! Hn

\ K

К

					п = 2к + \,		к = 0,1,2..
			0,	п = 2к,		к = 1,2,3..
					M<Uo = 0*
Решаем	задачу:		при	= 0	(ft = 1,2,3...)		однородная задача, при
2ft+ 1,	ft = 1,2.. Г:			2а
			2/t+l
Таким образом, получаем
	/	л	ос	^		4ос	•Т ~	\ C0SP2k+\t x
	U [ x , t ) = - - +			2 ,------7^-2-----—
			П	k=QP2k+\		+ Л^2Л+1 J4"
	x W		n cos i^+ l* + ^ sin >u2*+1*),
где	- положительные корни уравнения ctg ^							= ^	£ _ А
Задача	7.8.	Решить		задачу	о	вынужденных			л /*.
									колебаниях упругой

однородной струны под действием пропорциональной линейной

плотности F(‘).	если	к	концам			приложены		силы ju(t), v(f)
соответственно. Начальные условия произвольны.
utt =		Fit}		t>0,				Е
	+А ——,					0 <х<1, А - —
			Р					Р
иYI	_	МО	„ I		_	4 0	„2	Т
	п = —--Л ,		wJ		= ------ ,		а	——,
х \х=0		J*	*\х=1					р '
и\1=0=<р(х\ »г|,=0= ^ ( 4
	u = v +w,		w = A(t)x2 + B(t)x +C(t),

Wr =l

\ /

rp

rp

A(t) =

T21

	A > h » -(t)xz _ А Ц Х+c.(,)=a2			+ ° М ‘) + Ж		+£й,
tt	2IT	T	w		IT	p
т.е. получаем уравнение
где	v tt = д2ухс + /(*>')> t > 0 ’ 0 < X < 1 ,
/	М - Zfe)+ " (	' ) )	- C-(,)-vl <b . d ! ) ^		+ А й х .
J X ' ’ p		IT	w	21T	T
Причем выберем C(f) таким образом, чтобы
	с .м	F (')	| а г(у(<)+^(0)
	w	р	IT
	С(,)=	ooL	'P	d^dr.
Тогда для нахождения v(x,f) получаем задачу
	vtt = а	vxx ~	А ) * А > ) л | р У ) д.
			21Т	Т	’
	^ м ' т 1 м х> _ м м х
	1/=о		2IT	Т	5
	У(|	w	21Т	Т
	' |/=0
Решение ищем в виде v(x,r)=				Для нахождения X получаем
задачу Штурма - Лиувилля.
		fX ' +AX = 0,

\х'(0)= Х '(})= 0.

Получаем собственные	значения		Лп =j^y-J	и соответствующие
собственные функции
»»• /	\	ДЛХ	Л^ _
X„(x)		= cos—	, п = 0,1,2,...,

Далее ставим задачу для нахождения T(t):

Т" 1 i a m S \ T - (f ' X n)

"Ь J - > . Г

Гв(о) =		Гп(0) = f c ^ .
.	IKII2	IKII2

1) л * 0 ,

J/(x,f)cos——dx = j[a(/)x2 + fi(t)x\cos^^-dx =

о	1		о		1
= (2a(f)x + y 9 ( 0 ^ j			c o s— j - | j y )		2 a ( r ) s in ^ y
( v{t)+M{t)Y	м Щ	i	\ 2	nhx	2 г
IT	т А ль			cos-

	у(о)+До)х2	, До)	I ЛЙХ ,
a n = T (M *b	2/f	Г	I cos—-—ш =
rchx	21
= y M x)cos—-—dx
	{nhf

A - f j r [ f « « ¥ < V -

^ (ov(o))| -

Т.е. получаем задачу для определения Т:
			f anh^2		r . - e . w
			=	J
			V I
		Т„(0) = а„,			Г„(0) = Д .
nhat	_ . nhat						_
Тп =Ап cos	+ 5„sin—-—		- решение однородного уравнения. Далее
~ ~ Г
строим частное решение неоднородного уравнения, получаем
_ / \	nhat	_	.	nhat	,	/Л
Тп \П=ап cos—		+ р п sin —			+ hn {t) ,
где
« » = у /»>(<)«» т		" 1d ( - ^			H	i - v<°)■л 4	р-2-4>

А - —

яия;		/	(nhfaT
fr»(0=	Jsin		^ [(-i f v ' ( r ) ~ ;
2) n=0
^ { ,Xf	= у j[a W*2		+	= -g-[3v(0+ 2^W ]= g o (0 ,
	'.* o )~ l	I	) K -	No) - 2/<(0)] = « 0.
	= J
	l*<
	s ) ] r (& { ~			M O - 2^ (0)]. A.
	Foil	0
		{To -	So(t)>
		F o ( 0 ) = a 0,		Зо(о)=Д0;

/

таким образом, TQ(t) =a 0 + flQt + Jg0(7Xr ~ TY T

u(x,t) =	* h M x* - M		x + ' ( t m ± m ± M			£ x , (dT.
	2IT	T	JJ	Tp		^
	+ a 0 +/3Qe+ jgo{rXt-T)dr
			о
+	cos—	+ p n sin—		+ hn{t)	^	Tthx
					cos----

l

Здесь a„,fin,hn определяются по формулам (7.2.4)

7.3. Метод Фурье для уравнений параболического типа

Задача 7.9. Тонкий однородный стержень, на боковой поверхности кото­ рого происходит теплообмен с окружающей средой, а конец х = / - теп­ лоизолирован. Найти распределение температур, если начальная темпера­ тура V - const.

ul =a2uxx-flu, 0 <х<1, t> О, ux(0,t)-hu(Q,t) = 0,

ы(х,0) =V, h> 0.

Решение ищем в виде u(x,t) = X (x)r(t). Для нахождения Х(х) поставим задачу Штурма - Лиувилля.

ГХ" + ЛХ = 0,

\ аг'(о) - аяг(о) = А"(/)=0.

Собственные значения Лп ={р„)2, где р п - положительные корни урав­ нения Яtg Я/ = h , а собственные функции Х п(х) = р пcos /лпх +hsin р пх ,

00

далее подставим u(x,t)= ^ T n(t)Xп(х) в исходное уравнение и граничное

Л=1

условие. Y jTnX n - ° 2Y^TnX n - P 'E jn X n ~ Таким образом, получаем задачу для нахождения Тп (t).

	т:+а2м Х - /Я „ = 0 ,
	Т„ =
1 ^	cosf l n x + Asm fi„ x )d x = - r -	2V
т„(о)= A J = -— -Г		-----rr— .
Wt .	l(h2 + K ) + h
Итак, u(x,t) = 2FAУ — г t	1—ГЛ— .е-("2Л!-/<>(и cos finx + Asm ft x).

Z l M „W ! + ^ J + AJ

Задача 7.10. Найти распределение температур в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре, с боковой поверхности про­ исходит лучеиспускание в окружающую среду, в стержне имеется тепло-

7DC
вой источник sin — . Начальная температура равна нулю.
и( = а	2			п	■ Я*
		ихх - ри +sm— ,
и\ п =и\			, =0,		«I	= 0,
!дг=0		I	х=1	’	1/=0	’

х я + л х = о,

х(о)= *(/)= о,

	я"=(т )	^ W =sin^ f ’ п=1’2»---»
	Е З Д , - 5 > 2М + Е / В Д . = sinf •
Таким образом,	+ (а2Лп - /з)гп = | ^ ” *
	2	2

Ti +\ ^ - ~ P I7! =1> Г,(0)=0.

л„г

ап

Отсюда	Ш = А е	~Р
		J +	„ 2 —2
			а к	- Р
Из начального условия А{ = ------- -		- Д 2
	a V
			„2„2
			а к
	/ 2	1 -е	-Р	. лх
	а2я 2 -/Я 2			sin— .
				/

7.4. Метод Фурье для уравнений параболического типа (неоднородные задачи)

Задача 7.11.

Uf^a^Uxx, 0 <х<1, О О,

M* L ~ At>

их\х=1 = Т '

“1,-0 = Т

Решение исходной задачи ищем в виде u(x,t) = v(x, t)+ w(x, t) , где w(x,t) удовлетворяет неоднородным граничным условиям

w (x,t)= y\Х2 + у 2х + у 3^ + {з^х2 +S2x + S3)r,

тогда

w, 1 ^ = (2У\х + у2 )Ж +(2^iх + 82)г|^ = y2At + S2T = A t,

wx\x=i =(2r\x + r2)At + (2$\x + 52)r \x=i = (2y{l + y2)At + (28J + S2)r = T

Наиболее удобное решение с нашей точки зрения

w(x,0 = - x 2(T-A t)+ Axt

Получаем первую задачу для определения v(x,t) с однородными гранич­ ными условиями.

2

(

2

\

2

Г

1 2

л

а

2 ^ ~ А?''i

vt = a

wxx)=a

Vxx+ \^Y 1X A + A x~ a

— j ~ у

v ,= a

2

A

2

J

2 T ~ At

v „ + — x

-A x + a

— -— ,

*

”

21

l

vJ

= 0,

vJ

. = 0,

*1*=0

5

x \x=l

f

2 \

1-

— '

Составим задачу Штурма - Лиувилля:

4

2 lJ

fX" + AX = 0,

tr (o )=*'(/)=о.

rmS1

П = 0,1,2,..

1 ,

ПФ О,

X n = c o s ? f,

\\ХпГ=< I

I,

п = 0.

v (x ,» )= 2 r A

'

п=1

Г

„2 'N

а2 {Г -A t)

Х--

2/

при и>1

~ / Г

2 ^

2

(T - A tj

7ШХ

,

7’; + а 2Я„7’„ = у |

21

a

cos----

ах,

*

о .

I

I f

2 \

т х

,

l ^

cos----

ах =

i l

21 j

l

\ m )

a2(T -A t) l( 7 nx j
— ------	Jcos-y- dx = 0,