книги / Уравнения математической физики методы решения задач

Задача 5.1. Поставить краевую задачу о малых поперечных коле­ баниях струны длиной L в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, если правый конец струны закреплен жестко, а левый переме­ щается по закону /(*), начальная скорость отсутствует, а начальное от­

клонение по закону Z{y).
	Постановка задачи.		Примем	левый	конец		у=0, правый
y = L,	u(y,t)	- смещение точек струны у в момент времени t. Уравнение
Даламбера описывает также поперечные колебания струны:
		utt = a2Uyy + f{y, t\		у e [О,l],	t > 0,
тогда, если левый конец закреплен, то
		u(0,t) = 0,		t> 0,
		u{L, Г)= /(/),
		« ^ ,о )= о ,
		u(y,Q) = z{y),
так	как	сопротивление	пропорционально			скорости,		то
f(y ,t) =kun		k = — , где а - коэффициент сопротивления,					р - плотность
		Р

среды.

Если сопротивление среды в задаче пропорционально отклонению при наличии непрерывно распределенной вынуждающей поперечной си­ лы /(*), то

f(y,t)= ku + f(y )

если конец струны закреплен упруго (например, правый), то

(ИУ + Ч , , 0 =О'

Задача 5.2. Поставить краевую задачу о малых продольных коле­ баниях стержня длиной L в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, если один конец стержня закреплен упруго, второй перемеща­ ется по заданному закону, заданы начальные скорости, отклонение отсут­ ствует.

Постановка задачи: примем левый конец	х = 0, соответственно
правый х = L . Тогда задачу о малых продольных колебаниях описывает
уравнение Даламбера
utt - а2ихх + f(x,t), х s [О,L \	t> 0,

так как правый конец перемещается по заданному закону, следовательно, u(L, t) = g(t). Левый конец закреплен упруго: (их + hu)x=Q = 0.

В среде присутствует сопротивление, в данном случае

f(x,t)=kut .
Начальная скорость к, |(=0 = ф{х) >	начальное отклонение
M|f=0 = vi*) • В данной задаче у/(х) =0.	£
~
Кроме того, в уравнении Даламбера а	= —, где Е - модуль Юнга,
	Р

р - плотность. К- коэффициент упругого закрепления, то h вычисляется

по формуле h =— , S- площадь поперечного сечения.

ES

Задача 5.3. Поставить задачу об определении температуры стерж­ ня, если на боковой поверхности происходит конвективный теплообмен со средой постоянной температуры по закону Ньютона. Концы стержня поддерживаются при заданной температуре, начальная температура v(y).

Постановка задачи: левый конец стержня у = 0, правый у = L . За­ дача об определении температуры описывается уравнением

и, = a 2U yy{y,i )+ bf{ y,t),

где f { y , t ) - плотность внешних источников.

Так как концы стержня поддерживаются при заданной температуре, u(0,t) = const j,

u(L,t) = const 2, начальная температура задана, т.е.

w(0,f)= v(y), конвективный теплообмен со средой по закону Ньютона

q\r =a(ux-u)f ,

здесь q - тепловой поток на границе Г, а - коэффициент внешней тепло-

проводности, щ - температура внешней среды.

По		ди
	закону Фурье q - k — , следовательно,
		дп
ди	^
или — + Ии		=<px{s).
дп		Лг

Если боковая поверхность теплоизолирована, то —

дп

ди 1

к — ! =а(м| -и ) дп\•г г,

= 0 .

Если на конец стержня подается равномерный по сечению заданный теп-

„	диI	.	а
ловой поток, то — I		= И, здесь п - внешняя нормаль,	И = ~ , к - коэффи-
	0П\Ы		к

циент теплопроводности, q - тепловой поток.

Задача 5.4. Поставить краевую задачу об определении температу­ ры шара радиуса R с теплоизолированной боковой поверхностью, если начальная температура определяется по закону Т = т{г,(р,в).

Постановка задачи:
wj,=0 =Т(г,<р,в\	0 < r<R, t> 0,

иr 'r=R = 0 .

Задача 5.5. Внутри однородного шара, начиная с момента времени t=0 действует источник тепла с равномерно распределенной плотностью Q. Поставить краевую задачу о распределении температуры при о 0 внут­ ри шара, если начальная температура любой точки шара зависит только от расстояния этой точки до центра шара. На поверхности шара происхо­ дит теплообмен (по закону Ньютона) с окружающей средой нулевой тем­ пературы.

Постановка задачи:

0 <r < R, О 0,

"1,=0 = / Н	0 < r< R,
и |	(> 0

Ur\r=R

к ’ ‘ ~ U’

	а 2	к
		cq

Задача 5.6. Поставить задачу о распространении тепла в цилиндре радиуса R, если верхнее основание теплоизолировано, на нижнем задана постоянная температура А, а на боковой поверхности происходит кон­ вективный теплообмен с внешней средой, имеющей температуру А. На­ чальная температура равна D.

	Постановка задачи:
	ut = а	1	д /	\	1	t>0,Q<r <R,Q<z <1,
		r f r V Ur' + Z 2U<p<P+U22
	и\(_0 =А		0 <r<R,		0 < z< l,
	и\г=о=А> мЛ = /=0				г е [°’Л]>
	{ur + hu\=R = j ,			z € [о,/], f*0,

к- коэффициент внутренней теплопроводности, х- коэффициент внешней теплопроводности, с- удельная теплоемкость, р - плотность.

Задача 5.7. Поставить задачу о форме равнобокой прямоугольной мембраны ОАСВ, если сторона ОА подвешена в положении х2, сторона АС свободна, сторона ВС закреплена упруго, а на сторону ОВ действует сила поверхностной плотности sin(г •

Постановка задачи:

ихх + Uyy =0, 0 <х<а, 0 <у <Ь,

их\х=0= -^г -> их\х=а =0, ^ е М >

где Т - натяжение мембраны, h = —, к - коэффициент упругого закрепле­

ния стороны ВС.

Рассмотрим дифференциальный оператор второго порядка.

LX{x) = (p(x)X'(x)j-q{x)X{х),	xe(0,/),
будем считать, что р(х) <=с[0д ,р(х) > 0, q(x) е С[0 /], q(x) > 0.
Рассмотрим уравнение
LX{x) = -Xp{x)x{х\ p(x)eq0i/],	р(х)>0,

зависящее от произвольного числового параметра X. Будем строить реше­ ния уравнения, удовлетворяющие граничным условиям

ОД(х) = аГ(о)+ДГ(о) = 0, r 2X(x) = rX](l)+SX{l)=0,

где а,р,у,8 - постоянные и а 2+(52 * 0, у2 + 82 ф0.

Задача построения нетривиального решения уравнения, удовле­ творяющего этим граничным условиям, носит название краевой задачи Штурма - Лиувилля; значения параметра X, для которых эта задача имеет нетривиальное решение, называют собственными числами, или собствен­ ными значениями, а решения, им соответствующие - собственными функциями задачи Штурма - Лиувилля. В силу линейности и однородно­ сти уравнения и граничных условий собственных функций определяются с точностью до постоянного множителя. Множество собственных значе­ ний X называют спектром задачи; число линейно независящих собствен­ ных функций, соответствующих данному собственному значению X, на­ зывают его кратностью, и если кратность Я равна единице, то его назы­

вают простым собственным значением.
Если обозначить Х\{х,Х), и Х 2(х,Х)		- линейно независимые реше­
ния уравнения, то его общее решение будет
	Х{х, X) = О Д (х,,Х)+С2Х 2 {х2,Я).
Постоянными С|,С2	и Я распорядимся таким образом, чтобы реше­
ние удовлетворяло граничным условиям.
Введем понятие	ортогональности с	весом. Система функций

Х\(х), Х 2(х),..,х е (О,/) называется ортогональной на отрезке [О,/] с весом

6.1.Свойства собственных функций

исобственных значений

Свойство 1. Краевая задача имеет счетное множество собствен­ ных значений, и все они вещественны; если собственные значения распо­ ложить в порядке возрастания: Я] < ^ <.... < Я <.., то

lim Лп = оо. «->00

Свойство 2. Все собственные значения задачи Штурма - Лиувилля простые, то есть каждому собственному значению соответствует одна собственная функция.

Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различ­ ным собственным значениям, ортогональны с весом р(х) на отрезке [о,/].

Свойство		4.	Если граничные условия таковы, что
р (х)х(х)Х '{4 ‘ SO , то все собственные числа неотрицательны.
Следствие: Если граничные условия имеют вид
1.	*(о)=о	Х(/)=0.
2.	.Г(о)=0	*'(/) = 0 .
3.	X'(0)-hlX{0)=0		X'(l)+h2X(l) =О,

то собственные числа неотрицательны.

Свойство	5. Число Я- 0 будет собственным значением только
такой краевой задачи:
(р(х).Г(*))+ ЯХ(х) = 0,
J5T'(0)=0,	* '(/) = 0.

Задача 6.1. Х" + ЛХ = о,

jr(o )= * (/)= o .

Решение:

Все собственные значения Лк > 0 . При Я >0 общее решение уравнения может быть записано в виде

2f(x)= Cj cos4kx +C2 sin-JXx, из граничных условий получаем

С, = О, С2 ф О => sin yfxi = О VX = -y-,

где п - любое целое число. Следовательно, неотрицательные решения за­

дачи возможны лишь при значениях Лп = т \'2			Им соответствуют функ­
		/
ции Z„(x) = Z)„sin— где D„ - произвольнаяпостоянная.
	Задача 6.2.
	Х ' +АХ = 0,
	Х'(0) = Х'(1) = 0.
	Решение:
1)	Я = 0:
	Лг(х) = С1х + С2,
	.Г(0) = 0	Х'(1)=0=>С] =0,
	Х(х) = С2.
2)	Л > 0 :
	Х(х) = С1COS у[Хх +С2sin у[Лх,
	*'(0) = 0	*'(/) = 0,
	Х'(х) = С] -JJ, (- sin л/Хх)+ С2 VXcos у[Лх,
	Х'(6)= С2V icos 0 = 0,
	ЯГ'(/) = -С, VIsin VI/ = 0,
	С2 = 0	- Cj VIsin VI/ = 0,
	sin VI/= 0,
	VI/=	,

я= лк 2

Т

X n{x)=Dn c o sy * .

Задача 6.3.

Х ' +ЛХ = О,

-А " (0)-А Л Г (0)= 0,

* '(/)+ АДГ(/) = 0.

Решение:

при Я > о Х(х) = С\ cosVIx +C2 sin VIx, ЯГ'(я)= Cj V l(- sin VIx)+ С2 VI cosV I*,

| с 2л/1-ЛС, =0,

(Cj V l(- sin VI/)+ C2 VIcos VI/+ /гС] cos VI/+ hC2sin VI/= 0,

так как Я >0, C]*0, C2 *0.	C2 =-j=Cj.
Из второго уравнения
- V J + 4 -	sinVI/+ 2AcosVI/ = 0,
VI

C, * 0, sin VI/* 0, так как в противном случае 2/гcos VI/= 0, что не­ возможно, следовательно,

2h ctg VI/= VI- Д== —7=-

VI VI

ctgVI/=я - /? 2

2AV I

Пусть //!, //2, ,... - последовательность положительных корней уравне­ ния

		.	ju2 - h 2		\ r
		ctgtd = •		n . ■= 2		/7/
				2fth	2 {h
и тогда Я„ =	.2	/„=1	-	собственные		значения задачи Штурма -
		(n=l,2,3...)

Лиувилля. Подставим вместо Я = /лп, а вместо С2 - выражение из перво­ го уравнения в общее решение уравнения:

Х п(х) = С] cos /лпх +— С| sin ц пх . Рп

Так как собственные функции определяются с точностью до константы,

следовательно, X „ {х) =/лп cos /лпх + /г sin /лпх	система собственных
функций.
Задача 6.4.
Х " - 2 Х +АХ = 0,
X '(0)-hX(0) = 0,
X'(l)+hX(l)= 0.

Решение:

обозначим v = Я - 2 и решим задачу для уравнения

X" + vX = 0.

Тогда данная задача сводится к задаче 3. При этом собственные значения

Лп = ju2 + 2, где цп- положительные корни уравнения ctg /л! = 1 а Л h ц

Собственные функции те же:

Х п(х) = /лпcos/лпх + hsinjunx .

Задача 6.5.
Х" + ЗХ' +ЯХ = 0,	0 < х </,

х(о)= * (/)= о.

Решение:

По свойствам 4, 5 собственные значения Л„>0. Характеристическое уравнение имеет вид

к2 +3к + Л = 0,

, -3 ± 7 9 -4 Я *1,2 = ------- j -------

Необходимо рассмотреть три случая:

9

а) 0<Я—, тогда

Х{х) = Схек'х +С2екг*,

Х(ъ) = Сх+С2 =0,

X{l)=Cxek'1+ С2екг = 0.

Получили систему линейных уравнений относительно С\,С2 . Так как система однородна, а определитель системы отличен от нуля,

1	1
е *	= е к2‘ - е к'1 Ф 0 ,
	ек*1
то собственных значений нет, С\ = С2 = 0 ;
9	3
б) Л =- . Тогда получаем в характеристическом уравнении к\ =— корень
4	2

второй кратности

з

—х Х(х) = {СхХ + С2> 2

х ( р ) = с 2 = о,

X{l)= Cxle 2 = 0=>С, =0,

9

т.е. Я = — не собственное значение 4

в) Я > —•. 4

		,	3	V4Я —9
	К г= —			± l---- -----
Х(х) = е	--3Л/	„	л/4Я - 9 , ^ Л/4Я-9 N
	2	Q	cos---------- х + С2-----------*
	V
х ( о ) = с х =0,
-	1/
Х(1) = е	2' с 2 sin—————/ = 0,
				-1/

так как С2 * 0- иначе получим тривиальное решение, е 2 ф 0 по опреде­ лению. Тогда