книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

использованию формул Коши, которые связывают пер­ вые производные перемещений с деформациями:

dv

ду

д и , dv	__ 2(1+ц)
ду~^ дх	Е	xv'

Рассмотрим произвольный прямоугольник abed, вы­ деленный из плотины и находящийся в равновесии под действием сил, приложенных на его контуре.

Уничтожим его кинематическую подвижность; для этого точку а закрепим от горизонтальных и вертикаль­ ных смещений и отрезок ab — от поворотов.

Вертикальное смещение точки b можно теперь вы­ числить интегрированием

ь

^ b= Y ^ av — ^ax)dy.

Так же вычислим горизонтальные смещения точек cud:

с	ь
Л“с= £"]	^ dx' M d= j r \ (°x — n ) d x .
d	e

Полученные интегралы представляют собой площади эпюр нормальных напряжений на участках ab, Ъс и ad. Имея площади эпюр напряжений и принимая линейный закон изменения напряжений между отдельными точка­ ми, можно приближенно вычислить перемещения:

AUc=-L Ах р* \ - - v - °,ьУ * -];

Aud = j - A x

.

Вертикальное перемещение точки d определим, пользуясь третьей формулой Коши,

dv	2 ( 1 + ц )	_	ди
Т х ~	В	Т*>	ду-

По условиям задачи отрезок ab закреплен от пово­ ротов, и поэтому горизонтальные смещения точек а и b

равны нулю, значит производная dujdy равна нулю в точке а.

4»d= 2(1+ |>) J

dx = 2(1 + |>)

.

а

Зная вертикальное смещение точки d, найдем вер­ тикальное смещение точки с по формуле

с

&vc = Y J (°i—

d» + vd =

Нами вычислены вертикальные и горизонтальные перемещения всех четырех точек небольшого прямо­ угольника, произвольно выделенного из диска, при ус­ ловии, что кинематические смещения этого элемента равны нулю. Для любого другого прямоугольника ки­ нематические перемещения не равны нулю, поэтому по­ лученные формулы следует исправить, добавив кинема­ тические смещения.

Кинематические смещения точки d прямоугольника dcef нам теперь известны, они равны AVg и Aид, а угол поворота отрезка cd найдем делением разности горизон­ тальных смещений точек с и d на расстояние между ними Ау\

tie—tig by '

Горизонтальные смещения точек f и е будут равны:

/

е

Uf = Лк* + ~~~^ (О*- \Ю„) dx; ue= Дис+ - j J (ах — \му) dx.

Вертикальное перемещение точки f получим, ис­ пользуя третью формулу, и учтем в ней производную dujdy, которая не равна нулю для точки d:

vf = Avd -f 2(l+ |i) ^ x xgdx — ~

vc = vf + ± -^ {o y -\y,ox)dy.

f

После определения перемещений точек е й f можно переходить к следующим точкам. Этот путь вычисления перемещений приближенный.

Для решения контактной задачи нет надобности вы­ числять перемещения всех точек диска, достаточно най­ ти перемещения точек линии контакта. Для этого мож­ но использовать другой приближенный прием вычисле­ ния. Двумя параллельными сечениями, совпадающими со смежными лучами сетки, вырежем из диска полосу высотой Ау. По линиям разреза приложим нормальные и касательные напряжения, которые были вычислены ранее для диска.

Если высота невелика по сравнению с длиной, то полоску можно рассматривать как балку. Изгиб этой балки вызван силами, приложенными к ее граням. Это будут равнодействующие напряжений диска.

Перемещения балки без труда могут быть вычисле­ ны по методам строительной механики.

Симметричность клина и-заданной нагрузки исклю­ чает возможность получения горизонтальных смещений точек клина, совпадающих с осью симметрии, таким образом:

1= “Н = “Й = Ы8= 0-

Двигаясь по горизонтали от этих точек, горизонталь­ ные перемещения которых равны нулю, найдем переме­ щения соседних точек узлов сетки

Ч- Ч+АЛ = АЛ.= (- 0,560+^!)^=

=- 0 ,5 5 4 - ^ .

Axuk —есть частная конечная разность и по х, она

выражается по уравнениям Коши через вычисленные ранее напряжения а* и <т„ точки 1.

Во втором горизонтальном ряду
“й =	А»“*э= f— °-755 -	г г ------ 0,828 — ;
Кь =	< + А Л = ( - 0,828 -	0,875 -	-

—и г в Ь .

Затем переходим таким же порядком к третьему и

четвертому ряду
и'	= — 0,075 — , и' =				+ 0,4148— , и' =			+ 3,822 — ,
**	»	8Е»		АО			8Е kl	8Е
	и '=		+	0,412 — ,		к'	= + 2 ,4 8 3 — ,
		А4		’	8Е	kf		8Е
		и'	= 4 ,9 — , и'			=	+ 4,107 .
		u		8Е	ka		8Е

Вертикальные перемещения вычисляем для точек, расположенных на оси у. Верхнюю точку клина счита­ ем неподвижной:

VI, =8т(+ °>384+°-f) = +°-477iF - ^ =«й- V *." (+ °-477+°’435+ £f 5)i| =

= +1,038 — ;
		8£
®й = (+ 1.037	+	0,588) ^	= + 1.626 +
иГ	=	+ 2,184— .
**		’	8£

Переход к соседнему вертикальному ряду сетки де­ лаем, используя третью формулу Коши; для данного случая она получает такой вид:

А	г/ -	2 (1+а)£Г(фа+Ф 1)-(ус + Фз)		д и =	L a/ 6 4
*	he	8Е	[
=	---- — 2,334[— (0,0059+0,0003) + (0,0093)] 64 =
		= — 0,464 — ;
		9	РГ ’

'>'*' = «« + V L = (+0.477-0,464) J - = + 0,0 1 3 ^ .

Переход к точке 2 делается таким же путем, как от точки 1 к точке 3, так продолжается до точки f.

		* „ = + 0 ,Ш ± ■,	0,857
V	= ( +0,857 + 0,707 —		— = +	1,204 — .
kf	V	’	6 J8E	’ 8Е

Перемещение точки f получено последовательным переходом от одной точки к другой того же вертикаль­ ного ряда. Это же перемещение можно получить по третьей формуле Коши, переходя от точки 6 к точке f, т. е. двигаясь по диагонали. Для проверки проделаем это вычисление

bxvkg =	2,334 [(— 0,0433 — 0,0301) —
— (— 0,0255 —0,0508)] 64 = — 0,432 — ;
= (1 ,6 2 6 -0 .4 3 2 )^ = + 1 ,1 9 4 ^ .
Расхождение	с вычисленным ранее вертикальным

перемещением точки f не превышает 1%.

Переходя к третьей и четвертой вертикальной стро­

ке, вычисляем
.= - 1 ,2 2 1 — , v. =				-	1,528 — ;	v'	= — 2,247— ,
ь	’	8Е	ki		8Е	ы	8Е
v'	= — 1,252 — , v '=			— 1,38 —
м		8Е	ка		8Е
По вычисленным перемещениям всех точек сетки по­
строим деформированное					состояние	клина (рис. 54).

Как и следовало ожидать, средняя часть клина вытяну­ лась вниз, а нижние углы приподнялись кверху.

Эпюра вертикальных перемещений точек нижней грани клина будет симметричной (рис. 55).

Вычисление перемещений узлов сетки для второго единичного напряженного состояния производим ана­ логично расчетам для первого состояния, пользуясь уравнениями Коши и подставляя в них значения на­ пряжений, взятых из табл. 14.

Здесь приведем					ре­
зультат.
Горизонтальные перемещения:
	“й = “й = ий = “й = и*'г = ° ;
ц-и =	+ 0,0635 i p	и-т = + 0 ,1 3 5 9 ^ ,		«’*„=+0,2877±
«L =	-0.6157 8у ,	«« =	+ 0 ,2 4 0 5 ^ ,	“м =	0,0693 i j - ,
« $ ,=	+ 0 ,1 6 1 7 ^ ,	^ =	- 1 ,5 9 6 0 А ,	^ ------ 2 , 4 5 5 ^ .
					' 8 Е
			ЗпюраVjm		Зпюра\

	Вертикальные перемещения:
	«Ь = 0. °« = + 0 ,0 7 0 6 ^ , Щ, = + 1 .3 9 1 9 ^,
^	= -	0 ,0 5 3 6 ^ ,			=	— 0,0645 i p	v'kt=	0,2546- i- ,
t,;	= +	0,1034 — , v”			=	+ 0,0246 — , V я.. =		-f 0,3926 — ,
ka	1 *		8 E	k l		8 E	kb	8 E

v" = + 0,0119— , о" = -0,91405-4-. *' = +0,1314-4-,
*C	»	8E As		8 E	kb	8 E
	»L = — >.0628 — , u" =			+ 0,2459		8£
		»	8E M
	6.13. Пример определения реакций основания
п.	Применив	схему	рассуждений,		рассмотренную в
	6.12, и подсчитаем		ординаты	эпюры		вертикальных

реакций, возникающих по подошве плотины треуголь­ ного профиля, нагруженной гидростатическим давлени­ ем. Будем учитывать только вертикальные реакции, возникающие по линии контакта плотины и основания.

Отделим плотину от основания и приложим по раз­ резу нормальные напряжения, вычисляемые по формуле

[Ч = °l + tficos "Y" * + * 2C0S Y " x’

где tr0— нормальные напряжения, получающиеся в сечении беско­ нечного клина от гидростатического давления и объемных сил; эти напряжения изменяются по линейному закону.

KZ*1

Вертикальные перемещения линии контакта клина вы­ числяют по формуле

	ч * = С +		VL + V L . + V i » + V L .
где	— соответствуют напряженному состоянию бесконечного кли­
на; ^3vkm. и		— кинематические перемещения клина как жестко­
го диска;		и — были вычислены в примере п. 6.12.
	Вертикальные перемещения линии контакта фунда­
мента вычисляют по формуле
		4m = 8i . + V i » + V i » -
	В примере мы ограничились двумя дополнительными

напряженными состояниями, поэтому число неизвестных произвольных параметров будет равно четырем; два из них соответствуют кинематическим перемещениям низа клина. Кинематические перемещения будут иметь одну

симметричную эпюру — это	равномерное опускание Кз,
а другую — обратносимметричный поворот Ка\		эпюры
перемещений, соответствующие дополнительным		напря­
женным состояниям, будут	симметричными (рис. 56

и 57).

Таким образом, система уравнений для определения Ki в данном случае распадается на две.

Для симметричных неизвестных:

MCl +	+ « Л + ь1т= О,
V C i + 8 ,Л	+ «аЛ + 8гт = О,
бзЛ + 83Л	+ 8*Л + 63„ = О.
Для обратносимметричных
64Л	+ 8«т = 0.

Коэффициенты этих уравнений вычисляются перемно­ жением значений соответствующих обобщенных эпюр перемещений. За обобщенную эпюру берется разнос™ двух эпюр (одна эпюра перемещений клина, другая — фундамента). Соответствующие этим эпюрам нагрузки имеют взаимно противоположное направление для кли­ на и для фундамента.

Часть перемножаемых эпюр задана в численном ви­ де, для них составляется вспомогательная таблица, с помощью которой вычисляются коэффициенты по фор­ муле

L
8o r I (°te +	P w dx-
0

Некоторые коэффициенты можно вычислить аналити­ чески, непосредственным интегрированием или далее по правилу Верещагина.

Единичная эпюра от неизвестного Кз будет просто прямоугольник с ординатой, равной L, поэтому

6aa = LLL = L3.

Единичная эпюра Ki представляет собой два тре­ угольника с наибольшей ординатой L при x=LJ2.

6U = — (0,255 + 4-0,430 + 2-0,028 + 4-0,482 + 0,870) =

		=	+ 0,402L8;
ia	= —	(— 0,122 — 4-0,004 + 2-0,061 — 4-0,013 +
	J2	v ,	’	’

+ 0,392) = + 0 ,0 2 7 L a

и т. д.

146

При вычислении бtu был введен дифференциальный вес р(х) = 2 для точек d и f; таким путем удается полу­ чить наилучшее совпадение для перемещений плотины и

основания.

Модуль упругости плотины и модуль деформации ос­ нования в подсчетах приняты одинаковыми.

Перемещения основания вычислены для нагрузок, указанных на рис. 56—58.

]

Перемещения, входящие в свободные члены, вычис­ ляются для нагрузок, указанных для клина и для осно­ вания на рис. 58.

$4m = — (0,313 + 4-0,172 + 2-0,076 + 4-0,019) =

= — 0.103L4;

83то = — Т ? ( 1,947 + 4'2’011 + 2*2,037 + 4-2,054 +

+ 2-2,054 + 4-2,054 + 2-2,037 + 4-2,011 + 1,947) = = — 2.027L4;

3i« = (0,985 + 4 -1,318 + 2• 0,338 — 4-1,423 —

— 2 -1,920 — 4 -1,423 + 2 • 0,338 + 4-1,318 + 0,985) = = — 0,0268L4.

Численные значения перемещений указаны выше. Значения коэффициентов подставляем в составлен­

ные на с. 148 уравнения, получаем:

+ 0,402/Сх + 0,027/Са + 0,020/С3= + 0,0268L,

+ 0,027/Cj + 0,0485/(2 — 0,0172К3 = — 0,0274L,

+ 0,020^ — 0,0172^ + 1-/С3= + 2,027L, + 0,333/C4= + 0,103L.

После решения уравнений получиМ:

К4= + 0,309L, К3 = + 2,0401,

Ка= + 0,1801, /Ci = — 0.047L.

Для подсчета напряжений по подошве плотины по­ лучим формулу

ад = а» — 0,0471 cos -у - х + 0,180 L cos

х.

Численные коэффициенты в этой формуле имеют раз­ мерность т/м3.

Эпюра напряжений, вычисленных по этой формуле, показана на рис. 59.

ГЛАВА 7

ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ

7.1. Постановка задачи

Практическое значение волновых задач возросло в связи с тем, что уникальные крупные сооружения созда­ ются в районах с высокой сейсмической активностью. Та­ кие сооружения должны быть достаточно сейсмостойки­ ми и экономически целесообразными. Использование МКЭ в этой области позволяет сформулировать задачу по-новому, и для определения исходных параметров за­ дачи оптимизации целесообразно проследить весь путь, который проходит поток сейсмической энергии, начиная от очага землетрясения до сооружения, которое получает повреждения в результате землетрясения.

Для схематизации задачи выделим основные области (рис. 60), которые характеризуют землетрясение с ин­ женерной точки зрения. Очаг землетрясения представ­ ляет собой первую область, в которой энергия землетря­ сения освобождается. Вторая область переносит поток энергии в третью область, где расположено сооружение, в результате этого сооружение приходит в движение и может быть разрушено.

Чтобы построить уточненную шкалу интенсивности, следует учесть взаимную связь между этими областями и оценить влияние на эффект землетрясения разных па­ раметров, характерных для каждой области, и таким пу-