книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций

Матрицы жесткости

элементов

1 ,2 ,4

- 7

вычисляются по формулам

(2.40) -

(2*43). Блоки

этих матриц имеют следующий вид:

“ ху.х

"

icxy,6

в

"

5,908

2,2155

2,954

-2,2155

"

и)

10"

2,2155

1,10775

2,2155

-1,10775

•

2,594

2,2155

5,908

-2,2X55

1

-2,2155

- I ,10775

-2,2155

1,10775_

, 1 8 1 6

К * 1 -К х 6

3 Г

265

-2651

*

Kt l е

Kt6 *

1С3 Г

1

10 |_-265

265J

10

[ _ - i,ia i6

Кху,2 * *Чу,4 “

% , Ь *

*ху;г 7 я

"18,880

9,440

9,440

-9,440

10°

9,440

6,2933

9,440

-6,2933

•

9,440

9,440

18,880

-9,440

8

j-9 ,4 4 0

-6,2933

-9,440

6,2933

_

*^2,2

в

^ 2 , 4

* *4* .5

3 ^ 2 , 7

в

"0 ,6 9 8 6 7

"0,44933

0,44933

0,44933

10"

-0,44933

0,29956

гО ,44933

-0,29956

5

0,44933

-0,44933

0,89867

0,44933

_ 0,44933

-0,29956

0,44933

0,29956_

« Г

310

-3 1 0 1

«*2

'

*f*4 в *45

в

1Сх7

в

1о3[_-310

310 J

1

К

Ki

К,

3 Г

0,00458

-0 ,0 0 4 5 8 1

3 Kt 4 . "

“

10 |_ -0,00456

0,00458 J

12

nt5

*47

Для элементов 3 и 8 матрицы явсткооти отроятся с учетом шргжр-

йоге закрепления одного и з концов:

KJ * r ^

j

*xjj • J -

8. в»

«чг.З-Лу.в

B E U Q

Ч

Ч

- 4 1

о

Г 3,5448

0,70896 -0,7 0 8 9 6 1

0,70

-0,14X79 (

* —

*?3

ц

j

„х

= jo 3

Q.70B96

0,14179

- Л

- I

_ - 0 ,70896

-1,14X79

0 ,I 4 I ? ? J

г J ’ I0 UK *BJ-

„

w

EA.j Г I

- I I

а Г 2 1 2

-2 1 2 1

t r Матрицы Кхг j

и K jg ft

получается

ив матрицы К *уД

изменением

внаиов согласно (2 .3 7 ).

	Матриш Hj	, используемые			для -вычисления матрицы жеоткоси систе­
мы,	состоят из	блоков H jt,		осуществляших преобразование узловых уси­
лий	j -го элемента в компоненты усилий в						L -ом узле системы. Приведем
один и з таких блоков для наклонного						элемента 3 и узла 2:
			0	0	0	0	0	I
			0,8	0,6	0	0	Q	0
			0	0	0	0	0	0
	В,32		0	0	0	0,8	0,6	0
			0	0	I	0	0	Q
			0	0	0	Q	0	0
			0,6	-0 ,8	0	0	0	0
			0	0	0	0	0	0

	При формировании Нщ учтено						что вектор усилай. в узлах 3-го КЗ
имеет вид		.									^хргз! >
		^3= [^и,13 ^УИЗ ^УДЗ ^уиз ^г,1з ^г.ез
где номерами I й 2 обозначены соответственно защемленный и шарнирный
хонды элемента.
	Тчл.тывая. условия закрепления системы по I -му способу, излш еняо-
цу в	параграфе' 4 . Г,			исключаем заведомо нулевые перемещения узлов 5 , 6
7 я	В и з вектора		б	. Матрица DC такяе уменьшается и							принимает следую*
n f t	виды			Г„		г м	г п	П*
				*21		Ч г	*23	Г«*
				X		Ч г	ги	ГИ
				Г51
где	-			З г		*44		Гщ
		матрица устий в			i -ом узла ох единичных смещений к -го уз­
ла ( t,k = 17"4). В частности,						вычисленный первый блок матрицы ЗС та­
ков:		311,407		0	0		0	->0,4493		2,2155
		0	277,587		0		9,440		0	9,440
V	i<r	0		0	311,407		:2,2155		0,4493		0
		0		9,440	2.2155		:24,793		0		0
		-0,4493		0	0,4493		0		2,979 •		0
		2,2155		9,440	0		0		0	24,793

	Составляем вектор условных узловых нагрузок			F = [б	-13,333 0-*~
- — 0 - 3		0 0 -26,667 -16 0 0 0 6 -4,667 0 4 3 0		0 -9,333	0 8 О О ] т ,
после	чего, реайв		систему уравнений МКЭ ( I .I 9 ) ,	находим перемещения
узлов	системы б		= Х~' F = 10~3 [-3 ,8 7 9 -0 ,0 6 7 7 -0 ,2 0 0 -0,452 -1,806 —
— -0,446		-3,917 -3,066 1,084 -0,597 0,388 -0,917		-1,169	-0,0298 —
---- 0,197		0,331 0,917 -0,143 -T .I92 -0,965 1,087		1,739 -1,589 -0,285 ] т .

Двлза но формула (1,59) определяем для всех влементов векторы яеремэщэдай углов Aj , а по нам, используя соотношения (1 .4 9 ), - век» торы узловых усилий элементов Sj . К полученным усижям добавляются поправки на внеуздоеое действие нагрузок, представлнкнке собой уси­ лия от заданных нагрузок пси неподвижных узлах элемантов (их можно найти в таблицах метода перемещений) -

Результаты вычисления внутренних силовил факторов в раме пред­ ставлены в вида эщф на рис: 6 .3 .

6 .2 .2 . Конструквдя,		рабо тощ ая в условиях шюслих даформащи
Требуется определить аерем тения и напряжения в плотине,									попе­
речное сечение которой показано на рис.				6 .4	(схема взята из			приме­
ра, рассмотренного в	[13]	) . Нагрузки	F = 0,2 МП от			напора		льда и
е н		= 0,24 МН/м от давления вода						заданы
н	в	расчете на I		м вдоль гребня			плотины.
		Модуль упругости материала - Е ,							коеф-
	фишент Пуассона				^ = 0 ,2 .
		Выделяем из плотины пластинку единич­
	ной толпыны		К = I		м. Поскольку в			плотине
	возникает плоская деформация, в расчете
	используются условные величины (2 .67);
		В* = ~ Т 5	=	1.04167 Е;		/ =	- 1	-	= 0 ,2 6 .
		I -у					I -V
		Расчетная		схема плас.инки			приведена
на рис. 6 .5 . Область	пластинки разделена на				прямоугольные и			треугол ­

ныв конечные элементы, номера которых даны в										кружках. На схеме так®
пронумерованы узда				ансамбли. КЭ и				обозначены неизвестные перемещения
узлов, входилие в				вектор £ = [и ,				Ул	мг мг ... u (g tr,g tlfi0 iTaQ] т .
Исходные .данные					оформляем так,				как это принято при. выполнении
расчетов		на	ЭВМ с использованием современных вычиели те льннх_компjie.it
Сов, реализующих МКЭ:
1 .	Ikn		системы -
пластинка,			загруженная
в срединной плоскости.
2 . Число узлов						0,3067 МН
системы	а = 20.
3. Число элементов
171 в 14.
4 . Координаты узлов
Номер		0^(м)
узла				У1(м^
i n
I		0		32
2		5 ,6		32
3		0		24				т г р
• * •		# # •		• • •
19		22.4		0					j, 5,6м | 5,6м , 5,6 м | 5,6 и | 5,6м j
20		28		0						Рис.	6.5
5 .	Топологическая информащя (связь узлов КЭ с узлами системы)
Номер				ж)	Комера узлов				системы,	Номера типов элемен­
элемента		элемента*7			с которыми совпадают					тов	даны условно:
(JO					_узлы элемента»*)					1 -	прямоугольный КЭ;
I			I			3. 4. 2 .			I
										2 -	треугольный КЭ.
2			2			4 . 5. 2				Уу^	Обход у злов элемен­
3			I			6. 7. 4 .			3	'
										та - в направлении про­
»« »			• 1•				* • •
14			2			19.	20.		14	тив -часовой стрелки,
										начиная о нижнего левого
										узла.
6 .		jfecTKocTKKe характеристики							конечных	элементов
					=	I . 04167,		^	= 0,25;
			Bj4 -			Т,04167,			= 0,25	(условно принято Б = I ) ,
7,	Нагрузки
а)	число вариантов					затруднил			- I

б)

значения

нагрузок:

из всех расчетных узловых нагрузок

F =

• [ FXI

га г - '

F*,M Fv гоТОТ.ТЧНЫ от нуля г х

, .

0,3067, Гх 6 .

0,64,

FI,I0 - i-28 -

Fx ,I5 '

е ' « ЙВ-

8* Сведения о наложенных связях

В узлах

151

16,

17,

IB,

19 и 20

наложены по две

связи,

парал­

лельные ост

ж и

и ,

что

дает U.

= 1Г

= 11

=

1Г =

... = 1L„ = tTM = 0 .

о

1!)

1э

16

га

Я)

20

В процессе решения задачи вычислена следуюпие матрицы жесткости

конечных элементов:

- для прямоугольных КЭ по формуле

(2 .66):

Kj = Kg = К4

=. Kg *

=т к ? = KQ „ к 10 = к п

= к 12 » к 13 =

0,6263

0,1736

-0,4805 -0,0347 -0,3132

-0,1736

0,1673

0,0347”

0,4577

0,0347-0,0688 -0,1736

-0,2288 -0,0347 -0,1601

0,6263

-0,1736

0,1673

-0,0347

-0,3132

0,1736

_ Etl

0,4577

0,0347

-0,1601 0,1736 -0,2288

0,6263

0,1736

-С ,4805 -0,0347

С и м м е т р я ч н о

0,4577

0,0347 -0,0688

0,6263

-0,1736

0,4577_

-

для треугольных КЭ [10] :

II

Н

* 9 - * И

=

"

0,9595

0,3472

“*0,7936

-0,2083

-0,1458

-0,1389

0,6865 -0,1389 --0,2976 -0,2083 -0,5889

= ВН

0,7936

0

С

0,1389

0,2976

0,2003

0

С и

м м е

т р и

ч я

0

0,1458

0

0,38С9

Матрица жесткости

системы ЭС

формируется по столбцам,

причем

компоненты столбца определяются как усилия в

узлах системы

от соот­

ветствующего единичного

смещения. Например, при единичном горизон­

тальном смещении

гц -

I

находим компоненты

1 - г о

столбца матраца ЭС

путем суммирования в

каждом узле системы усилий, которые возникают

в совдадаюДих с ним узлах конечных элементов. Поскольку при цц « I

испытывает дгформащю только

I - й

элемент,

то лишь в узлах I ,

2 , 3

и 4 возникают усилия,

равные соответствукщм компонентам матрицы Kj,

.Записывая компоненты вектора усилий в порядке,

отвечающем структуре

вектора

& ,

получаем первый столбец матрицы ЭС

в

виде

[0,6263 -0,1736 -0,4805

0,0347 0,1673 -0,0347

-0,3132

0,1736

0

0 . . . О р

Порядок расчета комйаиироцвкной системы прннвдпиально ничей не отличается от расчета рассмотренных выше систем с однотипными; КЭ.

Матрицы жесткости стержневых элементов составляются до формулам

(2*40) - <2.43), а для пластинчатых элементов формируются матрацы цо

(2 .8 3 ).

Полученные в результате расчета перемещения и иэтабаюпце момен­

ты показаны на рис- 6 .8 . _____

6 .3 . Использование суперэлементов в расчетах сложных строительных конструкций

Число конечных элементов и неизвестных перемещений узлов для сложных сооружений и конструкций может быть настолько большим, что дасе при использовании мощных современных ЭВМ будут возникать проб­ лемы с хранением и обработкой обширных массивов данных, а также с предотвращением накопления погрешностей вычислительного процесса.

Любое изменение в исходных данных - как обусловленное исправлени­ ем обнаруженных ошибок, так и связанное с корректировкой парамет­ ров системы при ее оптимизации - приводит к необходимости перефор­

мировывать и заново решать систему уравнений			высокого порядка, что
требует больших затрат машинного времени.
Уменьшение общей трудоемкости расчета возможно при введении
лрнятия	с у п е р э л е м е н т о в	(СЭ) -	относительно крупных

частей системы, состоящих каждая из нескольких конечных элементов, число которых может быть достаточно большим. Количество общих у з ­ лов суперэлементов сравнительно невелико; их перемещения 5*прини­

маются за основные неизвестные, определяемые		из системы уравнений
3C *5*=F*,			( 6 . 1 )
где ЗС*- матрица жесткости ансамбля суперэлементов; F*- матрица рас­
четных нагрузок в тех узлах,	для которых определяются перемещения б*.
Порядок системы (6 .1 )	значительно ниже, чем у полной			систе­
мы уравнений ШЭ. Например,	для сооружения,	схема которого		приве­
	дена на	рис. 6.9	, число ком­
	понентов вектора б*будет рав­
	но 24, если за суперэлементы
	принять	оболочку покрытия и
	четыре	пространственных рамы.
	Суперэлементы соединяются
	друг с другом в четырех узлах,
	каждый из которых имеет шесть
	степеней свободы - три линей­
	ных перемещения и три угле, по­
	ворота. Общее же		число неиз­
вестных метода КЭ в случае,	если оболочку покрыть сеткой элементов
3x8, будет приближаться к тысяче.
Матрицы %*и F* строятся	по той же принципиальной схеме,			что и

матрицы ЭС и F в методе КЭ, но для получения матрицы жесткости Kj

некоторого j -го суперэлемента и вектора ого эквивалентных угловых Нагрузок Fj приходится выполнять отдельный предварительный расчет, используя для этого либо МКЭ, либо другие подходящие по смыслу за дачи методы.

Можно выделить два основных способа построения матриц KJK

1) наложив на суперэлемент связи в узлах по границам с други­ ми суперэлементами, компоненты Kj и определяют как обобщенные усилия в этих узлах от последовательных единичных смещений наложен

ных связей и от заданных	воздействий;
2) обычным порядком	строятся матрицы жесткости	и вектор

эквивалентных узловых нагрузок Р0®*для ансамбля конечных элементов,

входящих в состав	суперэлемента:
		к*	Fe»_	с е*	( 6 . 2 )
		re,j		Frj
	LK»r.J	к		пв*
к ; =		к'		L~*j J

где индекс "г" указывает на узлы в местах контакта суперэлемента с другими СЭ, а индекс "в” обозначает все остальные узлы ансамбля K9t

путем исключения степеней свободы (перемещений) узлов группы "в” получаются искомые матрицы:

KJ ■ К* г Г Кг М (К »	/ К^ ;	<6- 3 )
		( 6 -'П
Отметим, что суперэлементы по своему	смыслу эанинают промежу­

точное. положение между системой в целом и конечными элементами, от личаясь от последних тем, что могут иметь достаточно сложную ферму и состоять из разнородных частей (стержней, пластин, оболочек).

Особенно значительный выигрыш от использования суперэлементоь достигается в тех случаях, когда удается разделить систему комбини­ рованного типа на суперэлементы, состоящие из однородных частей (например, только'из стержней или только из пластинок) - при этом расчеты суперэлементов можно выполнять с учетом особенностей' их ра­ боты, по специализированным подпрограммам.

Расчет сооружения, основанный на суперэлементном подходе, р&ч. падается на ряд достаточно автономных этапов, каждый из которых мо* жет быть реализован на ЭВМ сравнительно небольшой мощности, включая персональные ЭВМ.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.Зенкевич 0 . Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 540 с .

2 . Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элемен­

тов.	- Л .: Изд-во Ленингр. ун -та,	1976. -	232 с .
	3. Карвманский Т.Д. Численные методы строительной механики.
М.;	Стройиэдат, J.96I. - 436 с .
	4 . Галлах'ер Р. Метод конечных	элементов. - М.: Мир, 1984.		-
428	с .
	5. Стренг Г ., Фикс Дж. Теория метода		конечных элементов. -	М.:
.Мир,	1977. - 349 с .
	6 . Бурман З.И ., Артюхин Г.А.,	Зархин	Б.Я. Программное обеспе­

чение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженер­ ных расчетах. - М,: Машиностроение.. IS88. - 256 с .

7 . Шмельтер Я ., Дацко М., ДоброчинскиЙ С ., Вечорек М, Метод конечных элементов в статике сооружений. - М.: Стройиэдат, 1986. - 220 с .

8. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. - М.: Стройиздат, 1978. - 204 с .

9'. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я ., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Стержневые системы: Учебник для вузов .- М.: Стройи&дат, 1981. - 512 с.

10. Александров А.В., Лащеников Б.Я,, Шапошников Н.Н. Строи­ тельная механика. Тонкостенные пространственные системы: Учебник для руэов. - М.: Стройиздат, 1983. - 488 с .

11.Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и пол­ зучести. - М.: Высшая школа, 1968. - 512 с .

12. Холопов И.С., Лосева И.В. Расчет плоских систем методам конечного элемента: Учебное пособие. - Куйбышев: Куйбышевск. гос.

ун - т ., 1986. - 88 с .

13.Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей) под ред. Варвака Д.М-. и Рябова А.Ф. - Киев: "Буд1вельник", 1971. - 418 с.