книги / Моделирование систем управления
..pdf2. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
2Л. Условное моделирование
Условное моделирование - это замещение оригинала условной моде лью, представляющей оригинал только благодаря определенной договорен ности о смысле, приписанном этой модели.
Простейшая условная модель - отдельный знак или символ. Это искус ственный образ, чисто условно обозначающий объект и, как правило, не имеющий с этим объектом никакого сходства.
Моделирующие возможности простейшей модели (знака, символа) ог раниченны. Однако в случае применения нескольких простейших знаковых моделей, т.е. системы знаков, эти возможности резко возрастают.
Основные требования, предъявляемые к знаковым моделям:
1.Необходимость (невозможность использовать имеющиеся симво лы, знаки).
2.Простота (простое при равных условиях предпочтительнее сложного).
3.Наглядность (хотя бы самое отдаленное сходство с оригиналом).
4.Индивидуальность (достаточное отличие от других символов).
5.Однозначность (недопустимость обозначения одним символом дру гих объектов).
6.Единообразие (при моделировании однородных объектов).
7.Определенность.
8.Учет установившихся традиций.
Пример. Обозначения коэффициентов кубического уравнения:
Dx3 + £X2 + 0 JC+ T| = O - неудачное;
Ах3+ Вх2 + Сх + D = 0 - лучше;
А3х3+ А2х 2 + Ахх + AQ = 0 - самое хорошее.
В последнем случае может быть использована краткая запись:
i v = o .
о
К знаковым моделям относятся все математические формулы, отобра жающие количественную и качественную связь между переменными и по стоянными величинами (функции, уравнения, неравенства, графики, табли цы, алгоритмы и др.), между размерами и числовыми значениями физических величин.
Физическая величина X - это некоторое свойство материальных объ ектов, допускающее количественное выражение, например, длина I , мас са м и т.д.
Количественное выражение физической величины X - это размер фи зической величины. Для определения размера X требуется измерить этот
размер, т.е. сравнить с размером {X} той же физической величины другого объекта, принятого за единицу.
|
о |
В результате измерения устанавливается |
числовое значение X раз |
мераЛГ: |
|
Х =Х{Х ), |
|
О |
|
и размер выражается через числовое значение X |
и единицу [X). |
Пример. При измерении тока / за единицу был принят ампер {/} = А,
оо
оказалось, что / = 10, т.е. / = /{/} = 10А.
|
|
о |
Если |
принять |
за единицу миллиампер {/}=м А , то / = 10000, |
/= 10000 мА. |
|
|
Члены |
каждого |
равенства представляют один и тот же размер одной |
и той же физической величины, но выраженный в различных единицах. Каждый материальный объект обладает несколькими свойствами, до
пускающими количественное выражение. Между различными свойствами объективно существуют конкретные связи. Они обусловливают определен ные соотношения между размерами физических величин, которые можно выразить в виде формулы.
Поэтому если выбрать произвольно единицы некоторых физических величин, то через эти единицы можно выразить единицы всех остальных фи зических величин.
Физические величины, размеры единиц которых выбираются произ вольно, называются основными. Единицы измерения основных физических величин также называют основными. Единицы измерения всех остальных физических величин выражают через основные единицы и называют произ водными. Совокупность основных и производных единиц составляет систему единиц измерения.
В системе СИ (система интернациональная) основными физическими величинами являются длина, масса, время, сила электрического тока, сила света, количество вещества, температура, основными единицами соответст венно - метр (м), килограмм (кг), секунда (с), ампер (А), кандела (кд), моль (моль), кельвин (к).
Пусть для физических величин УьУг,--- выбраны основные единицы {Г,},{У2Ь..., а для другой физической величины X требуется установить про изводную единицу {X}. Для этого выбирается материальный объект, который можно описать уравнением
X=kF(YuY2i...%
где к - коэффициент пропорциональности. |
|
|
X{X}^kF(Yi{Yl} J i{ Y 2},...). |
(2.1) |
|
о о |
о |
|
Положив числовые значения X = Y\ = Y2 =... = 1, получим
W - k F i m W , . . . ) . |
(2.2) |
Для обеспечения согласованности выражений, связывающих размеры и числовые значения X 9YJ,Y2, - , должно существовать выражение:
(2.3)
Г |
k 2 =k |
(2.4) |
I |
F ( f i {Г,}, У2 {К2},...) = F(YX, Y2,...)F( {7,}, {Г2 |
(2.5) |
Уравнение (2.4) имеет два вещественных корня - 0 и 1. Отбросив пер вый корень как не имеющий смысла, получим к = 1.
Уравнение (2.5) является функциональным, в котором неизвестен вид функции F. Исходя из физического смысла, функция F должна быть непре рывной. Единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей уравне нию (2.5), является произведение степеней Yx, Y2,..., т.е. функция
F(YXY2...) = Y*1Y *1...,
в которой показатели степеней могут быть любыми числами. Эта функция называется степенным комплексом.
Следовательно, для установления производных единиц измерения при годны только физические формулы в виде степенных комплексов с постоян ным коэффициентом, равным единице. Степенной комплекс, выбранный для определения производной единицы, называют определяющим уравнением для этой единицы.
В общем случае производная единица {X) физической величины X мо
жет быть выражена не только через основные единицы |
но и через |
||
уже определенные производные единицы {XI}9{X2},... физических величин |
|||
Хь Хъ.... |
|
|
|
При этом определяющее уравнение имеет вид: |
|
||
|
X = У,а| Y*1 ...XflХ %2. |
(2.6) |
|
После |
подстановки |
Х =Х {Х ), Y, = £{7,}, X , |
при |
О О О |
|
|
|
X = Y,- = Xj = 1 получаем общее символическое выражение для производной единицы.
W = № } a ,{ ^ } “2- № } p,{^2}P j - . |
(2.7) |
Чем проще определяющее уравнение (2.6), тем отчетливее проявляется физический смысл размера производной единицы.
Пример. Определяющее уравнение для единицы силы в СИ имеет вид F -т а, где т - масса, а - ускорение,
{F} = {m}{a}.
В СИ основной единицей массы является килограмм {/я}=кг; единицей
ускорения {а} = — - метр в секунду за секунду. Поэтому |
|
|||
*г» |
„ |
м/с |
, |
(2.8) |
{F}=H= |
к г — |
|||
|
|
с |
|
|
гг |
|
кг • м |
|
(2.9) |
Я = кг---- г—. |
|
|||
|
|
с |
|
|
Очевидно, что производную единицу можно определить символически |
||||
в двух формах. Первая форма (2.8) |
вытекает |
из определяющего уравнения |
||
и раскрывает физический смысл (единица силы Ньютон - |
это сила, сооб- |
|||
|
м/с |
|
|
|
щающая массе в 1 кг ускорение в 1 — |
). Вторая форма (2.9) выражает еди- |
|||
с
ницу силы через основные единицы, имеет несколько абстрактный характер,
не раскрывает физического смысла. |
Эту форму |
называют размерностью |
и обозначают [А]. |
|
|
Так как размер {X} и размерность [X] выражают, хоть и по-разному, |
||
одну и ту же единицу измерения, то |
|
|
W |
- M . |
(2*10) |
Необходимо отметить, что в общем случае формулы размера и размер ности не совпадают.
Пусть производные единицы в уравнении (2.6) определяются выраже ниями
W } - « } “п
{*2} = tf p '{ K 2r 22....
Подставим эти выражения в (2.7) и с учетом равенства (2.10) получим:
т = [У1]°'[У2]°г ..., |
(2.11) |
где а, =£»] +otu p, + а 21р2 + ...,
в2 = а 2 + а 12Р1+ а 22р2 +....
В результате физическое истолкование формул размерности произволных величин часто оказывается невозможным.
Понятие «размерность» относится, строго говоря, к единице измерения физической величины. Однако его переносят и на физическую величину. На пример, говорят о размерности скорости, ускорения и т.д.
В результате приходят к понятиям размерных и безразмерных величин. Величина X называется безразмерной, если ее размерность равна единице.
При этом [ЛГ]=[У,]0[К2] 0... = 1. На этом основании говорят также о нулевой
или единичной размерности. Все величины, не являющиеся безразмерными, называются размерными.
Примерами безразмерных величин являются относительные изменения
- . àX
любой величины — -, переменные и постоянные, которыми оперирует «чис-
Л
тая» математика.
Уравнение в виде степенного комплекса, не являющееся определяю щим для единицы физической величины, может содержать в общем случае постоянный коэффициент к * 1, который может быть как безразмерной, так и размерной величиной.
Пример. Формула закона всемирного тяготения F = к Щт2 не являет
I2
ся определяющим уравнением в СИ. Поэтому к - размерная величина (грави-
тационная |
постоянная |
^ |
Н м 2 |
= |
м3 |
G) с размерностью |
[С] = — — |
------ . |
|||
|
|
|
кг2 |
|
кг ♦с2 |
м3
(G = 6,6720-10"'1—— г ). кг* С
Число физических констант в физических формулах зависит от числа основных единиц измерения. Чем меньше число физических констант, тем проще физические формулы, но тем больше число единиц, обладающих оди наковыми размерностями (например, в СИ размерность работы, энергии, мо мента силы, количества теплоты совпадают и равны кг*м23*с2).
2.2. Аналогичное моделирование
Аналогия - это сходство различных объектов по некоторым признакам. Объекты, сходные по соответствующим признакам, называют аналогами, а признаки, по которым объекты оказываются аналогами, - сходственными.
Сходственные признаки могут иметь качественный и количественный характер. В зависимости от этого различают качественную, количественную и смешанную аналогии.
Основное значение аналогии состоит в возможности переноса сведений с одного объекта на другой на основе умозаключения. Умозаключение по аналогии основано на предположении существования тождественного в различном и выполняется по следующей схеме.
1. |
Установлено, что объект 0\ обладает свойствами Со, Си С2, ..., CNi |
|||||||
2. |
Установлено, |
что объект |
0 2 обладает свойствами Си С2, |
..., |
CNt |
|||
л» *»* |
/1# |
|
|
|
|
|
|
|
—» '-'/Vi * |
|
|
|
|
0 2 обладает свойством |
|
|
|
3. |
Вывод. |
Возможно, |
что |
объект |
Со, |
как |
||
и объект Ou |
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
если |
среди |
свойств С" |
есть свойства С ”, несовместимые |
||||
с С0, то сходство объектов по Сь С2, ...» С^ не имеет никакого значения. Умозаключение по аналогии имеет гипотетический характер и может
привести как к истинному, так и к ложному выводу. Умозаключение по ана-
логии имеет доказательный характер, если общие свойства объектов Сь С2, CV обусловливают свойство С0.
Умозаключение по аналогии является основой аналогичного моделиро вания. Классический пример: замещение организма человека организмом животного с целью исследования действия нового лекарства.
Аналогия широко используется для придания наглядности сложным явлениям (аналогия электрического тока с движением жидкости). Примером, иллюстрирующим по аналогии понятие устойчивости, служит система «ша рик на вогнутой поверхности в поле тяготения».
Простые соотношения
1* + 2 1 = 3 \
З2 + 42 = 5 2 привели французского математика П. Ферми к формулировке «великой теоре
мы» теории чисел дf + ÿ = z n(при любом целом п > 2 это уравнение не имеет целых положительных решений). В общем виде теорема не доказана, хотя Ферми утверждал, что ее простое доказательство им получено.
Аналогия позволяет перейти к важнейшему понятию подобие, обеспе чивающему строгий пересчет данных модели в данные оригинала. Это ана логия математическая, т.е. сходство объектов по их математическому описа нию. Аналогия является наиболее полной, если объекты описываются сход ственными функциями и уравнениями.
Сходственные функции различаются только аргументами и нулевыми постоянными (z=xcosy, и - 2vcos3w).
Сходственные переменные - это переменные, входящие под знаки сходственных функций одинаковым образом. Сходственные уравнения полу чаются приравниваем нулю или друг другу сходственных функций.
Аналогичное моделирование - замещение оригинала аналогичной моде лью, обладающей сходством с оригиналом, достаточным для экстраполяции ее свойств и отношений на свойства и отношения оригинала на основе умо заключений по аналогии.
Аналогичное моделирование используется при сравнительно слабой изученности объекта, когда сведения об объекте носят качественный характер.
Пусть, например, непрерывная замкнутая нелинейная система автомати ческого управления (САУ) состоит из нелинейного управляемого объекта (УО) и регулятора (Р). Регулятор автоматически подбирает управление у, обращаю щее F в нуль, т.е. в системе реализуется решение уравнения F(xy) = 0 при
У= Я*) (рис. 2.1). |
|
|
х |
I |
Если уравнение имеет один вещест- |
УО |
1 |
венный корень, то САУ имеет одно положе- |
У '=у(х) |
ние равновесия, которое может быть устой- |
|
чивым или неустойчивым. Если же уравне- |
||
""Н_____ |
ние имеет несколько корней у х < у 2 < ..., то |
|
----- |
|
система имеет столько же положений равно- |
Рис.2.1
весия. Каков же характер этих положений равновесия: устойчивые они или неустойчивые?
Чтобы получить представление о возможном характере этих положе ний равновесия, воспользуемся материальной моделью системы в виде физи ческого маятника.
После отклонения маятник движется под действием вращающего мо мента М - /wgrsin<p, где т —масса, g - ускорение свободного падения, г - рас стояние от точки подвеса, <р - угол (рис. 2.2).
Положение равновесия определяется корнями уравнения М - mgrsincp = 0 при ср = 0°, 180°, 360°,..., причем устойчивые (<р = 0°, 360°, 720°,...) и неустой чивые (ф = 0°, 180°, 540°,...) положения чередуются.
Аналогия между моделью и оригиналом при водит к умозаключению, что в нелинейной САУ с несколькими положениями равновесия, последова
тельно расположенными вдоль оси регулируемой величины, устойчивые и неустойчивые положения чередуются (между двумя устойчивыми имеется неустойчивое и между двумя неустойчивыми - одно устойчивое).
В действительности абсолютно верным является только утверждение, что между двумя устойчивыми положениями имеется одно неустойчивое. Что касается того, что положение устойчивое и неустойчивое чередуются и что между двумя неустойчивыми положениями находится одно устойчи вое, то эти положения справедливы только в частных случаях, например, ес ли все положения равновесия апериодические.
Ошибочность суждений, полученных по аналогии, объясняется недос таточным сходством модели и оригинала. У маятника все неустойчивые по ложения равновесия - апериодические (после отклонения маятник стремится еще более удалиться), а все устойчивые - колебательные.
Аналогичной формальной моделью САУ с одним положением равно весия устойчивым (апериодически или колебательно) или неустойчивым (ко лебательно, т.е. в моменты наибольших отклонений шарик воспринимает ус коряющие воздействия, направленные в сторону от положения равновесия), является система, представляющая шарик на вогнутой поверхности в поле тяготения (рис. 2.3, а). Система «шарик на выпуклой поверхности» - модель
САУ с одним |
|
положением |
равновесия |
неустойчивым апериодическим |
||
(рис. 2.3, б). |
|
|
сЬ |
; |
|
|
На |
рис. |
|
2.4 |
|
||
представлена |
анало |
|
|
|
||
гичная |
формальная |
|
|
|
||
модель |
САУ |
с |
не |
|
|
|
сколькими положе |
Уо |
|
Уо |
|||
ниями |
равновесия, |
|
||||
а |
|
Рис. 2.3 |
||||
последовательно |
рас- |
|
|
|||
|
|
|
||||
положенными по оси регулируемой величины у.
Анализ этой модели и умозаключение по аналогии приводят к теоре ме: если непрерывная САУ имеет несколько положений равновесия, последовательно рас положенных вдоль оси регулируемой величи ны, то среди любых двух смежных положений всегда одно - неустойчивое апериодически, другое либо устойчиво апериодически или ко лебательно, либо неустойчиво колебательно.
Следствия из теоремы:
1. Любые смежные положения равновесия не могут быть устойчивыми, но могут быть неустойчивыми.
2.Если одно из смежных положений равновесия устойчиво, то второе - неустойчиво апериодически.
3.Между двумя устойчивыми положениями равновесия находится хотя
бы одно неустойчивое апериодически.
4.Среди двух смежных неустойчивых положений равновесия одно не устойчиво апериодически, другое колебательно.
5.Между двумя колебательно неустойчивыми положениями равнове сия находится хотя бы одно апериодически неустойчивое.
6.Между двумя апериодически неустойчивыми положениями равнове сия находится хотя бы одно устойчивое или колебательно неустойчивое по ложение равновесия.
7.Все положения равновесия могут быть неустойчивыми.
8.Если все положения равновесия неустойчивые, то положения равно весия неустойчивые апериодически и колебательно чередуются.
9. Если все положения равновесия апериодические, то устойчивые
инеустойчивые чередуются.
10.Если устойчивые и неустойчивые положения равновесия чередуют ся, то все неустойчивые положения апериодические.
И . Находясь в промежуточном положении между устойчивым и неус тойчивым положением равновесия, система стремится перейти в устойчивое состояние.
Сформулированная теорема имеет большое практическое значение. Ес ли, например, при анализе системы с двумя положениями равновесия выявле но, что одно из них устойчивое, то без анализа другого на основании теоремы можно утверждать, что оно неустойчиво, и притом апериодически.
Теорема, полученная путем умозаключения по аналогии, требует либо экспериментальной, либо теоретической проверки. Рассмотренные примеры показывают, что при удачном выборе модели аналогичное моделирование позволяет получить весьма интересные и важные результаты.
Однако общая методика аналогичного моделирования невозможна, и требуется поиск модели. Во многих случаях целесообразно использовать аналогичные формальные модели, основанные на механических, электриче ских и т.д. аналогиях.
2.3. Использование метода аналогий при решении технических задач
2.3.1.Исследование устойчивости систем автоматического
регулирования методом аналогии
Известно, |
|
что |
если |
все |
корни |
алгебраического уравнения |
|||||
а0 + <*]Х+ а2х2+...+ |
|
= 0 при а > 0 вещественные, отрицательные и разные |
|||||||||
Если модуль каждого корня значительно превышает модуль преды- |
|||||||||||
дущего, т.е. |
I |
хм |
I |
« |
I I |
то |
0 л |
0 t |
0 ч |
|
0 П | |
|
|
х, , |
|
|
|
< -*=*-. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
а \ |
а 2 |
а Ъ |
|
* П |
Известно, что если непрерывная линейная стационарная САУ с харак теристическим уравнением А$ +Ахр +А2р 2+...+Л„/?п = 0, AQ > 0 устойчива, то алгебраические уравнения
Ао + А2у + А4у 2+...+ = О,
Al +A3Y +AsV2+...+ = О
имеют только вещественные отрицательные чередующиеся корни
l^il <1^1 < 1>г2| < 1^2! < —
Если модуль каждого из этих корней значительно превышает модуль предыдущего, т.е. \у(\ « ^ « |у/+1|, то аналогично
4 |
<А <А < |
<A ZL |
А2 |
А3 А4 |
Ап |
Эта аналогия приводит и к критерию устойчивости - к идее использо вать ряд отклонений четных и нечетных коэффициентов для анализа устой
чивости непрерывных линейных стационарных систем. |
|
|
|||
Этот критерий требует составления ряда А |
А |
А |
и нахожде- |
||
|
|
А2 |
А3 |
А4 |
|
ния значений |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q — 4 |
jç — ^1 |
_ 4+2 _ 44+1 |
|
|
|
4+2 |
ai- 1 |
4-1 4-i4+2 |
|
|
|
|
|
4+1 |
|
|
|
а также определяет достаточные условия устойчивости (все kt > 2,15 ) и неус тойчивости (хотя бы одно к( <1 ).
Простота критерия позволяет обойтись в некоторых случаях без вся ких расчетов и констатировать устойчивость или неустойчивость при про стом обозрении ряда.
Задача 1. Исследовать на устойчивость систему автоматического ре гулирования, характеристическое уравнение которой имеет вид:
А.6 + 6Л.5 +21А4 + 44Я3 + 62А2 + 52А+24 = 0.
I. Проверить устойчивость с помощью критерия Гурвица, анализируя миноры; т.к. характеристическое уравнение имеет 6-й порядок, то А6 = а6А5,
где а6= 2 4 * 0 .
Составить определитель Гурвица в виде
6 |
44 |
52 |
0 |
0 |
|
1 |
21 |
62 |
24 |
0 |
|
0 |
6 |
44 |
52 |
0 |
= 972192 > 0 |
0 |
1 |
24 |
62 |
24 |
|
0 |
0 |
6 |
44 |
52 |
|
Образовать по нему 4 минора
|
А, = 6 > 0, |
6 |
44 |
Д2 = 1 |
= 82> 0, и т.д. |
21 |
Если все миноры положительны, то система автоматического регули рования устойчива.
2. Проверить устойчивость с помощью метода аналогий. Представить характеристическое уравнение в виде:
А<) +А2у+ А4у г + А6у*= 0, А, + А3у+А5у 2 = 0.
Определить
к _ 44+1
А А '
Л 1-\Л М
Задача 2. Исследовать на устойчивость системы автоматического ре гулирования, если их характеристические уравнения имеют следующий вид:
а) 0.002А5 + 0,1224А4 + 5,146А3 + 41,32А2+ 201А + 200 = 0;
б) 2-10Л 6 + 80-10чА5 + З-10'’A4 + 1,24А3 + 10А2 + 40А+ 34 = 0;
в) А4 + 45А3 +1020А2 + 42600А + 7650000 = 0; г) 0.005А5 + 0,15А4+ 1,125А3 + 5А2+ 50А + 300 = 0;
д) 0,41 -Ю^А5 + 0,39-10"3А4 + 3,47-10‘2А3 + 1.83А2 + 58А + 380 = 0;
е) 0.104А7 + 0.33А6 + 5,5AS + 15.5А4 + 25А3 + 25А2 + 19,7А + 9,5 = 0.
2.3.2.Использование метода аналогий для определения суммы
бесконечного ряда
Задача 1. Требуется найти сумму бесконечного ряда
Решить задачу методом аналогии.